Wycieczkę po krainie liczb zaczniemy w odległej przeszłości, gdy nasi przodkowie dopiero uczyli się liczyć. Wtedy to właśnie musiała też powstać koncepcja liczby naturalnej, a przynajmniej zaczęto czynić z niej praktyczny użytek, o czym szczegółowiej powiemy nieco niżej. Niestety, nie wiemy, jak dawno temu miało miejsce opanowanie umiejętności liczenia (a właściwie: zliczania). Przypuszczamy jednak, że musiała ona zostać częściowo opanowana jeszcze w czasach, gdy nasi przodkowie wiedli nadrzewny tryb życia. Wnioskujemy tak, gdyż wiemy, że ograniczone zdolności liczenia ma wiele gatunków ssaków, szczególnie naczelnych.
Na naszej planecie żyją jednak ludzie, którzy nie potrafią liczyć, i to nie z powodu choroby czy innego rodzaju niedoskonałości. Brzmi to trochę niewiarygodnie, a jednak jest prawdziwe. Rzecz dotyczy słynnego południowoamerykańskiego plemienia Pirahã (zob. po polsku – tutaj, po angielsku – tutaj, tutaj i tutaj). Jak wynika z badań, ludzie ci nie tylko nie umieją liczyć, ale także nie potrafią nauczyć się tej sztuki, mimo nadzoru fachowców. Skoro jednak do zliczania przedmiotów zdolne są pewne bliskie nam gatunki zwierząt, umiejętność ta musiała cechować także pierwszych ludzi Homo sapiens. Jednak umiejętności nieprzydatne w konkretnych warunkach środowiska zanikały podczas kulturowej ewolucji społeczeństw ludzkich – tylko tak możemy wytłumaczyć fenomen Pirahã, jak i niektóre inne podobne zjawiska znane antropologom kulturowym.
Wnioskujemy także, że umiejętność liczenia obiektów nie jest zapisana w naszych genach, a dziedziczone są najwyżej pewne wstępne predyspozycje. Dopiero kontakt z innymi ludźmi i z kulturą ludzką pozwala ukształtować w naszych mózgach pojęcie liczby. Raz zdobyte umiejętności nie muszę być przekazywane z pokolenia na pokolenie, gdy warunki życia nie będą sprzyjać temu przekazywaniu. Spostrzeżenie to, oparte na zbadanym przecież dogłębnie przykładzie ludu Pirahã, godne jest głębszej refleksji w dzisiejszych czasach, gdy książki zastępujemy w coraz większym stopniu filmami i innymi formami przekazów multimedialnych, i gdy dysponujemy komputerami zdolnymi do wykonywania skomplikowanych obliczeń, kontrolującymi w coraz większym stopniu produkcję urządzeń technicznych i nadzorującymi ich funkcjonowanie. Być może rację mają wizjonerzy uważający, że postęp nauki i techniki zostanie wkrótce całkowicie zahamowany, a ludzie zaczną we wszystkim polegać na maszynach, których nie będą już umieli sami naprawić. Niezbędna do tego celu wiedza stanie się jedynie udziałem innych maszyn. Ludziom niepotrzebna stanie się umiejętność czytania i pisania, skoro powszechnie dostępne będą formy komunikacji głosowej i wizualnej. A z czasem zbędna okaże się także być może umiejętność liczenia… i wtedy będziemy niczym dziś to słynne, amazońskie plemię.
Czym tak naprawdę jest liczenie, a właściwie zliczanie obiektów, o którym mowa w tym rozdziale? Wystarczy usiąść i spokojnie się zastanowić, by dojść do wniosku, że nie ma w nim właściwie żadnej magii, i że tak naprawdę zliczanie jest szczególnego rodzaju porównywaniem. Mamy oto przed sobą na biurku 5 ołówków. Skąd właściwie wiemy, że jest ich pięć? Cóż, wystarczy, jeśli jednoznacznie przyporządkujemy każdy z ołówków do palców naszej dłoni: jeden ołówek do jednego palca (używając terminów matematycznych powiemy, że tworzymy bijekcję, która elementom jednego zbioru przypisuje elementy innego zbioru, ale na razie zapomnijmy o ścisłej matematycznej terminologii). Okaże się wówczas, że do każdego palca dłoni został przyporządkowany jeden ołówek, i że każdy z ołówków został przyporządkowany do jakiegoś palca, a w dodatku każdy do innego. A ponieważ wiemy, że palców dłoni jest pięć, wnioskujemy, że liczonych ołówków jest także pięć.
Oczywiście na co dzień nikt nie używa do liczenia „metody palcowej”. Ponieważ z liczbami obcujemy właściwie od urodzenia, umiemy zwykle zliczać przedmioty bez pomocy porównywania ich z liczbą palców. W naszym umyśle istnieją już gotowe wzorce liczb, niekoniecznie realistyczne: „dwa” oznacza na przykład tyle, ile mamy dłoni, albo też oznacza przedmiot po lewej i przedmiot po prawej (a więc parę), „trzy” oznacza jeden przedmiot w środku i dwa po bokach, „cztery” to tyle, ile mamy palców bez kciuka, lub tyle, co para par, itd. W czasie swojego życia używamy tych porównań tak często, że w naszym mózgu kształtują się abstrakcyjne wzorce, idee liczb, i takie „naiwne” porównania, jak te do liczby palców dłoni, przestają być potrzebne. Wystarczy, że po prostu rzucimy okiem, i już wiemy, z jaką liczbą obiektów mamy do czynienia, zwłaszcza gdy obiekty te są ułożone w sposób ułatwiający ich szybkie policzenie.
Metoda zliczania obiektów przez porównanie do innej grupy obiektów („liczenie porównawcze”), o znanej liczbie, jest dobra i skuteczna, dopóki liczonych obiektów nie jest zbyt dużo. Gdy ich liczba uniemożliwia dokonanie szybkiego porównania z jakąś inną znaną liczbą, często używa się tylko określeń w rodzaju „mało”, „dużo”, „mniej”, „więcej”. Nazwijmy ten rodzaj liczenia „wielościowym”. Wspomniani Indianie Pirahã stosują tylko tę metodę liczenia, gdyż dla nich nie do odróżnienia jest jedna duża ryba od kilku mniejszych ryb (z bardzo praktycznego punktu widzenia to rzeczywiście dokładnie to samo – jedną dużą rybą najemy się przecież tak samo jak kilkoma małymi). W wielu innych społeczeństwach i kulturach liczenie „wielościowe” rozpoczyna się po przekroczeniu pewnej liczby obiektów. Niekiedy liczba ta jest bardzo mała, nawet równa 2.
Wydaje się, że znacznie podniesienie umownej granicy „liczenia wielościowego” miało miejsce dopiero wtedy, gdy powstały społeczeństwa zorganizowane, których członkowie zostali obciążeni podatkami na rzecz panujących. Precyzyjne liczenie stało się konieczne zarówno do naliczania wysokości tych podatków, jak i też do stwierdzenia, czy uiszczony podatek jest już wystarczająco duży. A może ograniczenie „liczenia wielościowego” do naprawdę dużych liczb miało miejsce nawet znacznie wcześniej, w czasach, gdy ludzie zaczęli zajmować się zaawansowanymi formami rolnictwa i hodowli zwierząt, i związanym z tym handlem produktami rolnymi? Czy na przykład prymitywne plemiona nomadów mogły znać pojęcie „tysiąc” i właściwie używać tak dużej liczby? Nie jest to wykluczone: słowo oznaczające to właśnie pojęcie ukształtowało się prawdopodobnie u schyłku okresu prasemickiej wspólnoty językowej i związane było z bydłem. Wbrew dawniejszym twierdzeniom, wydaje się dziś, że koncepcja tej dużej przecież liczby istniała także w społeczeństwie praindoeuropejskim, gdzieś około roku 3500 p.n.e.
W jaki jednak sposób doszło do powstania pojęć odpowiadającym liczbom, których nie da się obliczyć przez porównanie z liczbą palców? Tym problemem zajmiemy się w następnym rozdziale.