Przeprowadzenie transakcji handlowej (lub stwierdzenie, czy stado posiadanych przez nas zwierząt jest kompletne) wymaga na ogół nieco innego postępowania niż porównanie liczonych obiektów z ilością posiadanych palców, gdyż mogłoby nam ich po prostu nie wystarczyć. Choć wydaje się to trywialne, musimy przede wszystkim skupić się i ustalić, które obiekty będą podlegać liczeniu, a które nie. Jeżeli chcemy dowiedzieć się, czy w posiadanym przez nas stadzie nie brakuje jednej z owiec, musimy właśnie na owcach skupić swoją uwagę, i nie zwracać uwagi na wałęsające się wśród nich kozy czy psy pasterskie. Z matematycznego punktu widzenia, aby dokonać zliczenia ilości owiec, musimy najpierw utworzyć zbiór tych zwierząt. Zbiór jest bardzo ciekawym pojęciem, bo niby każdy rozumie je intuicyjnie, a jednak nie da się powiedzieć w sposób ścisły, co ono właściwie oznacza (choć można wymienić jego właściwości). Zbiór jest więc pojęciem pierwotnym, a więc pojęciem, którego nie definiujemy. Podobnie pojęciem pierwotnym jest element, który należy do naszego zbioru. Dokładniej o pojęciach pierwotnych i o sztuce budowania definicji będzie jeszcze mowa, tu jedynie zauważymy, że istnieją pojęcia, które każdy z nas rozumie, a których nie da się wytłumaczyć przez odniesienie się do innych pojęć. Zbiór i element to takie właśnie pojęcia.
Jak jednak można komuś przekazać pojęcie, którego natury nie jesteśmy w stanie precyzyjnie opisać? No cóż, bardzo prosto. Wystarczy, jeśli pokażemy model tego pojęcia, lub najlepiej kilka modeli, a następnie zachęcimy naszego ucznia do skonstruowania własnego, podobnego modelu. Jeśli wykona zadanie poprawnie, możemy wywnioskować, że opanował pojęcie, którego znaczenie chcieliśmy mu przekazać. W przypadku owiec modelem zbioru może być zagroda, do której wpędzamy nasze stado, nie wpuszczając psów, kóz i innej posiadanej zwierzyny, a modelem elementu może być każda z owiec. Gdy chcemy policzyć kupowane na targu marchewki, takim modelem zbioru może być worek, w którym umieszczamy tylko owe marchewki (elementy tego zbioru) i nic innego. Choć takie porównania wydają się naiwne, tak przecież pracuje nasz umysł: aby opanować nawet najbardziej abstrakcyjne pojęcie, powinniśmy zacząć od konkretów. Nawiasem mówiąc, wielka szkoda, że zapomnieli o tym dydaktycy matematyki tworzący programy nauczania na wyższych poziomach edukacji (a może w ogóle programów tych nie układali dydaktycy?). W rezultacie, gdy przekazują studentom takie abstrakcyjne pojęcia jak grupa czy mapa (w topologii), posługują się językiem formalnym zamiast podania konkretnych przykładów, które pozwoliłyby opanować dane pojęcie przed poznaniem jego formalnej definicji. Takie właśnie postępowanie, całkowicie niezgodne z zasadami pracy naszego mózgu, powoduje, że wielu młodych ludzi nie rozumie matematyki i pewnie nigdy jej nie zrozumie.
Dość jednak tej (słusznej skądinąd) dygresji, wróćmy do liczenia naszych owiec. Wpędźmy je wszystkie do zagrody, a następnie przepędźmy do innej przez bardzo wąskie przejście, w którym nie zmieszczą się dwie owce obok siebie. Będziemy je teraz zliczać „metodą dodawania i porządkowania”. Weźmy w tym celu pewną ilość patyków, ostry nóż, usiądźmy przy przejściu, a gdy pojawi się w nim owca, wykonajmy nożem nacięcie na patyku, jednocześnie wypowiadając słowo „jeden”. Gdy w przejściu pojawi się następna owca, dodamy kolejne nacięcie, wypowiadając słowo „dwa”, kolejne słowo spośród tych, których uczyliśmy się jako małe dzieci, używając naszych palców jako pomocy naukowej: „jeden, dwa, trzy…”. Gdy policzymy tym sposobem 10 owiec (równie dobrze zrobilibyśmy to metodą porównawczą, wykorzystując jako wzorzec palce obu własnych dłoni), odłóżmy patyk z nacięciami, weźmy kolejny, i to na nim wykonujmy teraz nacięcia, znów licząc „jeden, dwa, trzy…”. Gdy uzbiera nam się tym sposobem 10 patyków, każdy z 10 nacięciami, zwiążmy je w pęczek i odłóżmy osobno, a następnie kontynuujmy liczenie, używając kolejnych patyków.
Jak należy odczytać wynik takiego liczenia „metodą dodawania” (kolejnych nacięć)? No cóż, po przeliczeniu naszego wielkiego stada może się okazać na przykład, że oto leżą obok nas 3 wiązki patyków, 7 pojedynczych patyków z pełną liczbą nacięć i jeszcze jeden patyk z 4 nacięciami. I właściwie to nam wystarczy: 3 wiązki, 7 patyków i 4 nacięcia oznacza liczbę 374 w języku, jakim się posługujemy. Musimy jeszcze tylko wiedzieć, że np. 3 wiązki, 7 patyków i 4 nacięcia znaczy więcej niż 2 wiązki, 9 patyków i 9 nacięć (a więc że liczba wiązek jest zawsze ważniejsza niż liczba patyków), oraz to, że układ wiązek, patyków i nacięć jest jednoznaczny: ponowne przeliczenie naszego stada doprowadzi do takiego samego układu. Jeżeli otrzymaliśmy wynik inny niż przy poprzednim liczeniu, wnioskujemy, że zadziałał drapieżnik, złodziej, lub że jakaś owca zagubiła się.
Dlaczego jednak nie można wykonywać nacięć na patykach np. po 7, po 18 czy po 32? Teoretycznie można, jednak mamy przecież łącznie 10 palców u rąk, nie 7, nie 18 i nie 32, stąd wybór właśnie tej, a nie innej liczby. Liczba 10 nie jest też ani za duża, by spamiętać nazwy kolejnych nacięć („jeden, dwa…”), ani za mała, by być mało wygodną przy obliczaniu dużej ilości przedmiotów. Dziesiątkowy system liczenia, który właśnie opisaliśmy, jest dlatego właśnie najbardziej powszechny na Ziemi. Systemy oparte na liczbie 5 (liczba palców jednej dłoni), 8 (liczba palców dłoni z wyjątkiem kciuków), 4 (liczba palców jednej dłoni bez kciuka) są możliwe, lecz rzadsze. Dość rozpowszechniony sposób liczenia o bazie 20 (łączna liczba palców rąk i nóg) jest najczęściej kombinowany, np. do wyrażenia pojęcia „jedenaście” nie używa się nowego, niezależnego terminu, ale mówi np. „obie ręce plus jeden palec”. Liczenie w systemie dwudziestkowym polega więc raczej na wykonywaniu dziesięciu nacięć na patyku i następnie na łączeniu patyków po dwa niż na wykonywaniu od razu 20 nacięć na jednym patyku.
Zbierzmy to wszystko, co ustaliliśmy dotąd. Pojęcie „liczba” oznaczało pierwotnie ilość elementów jakiegoś zbioru, którą można ustalić w sposób niedokładny („dużo”, „mniej” itd.), albo w sposób dokładny, zwłaszcza, gdy liczba ta nie jest bardzo duża. W tym celu można porównać dany zbiór z innym, o znanej liczebności, np. zbiór leżących na stole ołówków z liczbą palców. Można też zliczać poszczególne elementy dodając po jednym te niepoliczone do już policzonych. W praktyce ten drugi sposób wymaga od razu pewnego porządkowania, zwłaszcza gdy liczba liczonych obiektów przekracza liczbę elementów zbioru wzorcowego (którym najczęściej jest zbiór palców obu rąk). Wynik takiego zliczania przez dodawanie lub porównywanie nazywamy liczbą naturalną. Takie liczby jak 5, 7, 18, 32 czy 374 to właśnie liczby naturalne.
Kolejnym etapem rozwoju wiedzy o liczbach było powstanie arytmetyki. Opowiemy o tym w następnej części.