Grzegorz Jagodziński – Zadania maturalne z prędkości

81. ABC maturzysty – Matematyka, wyd. Adamantan, str. 53, ćw. 53
W czajniku można zagotować 1,5 litra wody w czasie 4 minut. Jaką ilość wody można zagotować w ciągu 100 sekund?

82. ABC maturzysty – Matematyka, wyd. Adamantan, str. 53, ćw. 54
Dwóch pracowników jest w stanie wykonać pewną pracę w czasie 8 godzin. Gdyby połowę pracy wykonali razem, a potem pracował tylko pracownik wydajniejszy, praca zostałaby ukończona po 10 godzinach. Ile czasu wykonanie tej samej pracy zajęłoby drugiemu (mniej wydajnemu) pracownikowi, gdyby pracował sam?

83. Zestaw P1, zad. 31
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast `A` i `B` oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta `A` do miasta `B` wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta `B` do miasta `A` i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

84. Zestaw P2, zad. 26 = Matematyka, Prosto do matury, Nowa Era, kl. 3, str. 207, zad. 5.24
Do zbiornika o pojemności 700 m³ można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5 m³ wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

85. Informator 2010, str. 72, zad. 1
Dwa pociągi osobowe wyjechały z miast `A` i `B` oddalonych od siebie o 616 km. Pociąg jadący z miasta `A` do miasta `B` wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta `B` do miasta `A` i jechał z prędkością o 11 km/h mniejszą. Pociągi te dojechały do celu w tym samym momencie. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

86. Informator 2010, str. 90, zad. 97 = Matematyka, Prosto do matury, Nowa Era, kl. 3, str. 207, zad. 5.22
Z miejscowości `A` i `B` oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości `B` do miejscowości `A` jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości `A` do miejscowości `B` wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości `A` przebył do tego miejsca `9/13` całej drogi z `A` do `B`. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

87. 2009-11 (próbny), zad. 32 = Informator, str. 90, zad. 98 = Matematyka, Prosto do matury, Nowa Era, kl. 3, str. 207, zad. 5.23 = ABC maturzysty – Matematyka, wyd. Adamantan, str. 53, prz. 44
Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał książkę.

88. 2009-11 (próbny, Operon), zad. 30
Samochód przejechał 180 km, jadąc ze stałą prędkością. Gdyby jechał z prędkością o 30 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaką prędkością jechał samochód?

89. 2010-08 (poprawkowy), zad. 34
Kolarz przejechał trasę długości 60 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 1 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 6 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

90. 2010-11 (próbny), zad. 34
Droga z miasta `A` do miasta `B` ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta `A` do miasta `B` wyrusza godzinę później niż samochód z miasta `B` do miasta `A`. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta `B`. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta `A`, liczona od chwili wyjazdu z `A` do momentu spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z `B` do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.

91. 2011-03 (próbny), www.echodnia.eu, zad. 30
Do zbiornika o pojemności 800 m³ można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 32 m³ wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 12 godzin i 30 minut krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

92. 2011-03-05 (próbny), www.zadania.info, zad. 32
Pan Andrzej przeczytał książkę liczącą 720 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 15 dni wcześniej. Ile dni czytał tę książkę?

93. 2011-03-05 (próbny podstawowy+), www.zadania.info, zad. 28
Trasa rowerowa wokół jeziora ma długość 15 km. Dwóch rowerzystów wyrusza z tego samego miejsca i okrąża jezioro poruszając się w tym samym kierunku. Średnia prędkość drugiego z nich jest większa od średniej prędkości pierwszego o 5 km/h. Oblicz po jakim czasie dojdzie do ponownego spotkania rowerzystów.

94. 2011-03-12 (próbny podstawowy+), www.zadania.info, zad. 30
Linia kolejowa między miastami `A` i `B` ma długość 711 km. Pociąg jadący z miasta `A` do miasta `B` wyrusza 45 minut później niż pociąg jadący z miasta `B` do `A`. Pociągi te spotykają się w odległości 450 km od miasta `B`. Średnia prędkość pociągu, który wyjechał z miasta `A`, liczona od chwili wyjazdu z `A` do momentu spotkania, była o 34 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego pociągu liczonej od chwili wyjazdu z miasta `B` do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego z pociągów w chwili spotkania.

95. 2011-03-19 (próbny), www.zadania.info, zad. 29
Samochód przejechał trasę długości 84 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o 12 km/h, to przejechałby tę trasę w czasie o 21 minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten samochód.

96. 2011-03-26 (próbny podstawowy+), www.zadania.info, zad. 30
Jacek wrzucał do skarbonki monety 10 groszowe, przy czym w sumie wrzucił do skarbonki 5,5 zł. Gdyby wrzucał monety ze średnią częstością o 10% większą, to czas potrzebny na wrzucenie wszystkich monet skróciłby się o 5 sekund. Oblicz, ile średnio monet na sekundę wrzucał Jacek do skarbonki.

97. 2011-04-02 (próbny), www.zadania.info, zad. 32
Po torze wodnym o długości 10 km pływają w kółko dwie łodzie motorowe, przy czym druga z nich płynie z prędkością o 5 km/h większą od prędkości pierwszej łodzi. Łodzie te wystartowały z tego samego punktu i ponownie spotkały się, gdy pierwsza z łodzi wykonała pełne 3 okrążenia toru. Oblicz średnie prędkości obu łodzi.

98. 2011-04-02 (próbny podstawowy+), www.zadania.info, zad. 32
Antek zatrudnił się przy zbiórce truskawek. Każdego dnia zbiera taką samą liczbę kilogramów owoców i w sumie uzbierał 96 kilogramów. Gdyby każdego dnia zbierał o 4 kilogramy więcej, to tę samą ilość owoców uzbierałby w czasie krótszym o cztery dni. Oblicz, ile kilogramów owoców zbierał Antek każdego dnia i w ciągu ilu dni je zebrał.

99. 2011-04-16 (próbny), www.zadania.info, zad. 31
Dwa motocykle wyjechały z miast `A` i `B` oddalonych od siebie o 360 km. Motocykl jadący z miasta `A` do miasta `B` wyjechał o 30 minut wcześniej niż motocykl jadący z miasta `B` do miasta `A` i jechał z prędkością o 12 km/h mniejszą. Motocykle te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te motocykle.

100. 2011 (próbny), Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, zad. 30
Ze Szczecina do Częstochowy wybrały się dwie pielgrzymki: piesza i rowerowa. Pielgrzymka piesza wyruszyła pierwsza, pokonując każdego dnia 26 km. Po 8 dniach wyruszyła (z tego samego miejsca, tą samą trasą) pielgrzymka rowerowa, pokonując pierwszego dnia 54 km, a każdego następnego dnia o 2 kilometry mniej niż dnia poprzedniego. Pielgrzymki spotkały się dopiero u stóp Jasnej Góry. W którym dniu podróży i w jakiej odległości od miejsca wyjazdu pielgrzymka rowerowa dogoniła pielgrzymkę pieszą?

101. 2011-05, zad. 32
Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

102. 2012-03 (próbny), zad. 32
Z dwóch miast `A` i `B`, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta `A` o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta `B`. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta `B` jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta `A`.
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Niech `S` będzie punktem spotkania. W tabeli zbierzemy dane i ułożymy równania ruchu dla każdego z turystów i dla każdego z odcinków trasy. Przez `x` oznaczymy prędkość pierwszego, a przez `y` drugiego turysty. Niech `s` oznacza odległość `AS`; wówczas `SB` to `18 - s`. Jeśli `t` będzie czasem od wyjścia drugiego turysty z `B` do punktu spotkania, to wówczas pierwszemu turyście marsz z `A` do punktu spotkania zajęło `t + 1`, bo wyszedł godzinę wcześniej (czyli szedł o godzinę dłużej).

		droga	prędkość	czas	równanie
turysta 1	`AS`	`s`	`x`	`t + 1`	`s = x(t + 1)`
turysta 1	`SB`	`18 - s`	`x`	`1.5`	`18 - s = x * 1.5`
turysta 2	`BS`	`18 - s`	`y`	`t`	`18 - s = y * t`
turysta 2	`SA`	`s`	`y`	`4`	`s = y * 4`

Do udzielenia odpowiedzi nie są nam potrzebne wartości `s` ani `t`, zatem niewiadome te wyrugujemy z układu w pierwszej kolejności.

Tworzymy układ równań, rugujemy `s`, wykorzystując czwarte równanie; drugie równanie mnożymy przez 2, aby zlikwidować ułamek dziesiętny:

`{(s = x(t + 1)),(18 - s = 1.5x),(18 - s = yt),(s = 4y):}`
`{(4y = x(t + 1)),(36 - 8y = 3x),(18 - 4y = yt):}`

Wyliczamy `t` z ostatniego równania i wstawiamy do dwóch pierwszych:

`{(4y = x(t + 1)),(36 - 8y = 3x),(t = 18/y - 4):}`
`{(4y = x(18/y - 4 + 1)),(36 - 8y = 3x):}`
`{(4y = x(18/y - 3)),(36 - 8y = 3x):}`
`{(4y = (18x)/y - 3x),(3x = 36 - 8y):}`

Rugujemy `x`, wykorzystując drugie równanie. Uważamy na podstawienie za `3x`; możemy wykorzystać gotowe wyrażenie `36 - 8y` wyliczone w równaniu wyżej:

`x = 12 - (8y)/3`
`4y = (18(12 - (8y)/3))/y - (36 - 8y) |*y`
`4y^2 = 18(12 - (8y)/3) - (36 - 8y)y`
`4y^2 = 18*12 - 6*8y - 36y + 8y^2`

Wykonywanie wszystkich mnożeń całkowicie mija się z celem; mało to, lepiej będzie zapisać `36` jako `6*6`. Zamieniamy strony miejscami, bo po prawej mamy wyższy współczynnik (8) przy `y^2`. Następnie wszystkie wyrazy przenosimy na lewą stronę i porządkujemy:

`18*12 - 6*8y - 36y + 8y^2 = 4y^2`
`18*12 - 6*8y - 6*6y + 8y^2 - 4y^2 = 0`
`4y^2 - 6*14y + 18*12 = 0 |:4`
`y^2 - 3*7y + 9*6 = 0`
`Delta = (- 3*7)^2 - 4*1*9*6`
`Delta = (3*7)^2 - 4*9*6`

Zamiast mnożyć wszystko, lepiej wyciągnąć wspólne czynniki przed nawias:

`Delta = 3^2*7^2 - 4*9*6`
`Delta = 3^2(7^2 - 4*6)`
`Delta = 3^2(49 - 24)`
`Delta = 3^2*25`
`sqrt(Delta) = 3*5`
`sqrt(Delta) = 15`
`y_1 = (3*7-15)/2`; `y_2 = (3*7+15)/2`
`y_1 = 6/2`; `y_2 = 36/2`
`y_1 = 3`; `y_2 = 18`

Używając równania `x = 12 - (8y)/3`, obliczamy `x` dla obu wartości `y`:

`x_1 = 12 - (8*3)/3`; `x_2 = 12 - (8*18)/3 < 0`, rozwiązanie odrzucamy.
`x_1 = 12 - 8`
`x_1 = 4`.

Pierwszy turysta szedł z prędkością 4 km/h, drugi z prędkością 3 km/h.

103. 2012-03-03 (próbny), www.zadania.info, zad. 33
Dwa samochody osobowe wyjechały z miast `A` i `B` oddalonych od siebie o 480 km. Samochód jadący z miasta `A` do miasta `B` wyjechał o pół godziny wcześniej niż samochód jadący z miasta `B` do miasta `A` i jechał z prędkością o 16 km/h mniejszą. Samochody te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te samochody.

104. 2012-05, zad. 34
Miasto `A` i miasto `B` łączy linia kolejowa długości 210 km. Średnia prędkość pociągu pośpiesznego na tej trasie jest o 24 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pośpieszny pokonuje tę trasę o 1 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pośpieszny.

105. 2013-05, zad. 34
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 km. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Pokaż Ukryj rozwiązanie

W tabeli zbierzemy dane i ułożymy równanie ruchu dla każdego z pociągów. Przez `x` oznaczymy prędkość drugiego pociągu, a przez `y` czas jego przejazdu; wówczas prędkość pierwszego pociągu wyniesie `x + 9`, a czas jego przejazdu `y - 2/3` (pamiętajmy, że 40 minut to `2/3` godziny).

	droga	prędkość	czas	równanie
pociąg 1	336	`x + 9`	`y - 2/3`	`336 = (x + 9)*(y - 2/3)`
pociąg 2	336	`x`	`y`	`336 = x*y`

Do udzielenia odpowiedzi nie jest nam potrzebna wartość `y`, zatem wyliczymy go z drugiego równania i wstawimy do pierwszego:

`y = 336/x`
`336 = (x + 9)*(336/x - 2/3)`
`336 = 336 - 2/3 x + 3024/x - 6`
`2/3 x + 6 - 3024/x = 0`
`2/3 x^2 + 6x - 3024 = 0`
`2x^2 + 18x - 9072 = 0`
`x^2 + 9x - 4536 = 0`
`Delta = 81 + 4*4536 = 18225`
`sqrt(Delta) = 135`
`x_1 = (-9-135)/2 < 0`, rozwiązanie odrzucamy; `x_2 = (-9+135)/2 = 63`

Obliczmy jeszcze prędkość pierwszego pociągu: `x + 9 = 63 + 9 = 72`.

Pierwszy pociąg jechał ze średnią prędkością 72 km/h, drugi pociąg ze średnią prędkością 63 km/h.

106. 2014-05, zad. 33
Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeśli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Zauważmy, że droga do zamku (pod górę) i z zamku (na dół) była taka sama. Jeśli szukaną prędkość w czasie drogi pod górę oznaczymy przez `x`, wówczas prędkość w czasie drogi z góry będzie równa `x + 1` (skoro prędkość w górę była mniejsza, to prędkość z góry była większa o 1 km/h). Łączny czas marszruty wynosił 1 godzinę i 4 minuty, czyli `64/60` godziny. Jeśli czas podejścia oznaczymy przez `y`, wówczas czas zejścia będzie się równać `64/60 - y`.

Zbierzmy dane zadania w tabeli:

	droga	prędkość	czas	równanie
droga pod górę	2,1	`x`	`y`	`2,1 = x*y`
droga z góry	2,1	`x + 1`	`64/60 - y`	`2,1 = (x + 1)*(64/60 - y)`

Ponieważ interesuje nas tylko prędkość podczas drogi pod górę (`x`), wyliczymy `y` z pierwszego równania i wstawimy do drugiego:

`y = (2,1)/x`
`2,1 = (x + 1)*(64/60 - (2,1)/x)`
`2,1 = 64/60 x - 21/10 + 64/60 - (2,1)/x |*30x`
`32 x^2 - 63 x + 32 x - 63 x - 63 = 0`
`32 x^2 - 94 x - 63 = 0`
`Delta = 94^2 + 4*32*63 = 8836 + 8064 = 16900`
`sqrt(Delta) = 130`
`x_1 = (94 - 130)/(2*32) < 0`, rozwiązanie odrzucamy; `x_2 = (94 + 130)/(2*32) = 224/(2*32) = 112/32 = 3,5`

Prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, wynosiła 3,5 km/h.

107. Przykładowy zestaw zadań 2013, zad. 31
Ala jeździ do szkoły rowerem, a Ola skuterem. Obie pokonują tę samą drogę. Ala wyjechała do szkoły o godzinie 7:00 i pokonała całą drogę w ciągu 40 minut. Ola wyjechała 10 minut później niż Ala, a pokonanie całej drogi zajęło jej tylko 20 minut. Oblicz, o której godzinie Ola wyprzedziła Alę.
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Zadanie nie jest trudne, ale trochę nieszablonowe i przez to zmuszające do dodatkowej analizy treści, zatem do myślenia (w tym właśnie kierunku zmierza szkolna matematyka od początku kolejnej reformy, której efektem jest nowa matura od roku 2015). Rozwiążemy je dwoma sposobami.

Pierwszy sposób jest bardzo prosty w opisie, znacznie trudniejszy w zapisie. Aby bowiem rozwiązać to zadanie, wystarczy sporządzić analizę wydarzeń. O 7.00 Ala wyrusza na rowerze. O 7.10 wyrusza Ola na skuterze. O 7.30 Ola dociera do szkoły (pokonanie całej drogi zajęło jej 20 minut). O 7.40 dociera do szkoły Ala (po 40 minutach od wyruszenia z domu).

Nietrudno dostrzec symetrię tego planu wydarzeń. Ola wyrusza 10 minut po Ali i przybywa do szkoły 10 minut przed nią. Ponieważ milcząco zakładamy, że prędkości każdej z dziewcząt są stałe w czasie całej drogi, spotkanie musiało nastąpić dokładnie w połowie trasy. A skoro w połowie trasy, to i w połowie czasu podróży, co z kolei oznacza 20 minut po wyjeździe z domu Ali i jednocześnie 10 minut po wyjeździe z domu Oli. Innymi słowy, obie dziewczęta spotkały się o 7.20 (i wtedy właśnie Ola wyprzedziła Alę). Jednak konia z rzędem temu, kto potrafi zapisać to wszystko wyłącznie językiem matematyki, tj. korzystając z liczb, znaków i symboli.

Drugi sposób jest nieco dłuższy, ale za to w pełni „matematyczny”. Już po pierwszym przeczytaniu treści powinniśmy zauważyć, że czas przeznaczony na pokonanie drogi do szkoły przez jadącą rowerem Alę jest dwukrotnie dłuższy niż czas, który przeznacza jadąca skuterem Ola. Wnosimy stąd, że prędkość Oli jest dwukrotnie większa od prędkości Ali. Oznaczymy więc prędkość Ali przez v, a prędkość Oli przez 2v.

Zauważamy ponadto, że obie dziewczęta przebyły tę samą drogę od domu do momentu spotkania; oznaczmy ją po prostu symbolem s. Reszta drogi nie będzie nas w ogóle interesować. W momencie spotkania Ola była w drodze o 10 minut krócej niż Ala (skoro wyruszyła 10 minut później). Czas Ali do momentu spotkania oznaczymy symbolem t, wówczas czas Oli będzie wynosił t − 10.

Sporządzimy teraz jak zwykle tabelę:

	droga	prędkość	czas	równanie
Ala	`s`	`v`	`t`	`s = v*t`
Ola	`s`	`2v`	`t - 10`	`s = 2v*(t - 10)`

Układ dwóch równań zawiera trzy niewiadome, uzyskanie rozwiązania wydaje się więc niemożliwe. Czy jednak na pewno?

Okazuje się, że układ da się rozwiązać, i to aż na dwa sposoby – oczywiście jedynie pod warunkiem, że interesuje nas tylko niewiadoma t.

Sposób pierwszy to podzielenie równań stronami (dopuszczalne, bo nic tutaj nie może być równe zeru). Dostaniemy wówczas:

`s/s = (2v(t - 10))/(v t)`
`1 = (2(t - 10))/t`
`t = 2t - 20`
`2t - 20 = t`
`2t - t = 20`
`t = 20`

Sposób drugi to odjęcie równań od siebie stronami (otrzymamy wówczas `0 = v t - 2v(t - 10)`) lub też przyrównanie do siebie prawych stron równań (skoro lewe strony są takie same). W każdym razie otrzymamy:

`2v(t - 10) = vt`
`2vt - 20v - vt = 0`
`vt - 20v = 0`
`v(t - 20) = 0`

Ponieważ `v != 0`, więc pozostaje jedynie:

`t - 20 = 0`
`t = 20`

Od momentu wyjazdu Ali (o 7.00) do momentu spotkania upłynęło 20 minut, Ola wyprzedziła więc Alę o 7.20.

108. 2015-01 (próbny), zad. 29
Wartość prędkości średniej obliczamy jako iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Samochód przejechał z miejscowości A do miejscowości C przez miejscowość B, która znajduje się w połowie drogi z A do C. Wartość prędkości średniej samochodu na trasie z A do B była równa 40 km/h, a na trasie z B do C – 60 km/h. Oblicz wartość prędkości średniej samochodu na całej trasie z A do C.
Pokaż Ukryj rozwiązanie

Średniej prędkości nie obliczamy nigdy jako średniej arytmetycznej – przypomina o tym pierwsze zdanie zadania. Musimy każdorazowo dzielić drogę przez czas lub skorzystać z równania drogi, co na jedno wychodzi.

Będziemy rozpatrywać 3 sytuacje: podróż z A do B, podróż z B do C oraz całą podróż z A do C. Oznaczmy przez s odległość z A do B oraz równą jej odległość z B do C. Wówczas oczywiście cała droga z A do C będzie miała długość 2s. Niech t₁ oznacza czas podróży z A do B, a t₂ czas podróży z B do C. Szukaną średnią prędkość oznaczymy przez x. Sporządzamy tabelę:

	droga	prędkość	czas	równanie
z A do B	`s`	`40`	`t_1`	`s = 40t_1`
z B do C	`s`	`60`	`t_2`	`s = 60t_2`
z A do C	`2s`	`x`	`t_1 + t_2`	`2s = x(t_1 + t_2)`

Układ trzech równań zawiera cztery niewiadome, uzyskanie rozwiązania wydaje się więc niemożliwe. No cóż, zobaczymy.

Najpierw wyliczmy t₁ i t₂ z dwóch pierwszych równań i podstawmy je w równaniu trzecim:

`{(t_1 = s/40), (t_2 = s/60), (2s = x(s/40 + s/60)):}`

Dalej rozwiązujemy tylko równanie trzecie, zakładając, że s musi być dodatnie:

`2s = sx(1/40 + 1/60)`
`2 = x(1/40 + 1/60)`
`x = 2/(1/40 + 1/60)`

Jak widać, średnia prędkość jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności prędkości; taką średnią nazywamy harmoniczną. Wyliczmy jej wartość:

`x = 2/(3/120 + 2/120)`
`x = 2/(5/120)`
`x = (2*120)/5`
`x = 2*24`
`x = 48`

Średnia prędkość samochodu na całej trasie wyniosła 48 km/h.

Darmowy hosting zapewnia PRV.PL

Zadania z prędkości

1 2 3