Wersja z 2022-04-24

Pochodne i całki

Podstawowe wzory rachunku różniczkowego i całkowego

pochodna `f'(x) = dy/dx = y_x'` funkcja dana `f(x)` całka nieoznaczona `int  f(x) dx` uwagi
wzory ogólne
`(g(x) +- h(x))' = g'(x) +- h'(x)`   `f(x) = g(x) +- h(x)`   `int  (g(x) +- h(x))  dx = int  g(x)  dx +- int  h(x) dx` `(int  f(x)  dx)' = f(x)`
`(a  g(x))' = a  g'(x)`   `f(x) = a  g(x)`   `int  a  g(x)  dx = a int  g(x) dx` `a` – stała
`(g(x)  h(x))' = g'(x)  h(x) + g(x)  h'(x)`   `f(x) = g(x)  h(x)`   brak ogólnego wzoru  
`(uv)' = u'v + uv'` `f = uv`
`(g(x)/(h(x)))' = (g'(x)  h(x) - g(x)  h'(x))/[h(x)]^2`   `f(x) = g(x)/(h(x))`   brak ogólnego wzoru `h(x) != 0`
`(u/v)' = (u'v - uv')/v^2` `f = u/v` `v != 0`
`((g(x))^(h(x)))' = (g(x))^(h(x)) (h'(x)  ln g(x) + h(x) (g'(x))/(g(x)))`   `f(x) = (g(x))^(h(x))`   brak ogólnego wzoru `g(x) != 0`
`((g(x))^(h(x)))' = (g(x))^(h(x)-1) (h'(x)  g(x)  ln g(x) + h(x)  g'(x))`
`(u^v)' = u^v(v' ln u + v(u')/u)` `f = u^v` `u != 0`
`(u^v)' = u^(v-1) (v' u ln u + v u')`
`(f(g(x)))' = f'(g(x))  g'(x)`   `f(x) = f(g(x))`   brak ogólnego wzoru funkcja złożona
`f_x' = f_g' g_x'` `f_x = f_g`, `g = g_x`
`(g(x)  h'(x))' = g'(x)  h'(x) + g(x)  h″(x)`   `f(x) = g(x)  h'(x)`   `int  g(x)  h'(x)  dx = g(x)  h(x) - int  g'(x)  h(x)  dx` całkowanie przez części
`(uv')' = u'v' + uv″` `f = uv'` `int  uv'  dx = uv - int  u'v  dx`
`int  u  dv = uv - int  v  du`
`(f(g(x))  g'(x))' = f'(g(x))  g'(x) + f(g(x))  g″(x)`   `f(x) = f(g(x))  g'(x)`, `t = g(x)`   `int  f(g(x))  g'(x)  dx = int  f(t)  dt` całkowanie przez podstawianie
`((g'(x))/(g(x)))' = (g″(x)  g(x) - (g'(x))^2)/(g(x))^2`   `f(x) = (g'(x))/(g(x))`   `int  (g'(x))/(g(x))  dx = ln  abs(g(x))` całka pochodnej logarytmicznej
`((g'(x))/sqrt(g(x)))' = (g″(x)  g(x) - g'(x))/(2 g(x) sqrt(g(x)))`   `f(x) = (g'(x))/sqrt(g(x))`   `int  (g'(x))/sqrt(g(x))  dx = 2 sqrt(g(x))` całka pochodnej pierwiastkowej
wzory szczegółowe
pochodna `f'(x) = dy/dx = y_x'` funkcja dana `f(x)` całka nieoznaczona `int  f(x) dx` uwagi
`0`   `0`   `C` `C` – stała dowolna
`0`   `1`   `x`  
`0`   `a`   `ax`  
`1`   `x`   `1/2 x^2`  
`a`   `ax + b`   `1/2 ax^2 + bx`  
`2x`   `x^2`   `1/3 x^3`  
`2ax + b`   `ax^2 + bx + c`   `1/3 ax^3 + 1/2 bx^2 + cx`  
`3x^2`   `x^3`   `1/4 x^4`  
`-1/x^2` `-x^(-2)`   `1/x` `x^(-1)`   `ln  abs(x)` `x != 0`
`-a/(ax + b)^2` `-a(ax + b)^(-2)`   `1/(ax + b)` `(ax + b)^(-1)`   `1/a ln  abs(ax + b)` `x != -b/a`
`-2/x^3` `-2x^(-3)`   `1/x^2` `x^(-2)`   `-1/x` `x != 0`
`1/(2 sqrt(x))` `1/2 x^(-1/2)`   `sqrt(x)` `x^(1/2)`   `2/3 x sqrt(x)` `2/3 sqrt(x^3)` `2/3 x^(3/2)` `x >= 0` (dla pochodnej `x > 0`)
`-1/(2 x sqrt(x))` `-1/(2 sqrt(x^3))` `-1/2 x^(-3/2)`   `1/sqrt(x)` `x^(-1/2)`   `2 sqrt(x)` `2 x^(1/2)` `x > 0`
`1/(3 root(3)(x^2))` `1/3 x^(-2/3)`   `root(3)(x)` `x^(1/3)`   `3/4 x root(3)(x)` `3/4 root(3)(x^4)` `3/4 x^(4/3)` dla pochodnej `x != 0`
`-1/(3 root(3)(x^4))` `-1/(3 x root(3)(x))` `-1/3 x^(-4/3)`   `1/root(3)(x)` `x^(-1/3)`   `3/2 root(3)(x^2)` `3/2 x^(2/3)` `x != 0`
`ap x^(p-1)`   `ax^p`, `p != -1`   `a/(p+1) x^(p+1)` `p != -1`
`-a x^(-2)`   `ax^(-1)`   `a ln  abs(x)` `x != 0`
`ap (ax + b)^(p-1)`   `(ax + b)^p`, `p != -1`   `1/(a(p+1)) (ax+b)^(p+1)` `a != 0 ^^ p != -1`
`-a (ax + b)^(-2)`   `(ax + b)^(-1)`   `1/a ln  abs(ax + b)` `a != 0`
`1/(n root(n)(x^(n-1)))`   `root(n)(x)`   `n/(n+1) root(n)(x^(n+1))` `n!=0 ^^ n!=1 ^^ x > 0`
`-(2x)/(x^2+a^2)^2`   `1/(x^2+a^2)`   `1/a "arc tg"  x/a` `a != 0`
`(2x)/(x^2+a^2)^2`   `-1/(x^2+a^2)`   `1/a "arc ctg"  x/a` `a != 0`
`-(2x)/(x^2-a^2)^2`   `1/(x^2-a^2)`   `-1/a "ar tgh"  x/a` `1/(2a)  ln  abs((x-a)/(x+a))` `a != 0 ^^ -a < x < a`
`-(2x)/(x^2-a^2)^2`   `1/(x^2-a^2)`   `-1/a "ar ctgh"  x/a` `1/(2a)  ln  abs((x-a)/(x+a))` `a != 0 ^^ (x < -a vv x > a)`
`(2x)/(a^2-x^2)^2`   `1/(a^2-x^2)`   `1/a "ar tgh"  x/a` `1/(2a)  ln  abs((a+x)/(a-x))` `a != 0 ^^ -a < x < a`
`(2x)/(a^2-x^2)^2`   `1/(a^2-x^2)`   `1/a "ar ctgh"  x/a` `1/(2a)  ln  abs((a+x)/(a-x))` `a != 0 ^^ (x < -a vv x > a)`
`-x/sqrt((x^2+a^2)^3)`   `1/sqrt(x^2+a^2)`   `"ar sinh"  x/a` `ln  abs(x + sqrt(x^2 + a^2))` `a != 0`
`-x/sqrt((x^2-a^2)^3)`   `1/sqrt(x^2-a^2)`   `"ar cosh"  x/a` `ln  abs(x + sqrt(x^2 - a^2))` `a != 0 ^^ x > a`
`x/sqrt((a^2-x^2)^3)`   `1/sqrt(a^2-x^2)`   `"arc sin"  x/a` `a != 0 ^^ x in (-a, a)`
`-x/sqrt((a^2-x^2)^3)`   `-1/sqrt(a^2-x^2)`   `"arc cos"  x/a` `a != 0 ^^ x in (-a, a)`
`e^x`   `e^x`   `e^x`  
`a^x ln a`   `a^x`   `a^x/(ln a)` `1/(ln a) a^x` `a > 0 ^^ a != 1`
`1/x`   `ln x`   `x ln x - x` `x (ln x -1)` `x > 0`
`1/(x ln a)`   `log_a x`   `x log_a x - 1/(ln a) x` `x/(ln a) (ln x - 1)` `a > 0 ^^ a != 1 ^^ x > 0`
`x^x (1 + ln x)`   `x^x`   nie wyraża się przez funkcje elementarne `x > 0`
`x^(x^x) [x^(x-1)+x ln x (1 + ln x)]`   `x^(x^x)`   nie wyraża się przez funkcje elementarne `x > 0`
`cos x` `sin  (x +pi/2)`   `sin x`   `- cos x`  
`- sin x` `cos  (x +pi/2)`   `cos x`   `sin x`  
`sec^2 x` `1/(cos^2 x)` `1+ "tg"^2  x`   `"tg"  x`   `- ln  abs(cos x)` `x != k pi + pi/2, k in ZZ`
`- csc^2 x` `- 1/(sin^2 x)` `-1 - "ctg"^2  x`   `"ctg"  x`   `ln  abs(sin x)` `x != k pi, k in ZZ`
`"tg"  x sec x` `(sin x)/(cos^2 x)`   `sec x` `1/(cos x)`   `ln  abs(sec x + "tg" x)` `ln  abs("tg" (x/2+pi/4))` `x != k pi + pi/2, k in ZZ`
`-"ctg"  x csc x` `- (cos x)/(sin^2 x)`   `csc x` `1/(sin x)`   `ln  abs(csc x + "ctg"  x)` `ln  abs("tg"  x/2)` `x != k pi, k in ZZ`
`2  "tg"  x sec^2 x`   `sec^2 x` `1/(cos^2 x)`   `"tg"  x` `x != k pi + pi/2, k in ZZ`
`-2  "ctg"  x csc^2 x`   `csc^2 x` `1/(sin^2 x)`   `-"ctg"  x` `x != k pi, k in ZZ`
`1/sqrt(1-x^2)`   `"arc sin"  x`   `x  "arc sin"  x + sqrt(1-x^2)` `-1 < x < 1`
`-1/sqrt(1-x^2)`   `"arc cos"  x`   `x  "arc cos"  x - sqrt(1-x^2)` `-1 < x < 1`
`1/(1+x^2)`   `"arc tg"  x`   `x  "arc tg"  x - 1/2 ln  (x^2 + 1)`  
`-1/(1+x^2)`   `"arc ctg"  x`   `x  "arc ctg"  x + 1/2 ln  (x^2 + 1)`  
`1/(x sqrt(x^2-1))`   `"arc sec"  x`   `x  "arc sec"  x - "ar cosh"  x` `x  "arc sec"  x - ln  (x + sqrt(x^2-1))` `x > 1`
`-1/(x sqrt(x^2-1))`   `"arc csc"  x`   `x  "arc csc"  x + "ar cosh"  x` `x  "arc csc"  x + ln  (x + sqrt(x^2-1))` `x > 1`
`cosh x`   `sinh x` `(e^x - e^(-x))/2`   `cosh x`  
`sinh x`   `cosh x` `(e^x + e^(-x))/2`   `sinh x`  
`sech^2 x` `1/(cosh^2 x)` `1- "tgh"^2  x`   `"tgh"  x` `(e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))`   `ln cosh x`  
`- csch^2 x` `- 1/(sinh^2 x)` `1 - "ctgh"^2  x`   `"ctgh"  x` `(e^x + e^(-x))/(e^x - e^(-x))`   `ln  abs(sinh x)` `x != 0`
`-"tgh"  x sech x` `- (sinh x)/(cosh^2 x)`   `sech x` `1/(cosh x)` `2/(e^x + e^(-x))`   `"arc tg"  sinh x` `2  "arc tg"  "tgh"  x/2`  
`-"ctgh"  x csch x` `- (cosh x)/(sinh^2 x)`   `csch x` `1/(sinh x)` `2/(e^x - e^(-x))`   `- "arc ctg"  cosh x` `ln "tgh"  x/2` `x != 0`
`-2  "tg"  x sec^2 x`   `sech^2 x` `1/(cosh^2 x)`   `"tgh"  x` dla pochodnej `x != k pi + pi/2, k in ZZ`
`-2  "ctg"  x csc^2 x`   `csch^2 x` `1/(sinh^2 x)`   `-"ctgh"  x` `x != 0` (dla pochodnej `x != k pi, k in ZZ`)
`1/sqrt(x^2+1)`   `"ar sinh"  x` `ln (x+sqrt(x^2+1))`   `x  "ar sinh"  x - sqrt(x^2+1)`  
`1/sqrt(x^2-1)`   `"ar cosh"  x` `ln (x+sqrt(x^2-1))`   `x  "ar cosh"  x - sqrt(x^2-1)` `x > 1`
`1/(1-x^2)`   `"ar tgh"  x` `1/2 ln ((1+x)/(1-x))`   `x  "ar tgh"  x + 1/2 ln  (1 - x^2)` `-1 < x < 1`
`1/(1-x^2)`   `"ar ctgh"  x` `1/2 ln ((x+1)/(x-1))`   `x  "ar ctgh"  x + 1/2 ln  (1 - x^2)` `x < -1 vv x > 1`
`-1/(x sqrt(1-x^2))`   `"ar sech"  x` `ln (1/x+sqrt(1/x^2-1))` `ln ((1+sqrt(1-x^2))/x)`   `x  "ar sech"  x + "arc sin"  x` `0 < x < 1`
`-1/(abs(x) sqrt(1+x^2))`   `"ar csch"  x` `ln (1/x+sqrt(1/x^2+1))` `ln ((1+sqrt(1+x^2))/x)`   `x  "ar csch"  x + "ar sinh"  x` `x != 0`

Całki podano bez stałej `C`
Założono, że wszystkie podane wyrażenia mają sens liczbowy, tj. `x` należy do dziedziny funkcji (pochodnej, całki), a stałe są dobrane odpowiednio.
Nie wszystkie warunki podano w tabeli, ponieważ mogą one zależeć od doboru parametrów, np. `ax^p` jest określone dla dowolnego `x in RR` tylko jeśli `p in NN` (dla `p in ZZ` w ogólności zakładamy `x != 0`, a dla `p in RR` w ogólności zakładamy `x > 0`).

`a, b, c, p` stała (dowolna liczba rzeczywista)
`e` stała Eulera, `e ~~ 2.7182818…`