Wersja z 2020-03-02

English versionWersja dwujęzycznaBilanguage version

Grzegorz Jagodziński

Trygonometria

Definicje funkcji trygonometrycznych

funkcje podstawowe
sinus (sin) `sin alpha = y/r`   cosinus (cos) `cos alpha = x/r`
tangens (tg, tan) `"tg" alpha = y / x`   cotangens (ctg, cot) `"ctg" alpha = x/y`
secans (sec) `sec alpha = r/x`   cosecans (csc, cosec) `csc alpha = r/y`
funkcje dodatkowe
sinus versus (vsin, versin) `"vsin" alpha = 1 - cos alpha`   sinus coversus (cvsin, coversin) `"cvsin" alpha = 1 - sin alpha`
cosinus versus (vcos, vercos) `"vcos" alpha = 1 + cos alpha`   cosinus coversus (cvcos, covercos) `"cvcos" alpha = 1 + sin alpha`
semi sinus versus (svsin, sversin, sem, hav, havsin) `"svsin" alpha = (1 - cos alpha)/2`   semi sinus coversus (scvsin, scoversin, scv, hacvsin) `"scvsin" alpha = (1 - sin alpha)/2`
semi cosinus versus (svcos, svercos, havcos) `"svcos" alpha = (1 + cos alpha)/2`   semi cosinus coversus (scvcos, scovercos, hacvcos) `"scvcos" alpha = (1 + sin alpha)/2`
exsecans (exsec) `"exsec" alpha = sec alpha - 1`   excosecans (excsc, excosec) `"excsc" alpha = csc alpha - 1`
funkcje specjalne
chorda (crd) `"crd" alpha = sqrt(sin^2 alpha + "vsin"^2 alpha)`   cochorda (ccrd, cocrd) `"ccrd" alpha = sqrt(cos^2 alpha + "cvsin"^2 alpha)`
sagitta (sgt) `"sgt" alpha = "vsin" alpha/2`   cosagitta (csgt, cosgt) `"csgt" alpha = "cvsin" alpha/2`

Rozwiązywanie trójkątów

Oznaczenia:

Trójkąty płaskie

wzór dane szukane
`A + B + C = 180°` suma kątów w trójkącie `A, B` `C = 180° - A - B`
`a/(sin A) = b/(sin B) = c/(sin C) = 2R` wzór sinusów, twierdzenie Snelliusa `a, A, B` `b = (a sin B)/(sin A)`
`a, b, A` `sin B = (b sin A)/a`
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C` wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, twierdzenie al-Kasziego, uogólnione twierdzenie Pitagorasa `a, b, C` `c = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab cos C)`
`a, b, c` `cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)`
`cos B = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)`
`cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)`
`c = a cos B + b cos A` wzór rzutów `a, b, A, B` `c = a cos B + b cos A`
`a, b, A, C` `c = (b - a cos C)/(cos A)`
`a, b, c, A` `cos B = (c - b cos A)/a`
`cos C = (b - c cos A)/a`
`(a + b)/c = (cos (A - B)/2)/(cos (A + B)/2)` wzory Mollweide’a `a, b, A, B` `c = (a + b) (cos (A + B)/2)/(cos (A - B)/2)`
`(a - b)/c = (sin (A - B)/2)/(sin (A + B)/2)` `c = (a - b) (sin (A + B)/2)/(sin (A - B)/2)`
`(a + b)/(a - b) = ("tg" (A + B)/2)/("tg" (A - B)/2)` wzór tangensów Nepera / Regiomontana `a, b, C` 1 `A + B = 180° - C`
2 `"tg" (A - B)/2 = (a - b)/(a + b) "tg" (A+ B)/2`
`"tg" (A - B)/2 = (a - b)/(a + b) "ctg" C/2`
3 `A = ((A + B) + (A - B))/2`
4 `B = ((A + B) - (A - B))/2`
`"tg" C = (c sin B)/(a - c cos B) = (c sin A)/(b - c cos A)` wzór tangensów `a, A, B` `c = a cos B + (a sin B)/("tg" A)`
`a, c, B` `"tg" A = (a sin B)/(c - a cos B)`
`"tg" C = (c sin B)/(a - c cos B)`
`("ctg" A/2)/(p - a) = ("ctg" B/2)/(p - b) = ("ctg" C/2)/(p - c) = 1/r` wzór cotangensów `a, b, c, A` `"ctg" B/2 = (p - b)/(p - a) "ctg" A/2`
`"ctg" C/2 = (p - c)/(p - a) "ctg" A/2`
`sin^2 C/2 = ((p - a)(p - b))/(ab)` wzory połówkowe `a, b, c` `sin A/2 = sqrt(((p - b)(p - c))/(bc))`
`cos A/2 = sqrt((p(p - a))/(bc))`
`"tg" A/2 = sqrt(((p - b)(p - c))/(p(p - a)))`
`cos^2 C/2 = (p(p - c))/(ab)` `sin B/2 = sqrt(((p - a)(p - c))/(ac))`
`cos B/2 = sqrt((p(p - b))/(ac))`
`"tg" B/2 = sqrt(((p - a)(p - c))/(p(p - b)))`
`"tg"^2 C/2 = ((p - a)(p - b))/(p(p - c))` `sin C/2 = sqrt(((p - a)(p - b))/(ab))`
`cos C/2 = sqrt((p(p - c))/(ab))`
`"tg" C/2 = sqrt(((p - a)(p - b))/(p(p - c)))`
`sin A = (2S)/(bc)`   `a, b, c` `sin A = 2/(bc) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))`
`sin B = 2/(ac) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))`
`sin C = 2/(ab) sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))`
       

wzór dane szukane
wysokość trójkąta `b, C` `h_a = b sin C`
`c, B` `h_a = c sin B`
`a, C` `h_b = a sin C`
`c, A` `h_b = c sin A`
`a, B` `h_c = a sin B`
`b, A` `h_c = b sin A`
środkowe trójkąta `a, b, c` `m_a = 1/2 sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2)`
`m_b = 1/2 sqrt(2a^2 + 2c^2 - b^2)`
`m_c = 1/2 sqrt(2a^2 + 2b^2 - c^2)`
dwusieczne trójkąta `a, b, c` `l_A = (sqrt(bcp(p - a)))/(b + c)`
`l_B = (sqrt(bcp(p - b)))/(a + c)`
`l_C = (sqrt(bcp(p - c)))/(a + b)`
promień okręgu wpisanego `a, b, c` `r = sqrt(((p - a)(p - b)(p - c))/p)`
`a, b, c, A` `r = (p - a) "tg" A/2`
`a, b, c, B` `r = (p - b) "tg" B/2`
`a, b, c, C` `r = (p - c) "tg" C/2`
`a, b, c, S` `r = S/p`
`a, b, c, R` `r = (abc)/(4pR)`
promień okręgu opisanego `a, A` `R = a/(2 sin A)`
`a, b, c, r` `R = (abc)/(4pr)`
`a, b, c, S` `R = (abc)/(4S)`
pole trójkąta `a, h_a` `S = 1/2 ah_a`
`a, b, C` `S = 1/2 ab sin C`
`a, B, C` `S = (a^2 sin B sin C)/(2 sin (B + C))`
`a, b, c` `S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c))`
`a, b, c, r` `S = pr`
`a, b, c, R` `S = (abc)/(4R)`
`A, B, C, R` `S = 2R^2 sin A sin B sin C`

Trójkąty sferyczne

wzór dane szukane
       
       
   
       
   
 
 
       
   
   
 
       
   
         
   
 
   
   
       
   
 
       
 
 
   
 
 
   
 
 
       
 
 
       

wzór dane szukane
     
   
   
   
   
   
     
 
 
     
 
 
     
   
   
   
   
   
     
   
   
     
   
   
   
   
   
   

Funkcje sumy i różnicy kątów

Zacznij od pogrubionego odcinka, którego długość jest równa 1. Kontynuuj z trójkątem, do którego należy ten jednostkowy odcinek: wyraź długość dwóch jego pozostałych boków funkcjami trygonometrycznymi. Następnie zrób to samo z innymi trójkątami, używając boków o już znanych długościach jako bazy. Na koniec znajdź potrzebną funkcję sumy lub różnicy kątów.

 
`sin` `(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta`   `sin` `(alpha - beta) = sin alpha cos beta - cos alpha sin beta`
`cos` `(alpha + beta) = cos alpha cos beta - sin alpha sin beta`   `cos` `(alpha - beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta`
 
`"tg" (alpha + beta) = ("tg" alpha + "tg" beta)/(1 - "tg" alpha "tg" beta)`   `"tg" (alpha - beta) = ("tg" alpha - "tg" beta)/(1 + "tg" alpha "tg" beta)`
`sec` `(alpha + beta) = (sec alpha sec beta)/(1 - "tg" alpha "tg" beta)`   `sec` `(alpha - beta) = (sec alpha sec beta)/(1 + "tg" alpha "tg" beta)`
 
`"ctg" (alpha + beta) = ("ctg" alpha "ctg" beta - 1)/("ctg" alpha + "ctg" beta)`   `"ctg" (alpha - beta) = ("ctg" alpha "ctg" beta + 1)/("ctg" beta - "ctg" alpha)`
`csc` `(alpha + beta) = (csc alpha csc beta)/("ctg" alpha + "ctg" beta)`   `csc` `(alpha - beta) = (csc alpha csc beta)/("ctg" beta - "ctg" alpha)`

Grafika stanowi ręcznie zmodyfikowaną wersję diagramów umieszczonych na Wikipedii