Wersja z 2014-01-13

Grzegorz Jagodziński

5. Zamiana ułamków niewłaściwych na liczby mieszane

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną zwana jest inaczej wyłączaniem całości. W wykonaniu tej operacji pomaga biegła znajomość tabliczki mnożenia. Kalkulator niewiele się przydaje, jeśli nie umie się sprytnie z niego skorzystać.

Najpierw pokażemy, jak wyłączać całości „ręcznie”, w pamięci, bez pomocy kalkulatora. Przypuśćmy, że mamy zamienić ułamek niewłaściwy `41/7` na liczbę mieszaną:

• przypominamy sobie wyniki mnożenia przez 7 (mianownik ułamka) zbliżone do 41 (licznik),
• okazuje się, że liczba 41 (licznik) mieści się między 35 (czyli `5*7`) a 42 (czyli `6*7`),
• piszemy znak równości, a następnie zapamiętujemy mniejszą z tych liczb (35) i zapisujemy mnożną (5, bo `35 = 5*7`),
• innymi słowy: po znaku równości piszemy 5, bo mianownik (7) mieści się w liczniku (41) pięć razy (a sześć razy już się nie mieści, bo 42 jest większe od 41),
• zapisujemy kreskę ułamkową,
• obliczamy różnicę danego licznika (41) i zapamiętanego wyniku mnożenia (35): `41 - 35 = 6`,
• otrzymaną różnicę (6) zapisujemy nad kreską ułamkową jako licznik,
• uwaga: liczba ta (6) jest resztą z dzielenia 41 przez 7,
• przepisujemy mianownik (7) bez zmian do mianownika wyniku.

Ostatecznie `41/7 = 5 6/7`. Uwaga: w razie wątpliwości sprawdzamy wynik, zamieniając otrzymaną liczbę mieszaną z powrotem na ułamek niewłaściwy metodą podaną w poprzednim rozdziale.

Inny przykład: `4/3 = 1 1/3`, bo dzielenie `4 : 3` prowadzi do wyniku `1`, przy czym zostaje reszta `1`.

Zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną metodą dzielenia pisemnego prześledzimy na przykładzie `1003/8`. W tym celu wykonamy dzielenie z resztą `1003 : 8` metodą pisemną:

 1
----
1003 : 8

 1
----
1003 : 8
 8

 1
----
1003 : 8
 8
--
 2

 1
----
1003 : 8
 8
--
 20

 12
----
1003 : 8
 8
--
 20

 12
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16

 12
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16
 --
  4

 12
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16
 --
  43

 125
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16
 --
  43

 125
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16
 --
  43
  40

 125
----
1003 : 8
 8
--
 20
 16
 --
  43
  40
  --
   3

1. pierwszej cyfry dzielnej (1) nie da się podzielić na 8, zatem bierzemy dwie pierwsze cyfry (10) i dzielimy na 8, otrzymując wynik 1, który zapisujemy nad pierwszym zerem dzielnej,
2. mnożymy pierwszą cyfrę wyniku (1) przez dzielnik (8), i otrzymany wynik (8) zapisujemy pod pierwszym zerem dzielnej,
3. podkreślamy i odejmujemy 10 − 8 = 2, wynik zapisujemy pod kreską (pod cyfrą 8),
4. do wyniku odejmowania (2) dopisujemy kolejną cyfrę dzielnej (0),
5. otrzymaną liczbę (20) dzielimy przez dzielnik (8), otrzymując wynik 2, który wpisujemy u góry, nad trzecią cyfrą dzielnej (0),
6. wynik (2) mnożymy przez dzielnik (8), a otrzymany rezultat (16) zapisujemy pod liczbą 20,
7. podkreślamy i odejmujemy 20 − 16 = 4, wynik zapisujemy pod kreską (pod cyfrą 6),
8. dopisujemy kolejną (ostatnią) cyfrę dzielnej (3),
9. otrzymaną liczbę (43) dzielimy przez dzielnik (8), otrzymując wynik 5, który wpisujemy u góry, nad czwartą cyfrą dzielnej (3),
10. wynik (5) mnożymy przez dzielnik (8), a otrzymany rezultat (40) zapisujemy pod liczbą 43,
11. podkreślamy i odejmujemy 43 − 40 = 3, wynik zapisujemy pod kreską (pod cyfrą 0).

Odczytujemy wynik: 125 i reszta 3. Reszta będzie licznikiem ułamka, mianownik się nie zmieni (pozostanie 8). Zatem `1003/8 = 125 3/8`.

Zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną przy pomocy kalkulatora prześledzimy na przykładzie `151/11`:

• wykonujemy na kalkulatorze dzielenie `151 : 11` (często klawisz dzielenia opisany jest symbolem „/”, zatem lepszym zapisem byłoby równoważne `151//11`),
• wciskamy klawisz ze znakiem „=” i otrzymujemy wynik 13.72727273 (i nie kasujemy go jeszcze),
• piszemy znak równości, a następnie przepisujemy część wyniku na lewo od kropki dziesiętnej, czyli 13,
• piszemy kreskę ułamkową,
• od wyniku widocznego w okienku kalkulatora odejmujemy całości (13) i otrzymamy rezultat (0.727272727) mnożymy przez mianownik (11),
• otrzymany wynik (8) wpisujemy jako licznik w części ułamkowej wyniku,
• uwaga: jeśli kalkulator nie jest dobrej jakości, możemy otrzymać wynik w rodzaju 8.000000001 lub 7.999999999 – musimy wówczas wiedzieć, że oznacza on naprawdę 8,
• przepisujemy mianownik (11) bez zmian.

Ostatecznie `151/11 = 13 8/11`.

Symbolicznie zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną możemy zapisać:

We wzorze tym litera c oznacza wynik dzielenia `a : b` zaokrąglony w dół do liczby całkowitej (wzięty bez reszty). Wyrażenie `a - bc` to reszta z dzielenia (`r`). Przypomnijmy też, że w literowym zapisie liczby mieszanej (po prawej stronie) musimy użyć znaku „+”.

Zadania

5.1. Z podanych ułamków wyłącz całości:

Pokaż Ukryj rozwiązanie