Wersja z 2015-09-12
Sumy zebrano w prawej górnej części tabeli, różnice w lewej dolnej części.
| `-`\`+` | `1/2` | `1/3` | `1/4` | `1/5` | `1/6` | `1/7` | `1/8` | `1/9` | `1/10` | `1/11` | `1/12` |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| `1/2` | — | `5/6` | `3/4` | `7/10` | `2/3` | `9/14` | `5/8` | `11/18` | `3/5` | `13/22` | `7/12` |
| `1/3` | `1/6` | — | `7/12` | `8/15` | `1/2` | `10/21` | `11/24` | `4/9` | `13/30` | `14/33` | `5/12` |
| `1/4` | `1/4` | `1/12` | — | `9/20` | `5/12` | `11/28` | `3/8` | `13/36` | `7/20` | `15/44` | `1/3` |
| `1/5` | `3/10` | `2/15` | `1/20` | — | `11/30` | `12/35` | `13/40` | `14/45` | `3/10` | `16/55` | `17/60` |
| `1/6` | `1/3` | `1/6` | `1/12` | `1/30` | — | `13/42` | `7/24` | `5/18` | `4/15` | `17/66` | `1/4` |
| `1/7` | `5/14` | `4/21` | `3/28` | `2/35` | `1/42` | — | `15/56` | `16/63` | `17/70` | `18/77` | `19/84` |
| `1/8` | `3/8` | `5/24` | `1/8` | `3/40` | `1/24` | `1/56` | — | `17/72` | `9/40` | `19/88` | `5/24` |
| `1/9` | `7/18` | `2/9` | `5/36` | `4/45` | `1/18` | `2/63` | `1/72` | — | `19/90` | `20/99` | `7/36` |
| `1/10` | `2/5` | `7/30` | `3/20` | `1/10` | `1/15` | `3/70` | `1/40` | `1/90` | — | `21/110` | `11/60` |
| `1/11` | `9/22` | `8/33` | `7/44` | `6/55` | `5/66` | `4/77` | `3/88` | `2/99` | `1/110` | — | `23/132` |
| `1/12` | `5/12` | `1/4` | `1/6` | `7/60` | `1/12` | `5/84` | `1/24` | `1/36` | `1/60` | `1/132` | — |
Tabela zawiera wszystkie rozkłady zwyczajne ułamków właściwych o mianownikach 2–12, a także ich sum. Obejmuje też inne ułamki badane tu jako przykłady, również te, które rozkładane były jako reszty.
Zauważmy, że rozkład danego ułamka na 3 ułamki egipskie oznacza, że po założeniu wartości `a` badamy dwuskładnikowe rozkłady ułamka będącego różnicą. W istocie więc otrzymujemy przy okazji (dwuskładnikowe) rozkłady zwyczajne całkiem innego ułamka (o ile istnieją). Podobnie przy badaniu ułamków rozkładających się na cztery czynniki badamy także rozkład otrzymywanych po drodze różnic. Problem pojawia się jedynie przy ograniczeniach dotyczących mianownika – zakładamy bowiem, że w każdym kolejnym składniku rozkładu ma być on większy. Przed wypełnieniem tabeli zbadano także i te pominięte wartości.
| mianownik `2` | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| `1/2` | egipski | |||||||
| mianownik `3` | ||||||||
| `1/3` | egipski | |||||||
| `2/3` | `1/2 + 1/6` | |||||||
| mianownik `4` | ||||||||
| `1/4` | egipski | |||||||
| `2/4` | egipski (`= 1/2`) | |||||||
| `3/4` | `1/2 + 1/4` | |||||||
| mianownik `5` | ||||||||
| `1/5` | egipski | |||||||
| `2/5` | `1/3 + 1/15` | |||||||
| `3/5` | `1/2 + 1/10` | |||||||
| `4/5` | `1/2 + 1/5 + 1/10`, | `1/2 + 1/4 + 1/20` | ||||||
| mianownik `6` | ||||||||
| `1/6` | egipski | |||||||
| `2/6` | egipski (`= 1/3`) | |||||||
| `3/6` | egipski (`= 1/2`) | |||||||
| `4/6` | (`= 2/3`) | |||||||
| `5/6` | `1/2 + 1/3` | |||||||
| mianownik `7` | ||||||||
| `1/7` | egipski | |||||||
| `2/7` | `1/4 + 1/28` | |||||||
| `3/7` | `1/4 + 1/7 + 1/28`, | `1/4 + 1/6 + 1/84` | ||||||
| `4/7` | `1/2 + 1/14` | |||||||
| `5/7` | `1/2 + 1/7 + 1/14`, | `1/2 + 1/6 + 1/21`, | `1/2 + 1/5 + 1/70` | |||||
| `6/7` | `1/2 + 1/3 + 1/42` | |||||||
| mianownik `8` | ||||||||
| `1/8` | egipski | |||||||
| `2/8` | egipski (`= 1/4`) | |||||||
| `3/8` | `1/4 + 1/8`, | `1/3 + 1/24` | ||||||
| `4/8` | egipski (`= 1/2`) | |||||||
| `5/8` | `1/2 + 1/8` | |||||||
| `6/8` | (`= 3/4`) | |||||||
| `7/8` | `1/2 + 1/4 + 1/8`, | `1/2 + 1/3 + 1/24` | ||||||
| mianownik `9` | ||||||||
| `1/9` | egipski | |||||||
| `2/9` | `1/6 + 1/18`, | `1/5 + 1/45` | ||||||
| `3/9` | egipski (`= 1/3`) | |||||||
| `4/9` | `1/3 + 1/9` | |||||||
| `5/9` | `1/2 + 1/18` | |||||||
| `6/9` | (`= 2/3`) | |||||||
| `7/9` | `1/2 + 1/6 + 1/9`, | `1/2 + 1/4 + 1/36` | ||||||
| `8/9` | `1/2 + 1/3 + 1/18` | |||||||
| mianownik `10` | ||||||||
| `1/10` | egipski | |||||||
| `2/10` | egipski (`= 1/5`) | |||||||
| `3/10` | `1/5 + 1/10`, | `1/4 + 1/20` | ||||||
| `4/10` | (`= 2/5`) | |||||||
| `5/10` | egipski (`= 1/2`) | |||||||
| `6/10` | (`= 3/5`) | |||||||
| `7/10` | `1/2 + 1/5` | |||||||
| `8/10` | (`= 4/5`) | |||||||
| `9/10` | `1/2 + 1/3 + 1/15` | |||||||
| mianownik `11` | ||||||||
| `1/11` | egipski | |||||||
| `2/11` | `1/6 + 1/66` | |||||||
| `3/11` | `1/4 + 1/44` | |||||||
| `4/11` | `1/3 + 1/33` | |||||||
| `5/11` | `1/4 + 1/5 + 1/220`, | `1/3 + 1/11 + 1/33`, | `1/3 + 1/9 + 1/99` | |||||
| `6/11` | `1/2 + 1/22` | |||||||
| `7/11` | `1/2 + 1/11 + 1/22`, | `1/2 + 1/8 + 1/88` | ||||||
| `8/11` | `1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/924`, | `1/2 + 1/8 + 1/11 + 1/88`, | `1/2 + 1/8 + 1/10 + 1/440`, | `1/2 + 1/7 + 1/14 + 1/77`, | `1/2 + 1/7 + 1/12 + 1/924`, | `1/2 + 1/6 + 1/22 + 1/66`, | `1/2 + 1/6 + 1/21 + 1/77`, | `1/2 + 1/6 + 1/18 + 1/198`, |
| `1/2 + 1/6 + 1/17 + 1/561`, | `1/2 + 1/5 + 1/70 + 1/77`, | `1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/110`, | `1/2 + 1/5 + 1/45 + 1/198`, | `1/2 + 1/5 + 1/44 + 1/220`, | `1/2 + 1/5 + 1/40 + 1/440`, | `1/2 + 1/5 + 1/38 + 1/1045`, | `1/2 + 1/5 + 1/37 + 1/4070` | |
| `9/11` | `1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/55`, | `1/2 + 1/4 + 1/22 + 1/44`, | `1/2 + 1/4 + 1/20 + 1/55`, | `1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/176`, | `1/2 + 1/4 + 1/15 + 1/660` | |||
| `10/11` | `1/2 + 1/3 + 1/22 + 1/33`, | `1/2 + 1/3 + 1/15 + 1/110`, | `1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/231` | |||||
| mianownik `12` | ||||||||
| `1/12` | egipski | |||||||
| `2/12` | egipski (`= 1/6`) | |||||||
| `3/12` | egipski (`= 1/4`) | |||||||
| `4/12` | egipski (`= 1/3`) | |||||||
| `5/12` | `1/4 + 1/6`, | `1/3 + 1/12` | ||||||
| `6/12` | egipski (`= 1/2`) | |||||||
| `7/12` | `1/3 + 1/4`, | `1/2 + 1/12` | ||||||
| `8/12` | (`= 2/3`) | |||||||
| `9/12` | (`= 3/4`) | |||||||
| `10/12` | (`= 5/6`) | |||||||
| `11/12` | `1/2 + 1/4 + 1/6`, | `1/2 + 1/3 + 1/12` | ||||||
| inne ułamki | ||||||||
| `3/14` | `1/7 + 1/14`, | `1/6 + 1/21`, | `1/5 + 1/70` | |||||
| `5/14` | `1/3 + 1/42` | |||||||
| `9/14` | `1/2 + 1/7` | |||||||
| `2/15` | `1/12 + 1/20`, | `1/10 + 1/30`, | `1/9 + 1/45`, | `1/8 + 1/120` | ||||
| `4/15` | `1/6 + 1/10`, | `1/5 + 1/15`, | `1/4 + 1/60` | |||||
| `7/15` | `1/5 + 1/6 + 1/10`, | `1/4 + 1/6 + 1/20`, | `1/4 + 1/5 + 1/60`, | `1/3 + 1/12 + 1/20`, | `1/3 + 1/10 + 1/30`, | `1/3 + 1/9 + 1/45`, | `1/3 + 1/8 + 1/120` | |
| `8/15` | `1/3 + 1/5`, | `1/2 + 1/30` | ||||||
| `5/18` | `1/6 + 1/9`, | `1/4 + 1/36` | ||||||
| `7/18` | `1/3 + 1/18` | |||||||
| `11/18` | `1/2 + 1/9` | |||||||
| `3/20` | `1/12 + 1/15`, | `1/10 + 1/20`, | `1/8 + 1/40`, | `1/7 + 1/140` | ||||
| `7/20` | `1/4 + 1/10`, | `1/3 + 1/60` | ||||||
| `9/20` | `1/4 + 1/5` | |||||||
| `19/20` | `1/2 + 1/4 + 1/5` | |||||||
| `2/21` | `1/15 + 1/35`, | `1/14 + 1/42`, | `1/12 + 1/84`, | `1/11 + 1/231` | ||||
| `4/21` | `1/7 + 1/21`, | `1/6 + 1/42` | ||||||
| `5/21` | `1/6 + 1/14` | |||||||
| `8/21` | `1/3 + 1/21` | |||||||
| `10/21` | `1/3 + 1/7` | |||||||
| `11/21` | `1/2 + 1/42` | |||||||
| `3/22` | `1/11 + 1/22`, | `1/8 + 1/88` | ||||||
| `5/22` | `1/8 + 1/11 + 1/88`, | `1/8 + 1/10 + 1/440`, | `1/7 + 1/14 + 1/77`, | `1/7 + 1/12 + 1/924`, | `1/6 + 1/18 + 1/198`, | `1/6 + 1/17 + 1/561`, | `1/6 + 1/21 + 1/77`, | `1/6 + 1/22 + 1/66`, |
| `1/5 + 1/37 + 1/4070`, | `1/5 + 1/38 + 1/1045`, | `1/5 + 1/44 + 1/220`, | `1/5 + 1/45 + 1/198`, | `1/5 + 1/55 + 1/110`, | `1/5 + 1/70 + 1/77` | |||
| `7/22` | `1/5 + 1/10 + 1/55`, | `1/4 + 1/22 + 1/44`, | `1/4 + 1/20 + 1/55`, | `1/4 + 1/16 + 1/176`, | `1/4 + 1/15 + 1/660` | |||
| `9/22` | `1/3 + 1/22 + 1/33`, | `1/3 + 1/15 + 1/110`, | `1/3 + 1/14 + 1/231` | |||||
| `13/22` | `1/2 + 1/11` | |||||||
| `5/24` | `1/8 + 1/12`, | `1/6 + 1/24`, | `1/5 + 1/120` | |||||
| `7/24` | `1/6 + 1/8`, | `1/4 + 1/24` | ||||||
| `11/24` | `1/3 + 1/8` | |||||||
| `13/24` | `1/2 + 1/24` | |||||||
| `3/28` | `1/14 + 1/28`, | `1/12 + 1/42`, | `1/10 + 1/140` | |||||
| `5/28` | `1/7 + 1/28`, | `1/6 + 1/84` | ||||||
| `11/28` | `1/4 + 1/7` | |||||||
| `13/28` | `1/4 + 1/7 + 1/14`, | `1/4 + 1/6 + 1/21`, | `1/4 + 1/5 + 1/70` | |||||
| `7/30` | `1/6 + 1/15`, | `1/5 + 1/30` | ||||||
| `11/30` | `1/5 + 1/6`, | `1/3 + 1/30` | ||||||
| `13/30` | `1/3 + 1/10` | |||||||
| `17/30` | `1/2 + 1/15` | |||||||
| `4/33` | `1/11 + 1/33`, | `1/9 + 1/99` | ||||||
| `7/33` | `1/6 + 1/22` | |||||||
| `8/33` | `1/6 + 1/22 + 1/33`, | `1/6 + 1/15 + 1/110`, | `1/6 + 1/14 + 1/231`, | `1/5 + 1/30 + 1/110`, | `1/5 + 1/24 + 1/1320` | |||
| `10/33` | `1/6 + 1/11 + 1/22`, | `1/6 + 1/8 + 1/88`, | `1/5 + 1/10 + 1/330`, | `1/4 + 1/33 + 1/44`, | `1/4 + 1/24 + 1/88`, | `1/4 + 1/22 + 1/132`, | `1/4 + 1/20 + 1/330`, | `1/4 + 1/19 + 1/2508` |
| `13/33` | `1/4 + 1/7 + 1/924`, | `1/3 + 1/22 + 1/66`, | `1/3 + 1/21 + 1/77`, | `1/3 + 1/18 + 1/198`, | `1/3 + 1/17 + 1/561` | |||
| `14/33` | `1/3 + 1/11` | |||||||
| `16/33` | `1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/55`, | `1/4 + 1/7 + 1/11 + 1/924`, | `1/4 + 1/6 + 1/22 + 1/44`, | `1/4 + 1/6 + 1/20 + 1/55`, | `1/4 + 1/6 + 1/16 + 1/176`, | `1/4 + 1/6 + 1/15 + 1/660`, | `1/4 + 1/5 + 1/55 + 1/60`, | `1/4 + 1/5 + 1/33 + 1/220`, |
| `1/4 + 1/5 + 1/30 + 1/660`, | `1/3 + 1/12 + 1/22 + 1/44`, | `1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/55`, | `1/3 + 1/12 + 1/16 + 1/176`, | `1/3 + 1/12 + 1/15 + 1/660`, | `1/3 + 1/11 + 1/22 + 1/66`, | `1/3 + 1/11 + 1/21 + 1/77`, | `1/3 + 1/11 + 1/18 + 1/198`, | |
| `1/3 + 1/11 + 1/17 + 1/561`, | `1/3 + 1/10 + 1/30 + 1/55`, | `1/3 + 1/10 + 1/22 + 1/165`, | `1/3 + 1/10 + 1/20 + 1/660`, | `1/3 + 1/9 + 1/45 + 1/55`, | `1/3 + 1/9 + 1/33 + 1/99`, | `1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/297`, | `1/3 + 1/9 + 1/25 + 1/2475` | |
| `19/33` | `1/2 + 1/22 + 1/33`, | `1/2 + 1/15 + 1/110`, | `1/2 + 1/14 + 1/231` | |||||
| `2/35` | `1/30 + 1/42`, | `1/21 + 1/105`, | `1/20 + 1/140`, | `1/18 + 1/630` | ||||
| `3/35` | `1/20 + 1/28`, | `1/14 + 1/70`, | `1/12 + 1/420` | |||||
| `8/35` | `1/5 + 1/35` | |||||||
| `12/35` | `1/5 + 1/7`, | `1/3 + 1/105` | ||||||
| `5/36` | `1/12 + 1/18` | `1/9 + 1/36` | `1/8 + 1/72` | |||||
| `7/36` | `1/9 + 1/12`, | `1/6 + 1/36` | ||||||
| `13/36` | `1/4 + 1/9`, | `1/3 + 1/36` | ||||||
| `3/40` | `1/24 + 1/30`, | `1/20 + 1/40`, | `1/16 + 1/80`, | `1/15 + 1/120`, | `1/14 + 1/280` | |||
| `7/40` | `1/8 + 1/20`, | `1/6 + 1/120` | ||||||
| `9/40` | `1/8 + 1/10`, | `1/5 + 1/40` | ||||||
| `13/40` | `1/5 + 1/8` | |||||||
| `5/42` | `1/14 + 1/21`, | `1/12 + 1/28`, | `1/9 + 1/126` | |||||
| `11/42` | `1/4 + 1/84` | |||||||
| `13/42` | `1/6 + 1/7` | |||||||
| `41/42` | `1/2 + 1/3 + 1/7` | |||||||
| `5/44` | `1/12 + 1/33`, | `1/11 + 1/44`, | `1/9 + 1/396` | |||||
| `7/44` | `1/12 + 1/22 + 1/33`, | `1/12 + 1/15 + 1/110`, | `1/12 + 1/14 + 1/231`, | `1/11 + 1/22 + 1/44`, | `1/11 + 1/20 + 1/55`, | `1/11 + 1/16 + 1/176`, | `1/11 + 1/15 + 1/660`, | `1/10 + 1/20 + 1/110`, |
| `1/10 + 1/17 + 1/3740`, | `1/9 + 1/22 + 1/396`, | `1/9 + 1/21 + 1/2772`, | `1/8 + 1/44 + 1/88`, | `1/8 + 1/40 + 1/110`, | `1/8 + 1/33 + 1/264`, | `1/8 + 1/32 + 1/352`, | `1/8 + 1/30 + 1/1320`, | |
| `1/7 + 1/110 + 1/140`, | `1/7 + 1/84 + 1/231`, | `1/7 + 1/77 + 1/308`, | `1/7 + 1/66 + 1/924`, | `1/7 + 1/63 + 1/2772`, | `1/7 + 1/62 + 1/9548` | |||
| `9/44` | `1/5 + 1/220` | |||||||
| `15/44` | `1/4 + 1/11`, | `1/3 + 1/132` | ||||||
| `17/44` | `1/3 + 1/33 + 1/44`, | `1/3 + 1/24 + 1/88`, | `1/3 + 1/22 + 1/132`, | `1/3 + 1/20 + 1/330`, | `1/3 + 1/19 + 1/2508`, | `1/4 + 1/11 + 1/22`, | `1/4 + 1/8 + 1/88` | |
| `21/44` | `1/3 + 1/7 + 1/924` | |||||||
| `4/45` | `1/18 + 1/30`, | `1/15 + 1/45`, | `1/12 + 1/180` | |||||
| `14/45` | `1/5 + 1/9` | |||||||
| `4/55` | `1/20 + 1/45`, | `1/15 + 1/165`, | `1/14 + 1/770` | |||||
| `6/55` | ||||||||
| `9/55` | ||||||||
| `14/55` | `1/4 + 1/220` | |||||||
| `16/55` | `1/5 + 1/11` | |||||||
| `15/56` | `1/7 + 1/8`, | `1/4 + 1/56` | ||||||
| `7/60` | ||||||||
| `11/60` | `1/10 + 1/12`, | `1/6 + 1/60` | ||||||
| `17/60` | `1/5 + 1/12`, | `1/4 + 1/30` | ||||||
| `37/60` | `1/4 + 1/5 + 1/6`, | `1/3 + 1/5 + 1/12`, | `1/3 + 1/4 + 1/30`, | `1/2 + 1/15 + 1/20`, | `1/2 + 1/12 + 1/30`, | `1/2 + 1/10 + 1/60`, | `1/2 + 1/9 + 1/180` | |
| `47/60` | `1/3 + 1/4 + 1/5`, | `1/2 + 1/5 + 1/12`, | `1/2 + 1/4 + 1/30` | |||||
| `2/63` | ||||||||
| `5/63` | ||||||||
| `16/63` | `1/7 + 1/9`, | `1/4 + 1/252` | ||||||
| `5/66` | ||||||||
| `7/66` | ||||||||
| `17/66` | `1/6 + 1/11`, | `1/4 + 1/132` | ||||||
| `19/66` | ||||||||
| `3/70` | ||||||||
| `17/70` | `1/7 + 1/10` | |||||||
| `7/72` | ||||||||
| `17/72` | `1/8 + 1/9` | |||||||
| `3/77` | ||||||||
| `4/77` | ||||||||
| `10/77` | ||||||||
| `18/77` | `1/7 + 1/11` | |||||||
| `5/84` | ||||||||
| `19/84` | `1/7 + 1/12` | |||||||
| `3/88` | ||||||||
| `5/88` | ||||||||
| `19/88` | `1/8 + 1/11` | |||||||
| `19/90` | `1/9 + 1/10`, | `1/5 + 1/90` | ||||||
| `2/99` | ||||||||
| `7/99` | ||||||||
| `20/99` | `1/9 + 1/11`, | `1/5 + 1/495` | ||||||
| `9/110` | `1/15 + 1/66` | |||||||
| `21/110` | `1/10 + 1/11` | |||||||
| `23/132` | `1/11 + 1/12` | `1/6 + 1/132` | ||||||
| `3/179` | `1/60 + 1/10740` | |||||||