Wersja z 2017-07-04
Procent to inaczej jedna setna. Niektórzy protestują przeciwko takiemu zrównaniu, i twierdzą, że procent istnieje tylko z czegoś, podczas gdy jedna setna może być także niezależnym miernikiem ilości. Jednak takie rozróżnienie jest czysto scholastyczne i w praktyce zupełnie nieprzydatne. Dla celów obliczeniowych należy więc przyjąć, że procent to tylko kolejny zapis ułamka, zatem 1% = 1/100 = 0,01.
Warto też zapamiętać, że 100% = 1. Każdą liczbę można więc pomnożyć lub podzielić przez 100%, a wartość nie zmieni się, np. 8 = 8 · 100% = 800%. Oczywiście nie można po prostu pominąć znaku procenta! Można jednak go skrócić. Na przykład 200% można zawsze podzielić przez 100%, wówczas znaki „%” się skrócą, a następnie skrócą się po dwa zera, i ostatecznie otrzymamy: 200% = 200% / 100% = 200/100 = 2/1 = 2.
Prościej jest się nauczyć, że znak procenta skraca się z dwoma (końcowymi) zerami, np. 300% = 3, 6000% = 60, 10 500% = 105.
1. Zamień na ułamki dziesiętne: (a) 3%, (b) 17%, (c) 400%, (d) 3125%, (e) 0,2%, (f) 16,34%, (g) 0,005%, (h) 12,0034%.
2. Zamień na ułamki zwykłe: (a) 50%, (b) 75%, (c) 40%, (d) 8%, (e) 12,5%, (f) 6,25%, (g) 0,2%, (h) 0,875%.
Aby dokonać zamiany dowolnego ułamka na procent, trzeba najpierw zamienić go na ułamek dziesiętny. Można też mechanicznie przemnożyć ułamek przez 100% (co jest dozwolone, bo 100% to przecież 1). Czasem najszybciej jest po prostu wykonać dzielenie i przesunąć przecinek o 2 miejsca w prawo, dopisując znak procenta, np. 1/7 = 0,(142857) ≈ 14,29%.
3. Zamień na procenty: (a) 1/4, (b) 3/5, (c) 2/25, (d) 1/20, (e) 15/40, (f) 3/8, (g) 2, (h) 2 1/4.
4. Zamień na procenty, podając wynik z dokładnością do czterech cyfr znaczących: (a) 1/3, (b) 2/7, (c) 2/11, (d) 5/6, (e) 5/9, (f) 1 2/13, (g) 2 2/3, (h) 4 4/9. Nie zapomnij o odpowiednim zaokrągleniu!
Promil to inaczej jedna tysięczna, zatem 1‰ = 0,001. Obliczenia na promilach są analogiczne jak te na procentach. Warto zapamiętać, że 1% = 10‰ oraz 1‰ = 0,1%.
5. Zamień na ułamki dziesiętne: (a) 3‰, (b) 1,8‰, (c) 0,16‰, (d) 23,34‰.
6. Zamień na procenty: (a) 20‰, (b) 15‰, (c) 321,5‰, (d) 0,14‰.
7. Zamień na promile: (a) 0,3%, (b) 14,4%, (c) 4, (d) 1/4, (d) 7/8, (e) 11/40, (f) 23/64, (g) 7/20, (h) 2 3/4.
Najprościej zapamiętać, że słowo „z” (czegoś) oznacza w matematyce mnożenie. Zatem obliczenie np. pięciu procent z dwustu oznacza wykonanie mnożenia 5% · 200 = 1000% = 10. Przy obliczeniach typu p% z k nie warto posługiwać się proporcjami, wystarczy zapamiętać, że nowa wartość n = p% · k.
Uwaga: pominięcie znaku procenta w takich obliczeniach tam, gdzie jest on potrzebny, oznacza błąd stukrotny! Wolno natomiast przy mnożeniu skracać symbol procenta z dwoma zerami, np. 11% · 1000 = 11 · 10 = 110. Taka technika przyśpiesza obliczenia.
Jeśli nie ma z czym skrócić znaku procenta, dzielimy całość przez 100% (co zawsze jest dopuszczalne), np. 15% z 18 to 15% · 18 = 15%/100% · 18 = 15/100 · 18 = 15·18 / 100 = 270/100 = 27/10 = 2,7. Stąd mnemotechniczny wzór „kapelusz leży na stole”: n = k · p% / 100%, lub prościej n = k · p / 100 (kwota razy procent dzielone przez sto).
Istnieją kalkulatory, które ułatwiają obliczenia z wykorzystaniem procenta, np. Casio HS-8G. Warto przeczytać instrukcję obsługi takiego urządzenia, aby stosować potem wszystkie możliwości, których ono dostarcza. W przypadku omawianego kalkulatora obliczenie np. 26 procent z liczby 1500 oznacza wykonanie działania 1500×26% (bez wciskania znaku „=”). Otrzymujemy wówczas poprawny wynik 390. Uwaga! Ponieważ mnożenie jest przemienne, równie dobrze można wykonać działanie 26×1500%, wynik będzie taki sam.
Obliczenie określonej liczby promili z liczby wykonuje się analogicznie, np. 3 promile z 16 to 3‰ · 16 = 48‰ = 0,048. Także w tym wypadku trzeba bardzo uważać, by nie pominąć znaku promila tam, gdzie jest on potrzebny! Pomyłka byłaby wówczas tysiąckrotna. Zawsze wolno liczbę podzielić przez 1000‰ (bo zapis ten oznacza 1), choćby po to, by skrócić znak promila.
8. Oblicz: (a) 2% z 4600, (b) 4‰ z 540, (c) 9% z 332, (d) 14‰ z 56, (e) 28% ze 135, (f) 36% z 68, (g) 8% z 9,20, (h) 70‰ z 8,75.
W zadaniach tego typu można zastosować proporcję, choć sposób ten jest nieco dłuższy. Jeśli np. wiemy, że 4% z liczby k jest równe 6, to wówczas:
4% — 6
100% — k
Obliczamy k, wymnażając przekątną daną (6 · 100%) i dzieląc przez pozostałą wartość: k = 6 · 100% / 4% = 600/4 = 150.
Warto jednak przyswoić sobie szybszą technikę takich obliczeń. Polega ona na tym, że daną liczbę dzielimy przez procent, jaki stanowi (z liczby nieznanej). Technika ta jest nieintuicyjna, i trzeba ją po prostu zapamiętać. Przyśpiesza ona obliczenia, ale nie jest niezbędna. W razie potrzeby zawsze można przecież użyć proporcji.
W podanym przykładzie należy 6 podzielić przez 4%. Przeszkadza nam znak procenta w mianowniku, którego pozbędziemy się, mnożąc liczbę przez 100% (co zawsze jest dopuszczalne). Zatem 6 / 4% = 6 · 100% / 4% = 600/4 = 150. Zauważmy, że obliczenie jest identyczne jak to dokonywane przy pomocy proporcji, a jedyna różnica jest taka, że nie musimy proporcji pisać i od razu obliczamy wynik. Możemy też zapamiętać, że zamiast znaku procenta w mianowniku możemy wprowadzić do licznika dwa zera: 6 / 4% = 600/4 = 150. Po opanowaniu tej techniki wynik otrzymujemy błyskawicznie. Możemy ją zapisać symbolicznie: k = 100n / p.
Istnieje jeszcze jedno ciekawe usprawnienie techniki obliczeniowej, polegające na rozszerzeniu wyjściowego ułamka tak, aby w mianowniku otrzymać 100%. Na przykład mamy obliczyć liczbę, której 25% stanowi 14. Zgodnie z zasadą piszemy 14 / 25% i ułamek ten rozszerzamy przez 4: 56 / 100%. Ponieważ 100% to 1, więc mianownik możemy opuścić. Ostatecznie więc: 14 / 25% = 56 / 100% = 56. Technika ta jest bardzo cenna, jeśli dana liczba stanowi ilość procent, która jest ułamkiem okresowym typu 3,333…% czyli 3,(3)%. W takim wypadku ułamek rozszerzamy przez 3.
Niektóre kalkulatory (np. Casio HS-8G) obliczają liczbę z danego jej procentu w ten sposób: 6÷4% (bez użycia znaku „=”).
9. Znajdź liczbę, której: (a) 3% to 12, (b) 1,6% to 2000, (c) 25% to 13, (d) 75% to 120, (e) 50% to 496, (f) 33,(3)% to 37, (g) 66,(6)% to 72, (h) 12,5% to 110.
Tego typu obliczenia mają w chemii znaczenie kluczowe, bo tak właśnie liczymy stężenia procentowe. Metoda w tym wypadku jest bardzo podobna do poprzedniej: część dzielimy przez całość, a wynik wyrażamy w procentach. Zwykle trzeba przy tym wykonać mnożenie licznika przez 100% (co nie zmienia wyniku, bo 100% to przecież 1). Można też od razu dopisać dwa zera lub odpowiednio przesunąć przecinek, i jednocześnie dopisać znak procenta. Możemy też wykorzystać wzór p% = (n/k) · 100% lub p% = n·100% / k, identyczny z wzorem na stężenie procentowe, pomijając oznaczenia. Warto pamiętać, że 100% = 1, zatem mnożenie można dopisać dopiero po uproszczeniu ułamka.
Na przykład obliczmy, jakim procentem liczby 96 jest 64. Rachunek wygląda tak: 64/96 = 32/48 = 16/24 = 8/12 = 4/6 = 2/3 · 100% = 200% / 3 = 66,(6)%.
Kalkulatory wykonujące obliczenia procentowe obliczają, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba w taki sam sposób, jak obliczają liczbę z danego jej procentu. W naszym przykładzie należy wpisać 64÷96% (bez znaku „=”).
10. Oblicz jaki procent liczby: (a) 90 stanowi 54, (b) 280 stanowi 42, (c) 15 stanowi 8, (d) 11,2 stanowi 7,6.
1. (a) 3% = 0,03, (b) 17% = 0,17, (c) 400% = 4, (d) 3125% = 31,25, (e) 0,2% = 0,002, (f) 16,34% = 0,1634, (g) 0,005% = 0,00005, (h) 12,0034% = 0,120034.
2. (a) 50% = 1/2, (b) 75% = 3/4, (c) 40% = 40/100 = 4/10 = 2/5, (d) 8% = 8/100 = 2/25, (e) 12,5% = 125/1000 = 25/200 = 5/40 = 1/8, (f) 6,25% = 625/10000 = 125/2000 = 25/400 = 5/80 = 1/16, (g) 0,2% = 2/1000 = 1/500, (h) 0,875% = 875/100000 = 175/20000 = 35/4000 = 7/800.
3. (a) 1/4 = 25/100 = 25% lub 1/4 = 1/4 · 100% = 100/4 % = 25%, (b) 3/5 = 6/10 = 60% lub 3/5 · 100% = 3 · 20% = 60%, (c) 2/25 = 8/100 = 8% lub 2/25 · 100% = 2 · 4% = 8%, (d) 1/20 = 5/100 = 5% lub 1/20 · 100% = 1 · 5% = 5%, (e) 15/40 = 75/200 = 375/1000 = 37,5% lub 15/40 · 100% = 150/4 % = 75/2 % = 37,5%, (f) 3/8 = 75/200 = 375/1000 = 37,5% (warto zauważyć, że 3/8 = 15/40, co sprowadza ten przykład do poprzedniego), (g) 2 = 200/100 = 200% lub 2 · 100% = 200%, (h) 2 1/4 = 9/4 = 225/100 = 225% lub 2 1/4 = 9/4 = 9/4 · 100% = 9 · 25% = 225%.
4. (a) 1/3 ≈ 33,33%, (b) 2/7 ≈ 28,57%, (c) 2/11 ≈ 18,18%, (d) 5/6 ≈ 83,33%, (e) 5/9 ≈ 55,56%, (f) 1 2/13 ≈ 115,4%, (g) 2 2/3 ≈ 266,7%, (h) 4 4/9 ≈ 444,4%.
5. (a) 3‰ = 0,003, (b) 1,8‰ = 0,0018, (c) 0,16‰ = 0,00016, (d) 23,34‰ = 0,02334.
6. (a) 20‰ = 2%, (b) 15‰ = 1,5%, (c) 321,5‰ = 32,15%, (d) 0,14‰ = 0,014%.
7. (a) 0,3% = 3‰, (b) 14,4% = 144‰, (c) 4 = 4000‰, (d) 1/4 = 250‰, (d) 7/8 = 175/200 = 875/1000 = 875‰, (e) 11/40 = 55/200 = 275/1000 = 275‰, (f) 23/64 = 575/1600 = 14375/40000 = 359375/1000000 = 359,375‰, (g) 7/20 = 35/100 = 350‰, (h) 2 3/4 = 11/4 = 275/100 = 2750‰.
8. (a) 2% · 4600 = 2 · 46 = 92, (b) 4‰ · 540 = 2160‰ = 2,16, (c) 9% · 332 = 2988% = 29,88, (d) 14‰ · 56 = 784‰ = 0,784, (e) 28% · 135 = 37,8, (f) 36% · 68 = 24,48, (g) 8% · 9,2 = 0,736, (h) 70‰ · 8,75 = 0,6125.
9. (a) 12 / 3% = 1200/3 = 400, (b) 2000 / 1,6% = 200000 / 1,6 = 2000000/16 = 1000000/8 = 500000/4 = 250000/2 = 125000, (c) 13 / 25% = 1300/25 = 5200/100 = 52, (d) 120 / 75% = 12000/75 = 160, (e) 496 / 50% = 49600/50 = 4960/5 = 992, to samo zadanie warto rozwiązać inaczej, rozszerzając pierwotny ułamek przez 2: 496 / 50% = 992 / 100% = 992 (bo 100% to 1), (f) 37 / 33,(3)% = 111 / 100% = 111 (rozszerzamy przez 3), (g) 72 / 66,(6)% = 216 / 200% = 108 / 100% = 108, (h) 12,5% to 110.
10. (a) 54/90 = 6/10 = 600/10 % = 60%, (b) 42/280 = 6/40 = 3/20 = 300/20 % = 30/2 % = 15%, (c) 8/15 = 800/15 % = 160/3 % = 53,(3)%, (d) 7,6/11,2 = 76/112 = 38/56 = 19/28 = 1900/28 % = 950/14 % = 475/7 % = 67,(857142)% ≈ 67,86%.