Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.
This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.
Wersja z 2014-06-12
Jak to mówią zwykle współcześni matematycy, istnieją różne określenia funkcji, ale tylko jedno „ścisłe”. Pozostałe określa się złośliwie jako intuicyjne lub naiwne. Tymczasem to te właśnie „naiwne” sposoby rozumienia funkcji mają największą wartość praktyczną, także przy rozwiązywaniu problemów z różnych działów matematyki.
Słowo łacińskie functio oznacza działanie, wykonywanie, i dlatego właśnie rozumienie funkcji jako rodzaju działania (w sensie niematematycznym) jest najwłaściwsze (niezależnie od poronionych idei matematyków, którzy starają się jak mogą, by to stosunkowo jasne pojęcie maksymalnie zaciemnić). W tym najpierwotniejszym i całkiem właściwym rozumieniu światło żarówki możemy uznać za funkcję dopływającego prądu, obroty wiatraka za funkcję wiatru, a zakres władzy danego pracownika za funkcję zajmowanego przezeń stanowiska (umownie zresztą nazywanego także funkcją).
W matematyce jednak interesować nas będą funkcje, które operują na liczbach, i których rezultatem także są liczby. Tego rodzaju funkcje nazywamy funkcjami liczbowymi. Liczby, na których funkcja operuje, nazywamy argumentami funkcji (lub wartościami argumentu funkcji), zaś liczby, które otrzymujemy w wyniku działania funkcji, nazywamy wartościami funkcji. Zwykle przez liczby rozumiemy tutaj liczby rzeczywiste. Wygodnie jest wyobrazić sobie przy tym funkcję jako rodzaj „czarnej skrzynki” czy też po prostu pudełka, na przykład takiego: wrzucamy do niego 1 – wówczas wyskakuje 1, wrzucamy 2 – wyskakuje 4, wrzucamy 3 – wyskakuje 9, itd. Oczywiście tak argumenty, jak i wartości funkcji mogą być (w ogólnym przypadku) dowolnymi liczbami, niekoniecznie naturalnymi. W typowych przypadkach argumenty oznacza się literą
Żądamy też, żeby działanie funkcji rozumianej jako „pudełko” było powtarzalne. Ilekroć użyjemy argumentu o tej samej wartości, np. 3, tylekroć powinno nam „wyskoczyć” na przykład 9 (oczywiście inna funkcja może dla argumentu 3 zwracać np. wartość
W praktyce szkolnej używa się takiej oto definicji funkcji: funkcją nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru
W wielu działach matematyki zajmujemy się jedynie takimi funkcjami, których działanie da się opisać przy pomocy jakiegoś wzoru. Tylko funkcje dane wzorem, zwane też analitycznymi, bywają bowiem przewidywalne, tj. możemy zawsze odgadnąć, jakie są ich wartości także dla argumentów, których dotąd nie poddawaliśmy przekształceniom. W rzeczywistości bywa i tak, że znamy tylko wartości odpowiadające określonym argumentom, i wówczas funkcja ma charakter nieanalityczny – jednak wynika to tylko z naszej niewiedzy, a nie z faktu, że jakaś funkcja rzeczywiście nie ma wzoru. Funkcja analityczna stanowi kompletny opis informujący, co się stanie z dowolnym dozwolonym argumentem, który zostanie użyty – i tym właśnie różni się od działania, które ma charakter jednostkowy. W dalszym ciągu zajmiemy się tylko takimi właśnie funkcjami analitycznymi. Biorąc pod uwagę, że funkcja to całość wszystkich dopuszczalnych wypadków działania przewidywalnego dla każdej dozwolonej wartości argumentu, możemy przyjąć, że wzór reprezentuje funkcję analityczną. Stąd właśnie ma sens mówienie o funkcji
Wzór może decydować o tym, jakie liczby mogą, a jakie nie mogą być argumentami funkcji. Na przykład funkcja zwracająca odwrotność pobranej liczby
Stara, dobra szkoła matematyczna głosi, że zbiór wszystkich możliwych wartości funkcji nazywamy jej przeciwdziedziną (i tak można wciąż przeczytać w popularnych podręcznikach teorii mnogości, zob. też Wikipedia) lub zakresem. Obecnie niektórzy matematycy próbują te pojęcia oddzielić od siebie, co nie znajduje jednak żadnego uzasadnienia, o czym za chwilę. Przeciwdziedzinę oznacza się u nas często odwróconą literą D (konieczny glif nie występuje w fontach komputerowych), jednak słuszniej jest używać litery Y, gdyż przeciwdziedzina jest zbiorem wartości funkcji
Funkcję argumentu
Symbol
Wartości argumentu
Dziedzina funkcji może być dodatkowo ograniczona (zawężona, obcięta) nie tylko przez właściwości wzoru, ale na przykład przez warunki zadania. „Zwykłą” dziedziną funkcji
Zwykle dziedziną funkcji „szkolnej” jest zbiór liczb rzeczywistych albo jakiś jego podzbiór. Nie ma jednak często powodów, by nie analizować funkcji np. o argumentach zespolonych. Zwykle wówczas zaznaczamy, że chodzi o funkcję zmiennej zespolonej. Z uwagi na naturę liczb zespolonych sporządzenie wykresu takiej funkcji może okazać się bardzo trudne. Do przedstawienia liczby zespolonej potrzeba bowiem dwóch wymiarów. Jeśli funkcja ma zespolone argumenty i zespolone wartości, jej wykres wymagałby czterech wymiarów. Czterowymiarowa nadprzestrzeń jest czymś zupełnie obcym naszemu doświadczeniu, bo nasz świat ma tylko 3 wymiary, które potrafimy postrzegać zmysłami. Znacznie łatwiej jest sporządzić wykres funkcji, której argumenty są rzeczywiste, a wartości zespolone, bo wtedy wystarczają trzy wymiary, a te są dla nas względnie łatwo dostępne. Poniżej będziemy koncentrować się na funkcjach zmiennej rzeczywistej i o rzeczywistych wartościach; wszelkie odstępstwa od tej zasady będą każdorazowo sygnalizowane.
Możemy także zamiast zbioru liczb rzeczywistych wziąć jako dziedzinę funkcji zbiór liczb wymiernych, całkowitych czy naturalnych, albo jakiś ich podzbiór. Na przykład możemy utworzyć funkcję
Możemy wreszcie wziąć dwie funkcje (lub większą ich ilość) i ograniczyć ich dziedziny tak, by nie miały części wspólnych (by na siebie nie nachodziły). Z tak spreparowanych funkcji możemy utworzyć jedną, nową, której działanie opisywać będą różne wzory w zależności od tego, jakie wartości przyjmuje argument. Na przykład:
Funkcje tego rodzaju analizuje się dość często przy testowaniu pewnych pojęć matematycznych, na przykład pojęcia granicy.
Liczby
Funkcję daną wzorem możemy (nie do końca słusznie) utożsamić także z jej wykresem. Wykres to geometryczne przedstawienie funkcji jako zbioru punktów o współrzędnych
Zamiast typowych współrzędnych kartezjańskich
Istnieją funkcje, które wymagają nie jednej zmiennej niezależnej, ale większej ich ilości. Na przykład zapis
Czasami bywa tak, że wzór funkcji podany jest w postaci parametrycznej przy pomocy układu równań następującej postaci:
Funkcja tego typu ma jedną zmienną niezależną
Funkcja dana jest w postaci uwikłanej, jeśli obie jej zmienne
Funkcje dane w postaci uwikłanej czasem (nie zawsze) dają się rozwikłać, czyli zapisać w postaci jawnej
We współczesnych kursach matematyki bardzo często wprowadza się definicję pochodzącą od Peano, opartą na teorii mnogości, zgodnie z którą funkcja jest szczególnym rodzajem relacji, rozumianej jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów
Zbiór
Bywa jednak i tak (i nie jest to zabronione z teoretycznego punktu widzenia), że nie wszystkie elementy zbioru
Sama możliwość istnienia funkcji „w” jest dla myślącego człowieka wysoce wątpliwa, jest jednak konsekwencją niepoważnych teoretycznych pomysłów Peano i jego naśladowców. Zwróćmy uwagę na sposób konstrukcji funkcji: najpierw wybieramy dwa zbiory, a potem dopiero tworzymy ich iloczyn kartezjański, i z tego iloczynu wybieramy niektóre elementy o określonych właściwościach. Jeśli na przykład chcemy koniecznie wziąć dwukrotnie zbiór liczb rzeczywistych
Gdyby od samego początku dobrać inaczej zbiory
Rozpatrzmy teraz inny wypadek. Wybierzmy znowu dwukrotnie zbiór liczb rzeczywistych
I teraz pytanie najważniejsze. Jeśli zbiór
Odpowiedź na te pytania jest prosta. Wypadki, gdy przeciwdziedzina obejmuje coś więcej niż zbiór wartości, są tylko i wyłącznie wynikiem chorych pomysłów niektórych odmóżdżonych matematyków. W wypadku funkcji
Przypomnijmy sobie raz jeszcze określenie relacji (dwuargumentowej). Tam także zaczynamy od zbiorów
Postępowanie w przypadku funkcji powinno być dokładnie takie samo: bierzemy dwa zbiory, tworzymy ich iloczyn kartezjański, zaznaczamy pewien jego podzbiór, ale tak, by w każdej parze uporządkowanej konkretny element
Innymi słowy, nie istnieją funkcje, które nie są suriekcjami, a przeciwdziedzina i zbiór wartości to synonimy. Nie ma potrzeby, by dodawać do przeciwdziedziny elementy niewykorzystane przez funkcję. Mało to, ich dodanie, przy jednoczesnym niedodaniu takich niewykorzystanych elementów do zbioru
W istocie spór toczy się tutaj o kwestie definicji. Pierwotny zbiór
Jeśli jednak mimo tych logicznych argumentów z jakiegoś tajemniczego, teoretycznego powodu, mamy jednak podstawy (jakie?), by w przeciwdziedzinie funkcji umieszczać elementy, które nie mają z funkcją nic wspólnego, to w takim razie dlaczego nie możemy pozostawić takich zbędnych elementów w dziedzinie? Skoro zbiór wartości ma być właściwym podzbiorem przeciwdziedziny, to niechże i zbiór argumentów będzie właściwym podzbiorem dziedziny. Na to nie ma zgody, bo wówczas pojęcie dziedziny straciłoby swój sens. Na tej samej zasadzie nie można się godzić na to, by i w przeciwdziedzinie pozostały elementy zbędne, bo wówczas to pojęcie także traci swój sens.
Jeśli każdy element przeciwdziedziny jest przyjmowany co najwyżej raz, funkcję nazywa się iniekcją czyli funkcją różnowartościową. Jeśli funkcja jest jednocześnie suriekcją i iniekcją, wówczas określana jest jako bijekcja czyli funkcja wzajemnie jednoznaczna. Wtedy każdy element przeciwdziedziny jest przyjmowany dokładnie raz. Z powodów przedstawionych powyżej nie ma sensu ani logicznego uzasadnienia rozpatrywanie iniekcji niebędących bijekcjami, bo konstrukcja funkcji, która nie jest suriekcją, jest logicznie wadliwa.
Każda bijekcja jest odwracalna, tzn. istnieje funkcja, której dziedzina odpowiada przeciwdziedzinie funkcji wyjściowej, a przeciwdziedzina odpowiada jej dziedzinie. Funkcja odwrotna jest oczywiście także bijekcją. Tak przynajmniej wygląda to z teoretycznego punktu widzenia. W praktyce bowiem odwrócić można także wiele funkcji „nieodwracalnych”, czy to poprzez ograniczenie ich dziedziny, czy też poprzez użycie funkcji uwikłanej.
Modna ostatnio definicja funkcji, kultywowana przez wyznawców teorii mnogości, jest nie tylko niepragmatyczna i „nieelegancka” (jak pokazano wyżej), ale do tego obarczona dyskwalifikującym błędem logicznym: jest to mianowicie definicja zbyt wąska, nieobejmująca wszystkich bytów, które określa się jako funkcje. Jest doprawdy rzeczą zadziwiającą, jak wielu współczesnych matematyków udaje, że nie widzi tego problemu, a mimo to chełpią się, że dziedzina wiedzy, którą się zajmują, ma status królowej nauk. Nie wiadomo, co jest przyczyną tego stanu rzeczy. Może zakłamanie, hipokryzja, a może snobizm, uleganie modzie, może wreszcie feudalne stosunki panujące w nauce, w których światła jednostka nie może wytknąć nawet oczywistego błędu swojemu mentorowi, bo kosztować ją to będzie złamanie kariery. Po prostu, jeśli ktoś chce istnieć w matematycznym światku, musi schować głowę w piasek i powtarzać nonsensy głoszone przez tzw. autorytety.
Po tej gorzkiej refleksji przejdźmy jednak do meritum. Otóż definicja teoriomnogościowa ma już problem z funkcjami wielu zmiennych niezależnych. Jak bowiem jej zwolennicy mają dopasować do wyznawanej przez siebie definicji na przykład funkcję
Wszystko jest piękne do momentu, gdy zadamy pytanie, dlaczego z funkcji
Zupełnie już karkołomne jest usiłowanie zmieszczenia funkcji uwikłanej w teoriomnogościowej definicji. Najczęściej istnienia takich funkcji się po prostu nie zauważa, tymczasem występują one naprawdę w rzeczywistości, tj. w otaczającym nas świecie fizycznym. Ciekawy przykład podaje Wikipedia. Otóż przy połączeniu opornika i diody związek między napięciem
W wypadkach takich jak powyżej można jeszcze utrzymywać, że przecież nie musi koniecznie istnieć wzór
Dzięki funkcjom wieloznacznym możliwe jest odwracanie funkcji, które nie są wzajemnie jednoznaczne. Mało to, możemy wówczas otrzymać funkcje nieskończenie wielowartościowe. Utwórzmy na przykład funkcję Arcsin
Czy zatem funkcja wieloznaczna jest synonimem dowolnego typu relacji między dwiema zmiennymi? Niekoniecznie. Po pierwsze,
Funkcja uwikłana zmiennej
Istnieje jeszcze jeden, również sztuczny sposób obejścia problemów z funkcją uwikłaną, pozwalający (w niezgrabny sposób) dopasować to pojęcie do teoriomnogościowej definicji funkcji. Można bowiem założyć, że funkcja uwikłana jest tak naprawdę rozwiązaniem układu dwóch funkcji:
Nie sposób nie zauważyć, jak bardzo sztuczny jest to zabieg. Po pierwsze, wprowadza się tu trzecią zmienną, która tak naprawdę nie jest do niczego potrzebna. Po drugie, zmienna zależna
Analogiczne problemy sprawiają funkcje przedstawione w postaci parametrycznej, czyli takiej, gdy jednej zmiennej niezależnej (lub kilku takim zmiennym) odpowiadają co najmniej dwie zmienne zależne. Zwolennicy wszechwładzy teorii mnogości najchętniej nie widzieliby w nich w ogóle funkcji, ale równania parametryczne. Dowodzi to ponownie niepraktyczności teoriomnogościowej definicji funkcji.
Funkcji nie można utożsamiać z relacją, bowiem relacja łączy zmienne niezależne, natomiast w wypadku funkcji mamy do czynienia przynajmniej z jedną zmienną zależną. Ignorują to często zwolennicy teorii mnogości, traktując funkcję jako rodzaj relacji.
O wiele trudniej jest wyznawcom kultu teorii mnogości odróżnić funkcje od działań. Tymczasem sprawa jest dość prosta. Działanie jest aktem jednorazowym, polegającym na takim przekształceniu argumentów, aby otrzymać wynik. Nawet jeśli zapiszemy je w postaci algebraicznej, tworzymy jedynie wzór działania, i nie traktujemy go całościowo. Funkcję natomiast tworzą wszystkie możliwe argumenty i wartości, jest to więc niejako suma (mnogościowa) wszystkich działań możliwych do przeprowadzenia na danym zbiorze liczb według uprzednio danego wzoru. Działaniem jest zatem obliczenie wartości funkcji odpowiadającej konkretnemu argumentowi (czy zestawieniu argumentów). Funkcja jako całość jest jednak efektem wykonania wszystkich możliwych działań na argumentach.
Najłatwiej różnicę dostrzec z użyciem geometrii. Wynik działania można przedstawić jako punkt o określonych współrzędnych w przestrzeni o właściwej ilości wymiarów. Natomiast funkcję można zobrazować jako strukturę geometryczną, np. linię czy powierzchnię, utworzoną ze wszystkich punktów, których współrzędne odpowiadają wartościom wszystkich zmiennych.
W większości współczesnych podręczników matematyki ciąg definiowany jest zupełnie inaczej niż to podano wyżej, a mianowicie (mówiąc nieściśle) jako funkcja o argumentach, które są liczbami naturalnymi (dodatnimi). Takie określenie ciągu bywa jednak użyteczne tylko w niektórych wypadkach, a do tego stwarza wiele problemów już od samego początku.
Przede wszystkim, rozumiejąc ciąg jako funkcję, wygodnie jest wyróżnić dwa przypadki, o których jak dotąd nie było w ogóle potrzeby wspominać. Bywają mianowicie ciągi nieskończone, tj. zawierające nieskończoną liczbę wyrazów – takie ciągi można istotnie rozumieć jako funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Jednak osobnej definicji wymagają ciągi skończone z
Po raz kolejny widać tu niefrasobliwość matematyków, który nie umieją dostrzec różnicy między obiektem a jego przedstawieniem. Ciąg jest bowiem obiektem podobnym do zbioru, a nie funkcją (widać to wyraźnie w kombinatoryce); funkcja może być co najwyżej reprezentacją ciągu. Analogicznie powiemy, że wykres nie jest funkcją, lecz jej przedstawieniem (reprezentacją).
Grzegorz Jagodziński