Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.

This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.

Ramka nadrzędna

Wersja z 2015-05-16

Grzegorz Jagodziński

Wielomiany, wyrażenia wymierne i niewymierne

Wzory Viète’a

Wzory Viète’a dla wielomianu stopnia drugiego

Francuski matematyk François Viète (1540–1603) sformułował wzory wyrażające zależności między rozwiązaniami równań wielomianowych. Wzory te pozostają prawdziwe także dla rozwiązań zespolonych.

Dla równania kwadratowego wzory Viète’a dotyczą sumy i iloczynu rozwiązań: oraz .

Rzeczywiście, jeśli oraz , wówczas:

.

Również .

W jaki jednak sposób otrzymać te zależności? Wystarczy porównać postacie ogólną i iloczynową trójmianu kwadratowego:

,

,

by otrzymać układ warunków:

skąd ostatecznie:

Przypomnijmy, że wzory na i pozostają prawdziwe niezależnie od znaku wyróżnika, pod warunkiem dopuszczenia rozwiązań zespolonych. Nie jest więc konieczne badanie prawdziwości wzorów Viète’a w poszczególnych wypadkach.

Wzory Viète’a dla wielomianu stopnia trzeciego

Równanie stopnia trzeciego można zapisać w postaci iloczynowej jako (jeśli dopuścimy pierwiastki zespolone, postać taka będzie zawsze możliwa do uzyskania). Po wykonaniu mnożeń otrzymamy:

.

Wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ze współczynników jednego wielomianu jest równy odpowiedniemu współczynnikowi drugiego. Z zależności tej otrzymujemy:

lub po zmodyfikowaniu:

Otrzymaliśmy właśnie wzory Viète’a dla równania sześciennego.

Wzory Viète’a dla wielomianu stopnia czwartego

Uwzględniając liczby zespolone, każde równanie czwartego stopnia da się przedstawić w postaci iloczynowej , co po wymnożeniu daje . Porównując współczynniki obu równań, otrzymujemy wzory Viète’a dla wielomianu stopnia czwartego:

Wielomiany symetryczne

Metody z funkcjami symetrycznymi nie znałam i na razie nie do końca rozumiem, jak to ma działać. Muszę to przemyśleć. Wiem tylko, że w książce są jakieś dziwne rzeczy napisane. Z tego, co zrozumiałam, chodzi tam o wykorzystanie sumy pierwiastków, więc wzory na górze strony 194 są trochę bez sensu – jak na moje oko powinno to być coś takiego:

Wówczas podstawianie do wzoru na F ma sens.

Pozdrawiam

Mniej więcej rozumiem jak działa ta metoda – w książce po prostu nie ma żadnych obliczeń. Trzeba by je najpierw zrobić. W każdym razie, idea jest taka, że tworzy się wielomian F (w tradycyjnej postaci), którego współczynniki zależą od współczynników oryginalnego wielomianu, a następnie dwoma podstawieniami sprowadza się to równanie do równania stopnia 3.

Każda z tych metod w jakiś sposób jest związania z równaniem stopnia 3, ale w każdej z metod to równanie powstaje w inny sposób i w efekcie ma ono inne pierwiastki. Pewnie jak zwykle – na każdą metodę są przykłady, w których działa ona genialnie i przykłady w których obliczenia są jakieś masakryczne.

Pozdrawiam

Generalnie współczynniki wielomianu F otrzymuje się ze wzorów Viète’a, a po rozpisaniu wykorzystuje się wielomiany symetryczne podstawowe (czyli w tym przypadku – współczynniki tego oryginalnego wielomianu, patrz np. rozdział 9 Sierpińskiego). Otrzymanie współczynników równania rozwiązującego to już tylko konsekwencja. W wolnej chwili przeliczę.

Nie wiem, na ile znasz teorię wielomianów symetrycznych, więc będę używać oznaczeń z http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1109.pdf (patrz strona 157, ale daruje sobie indeks górny, oraz strona 166). Btw. zwykle wielomiany symetryczne podstawowe oznacza się przez .

Napiszę Ci tu kilka obliczeń, żebyś mógł sprawdzić, czy się gdzieś nie walnęłam. Resztę możesz spokojnie dokończyć sam.

Wstukałam F do kalkulatora forumowego i wypluł mi coś, co po uporządkowaniu wygląda tak:

Dalej mamy (w większości znajdziesz to na na stronie 166, wszystkie wzory z uwzględnieniem faktu, że chodzi o 4 liczby, kilka przeliczyłam sama)

No i wreszcie, ponieważ , to ze wzorów Viète’a mamy .

Wstawiasz to wszystko do F(z) i masz wielomian stopnia 6. Potem robisz podstawienie oraz i jeśli wszystko jest dobrze obliczone, powinieneś dostać wielomian stopnia 3 zmiennej u, ale już mi się tego nie chciało liczyć ;)

Pozdrawiam

Strona znajduje się w budowie. Cierpliwości!

Strona główna