Wersja z 2013-05-05

Obliczanie ilości zestawień

Ilość zestawień zadanego typu obliczamy według następujących wzorów:

	permutacje	wariacje	kombinacje
bez powtórzeń
z powtórzeniami

Uwagi do wzorów:

• n! oznacza iloczyn liczb naturalnych od 1 do n, np. 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720, nadto umawiamy się, że 0! = 1! = 1,
• znaczenie symbolu Newtona (n nad k) wyjaśniono we wzorze na kombinacje bez powtórzeń,
• n oznacza ilość elementów, z których tworzymy zestawienie (z ilu?),
• k oznacza ilość elementów w zestawieniu (po ile?),
• dla permutacji z powtórzeniami: n₁ to ilość powtórzeń elementu pierwszego, n₂ – elementu drugiego, itd., n = n₁ + n₂ + … + n_k; n jest tu więc sumą powtórzeń (i jednocześnie długością permutacji), a nie ilością różnych (typów) elementów – mowa o tym wyżej.

Ilość permutacji z powtórzeniami oznacza się też symbolem P_n(n₁, n₂, …, n_k). W mianowniku można pominąć elementy, które występują tylko jeden raz, gdyż 1! = 1, a dzielenie przez 1 nie zmienia wyniku.

Ilość wariacji bez powtórzeń wyraża równoważny wzór V_n^k = n (n − 1) (n − 2) … (n − k + 1). W dobie kalkulatorów z wbudowaną funkcją silnia (n!) wygodniej jest jednak posługiwać się wzorem podanym w tabeli. Zauważmy, że istotnie P_n = V_nⁿ, a więc permutacje bez powtórzeń można uznać za rodzaj wariacji bez powtórzeń. Jednak ilość permutacji z powtórzeniami wcale nie jest równa ilości wariacji z powtórzeniami. Dlatego lepiej przyjąć określenie klasyczne, w myśl którego permutacje i wariacje to jednak pojęcia rozłączne.

Zauważmy również, że ilość k-elementowych kombinacji bez powtórzeń z n elementów równa jest stosunkowi liczby k-elementowych wariacji bez powtórzeń z n elementów do liczby permutacji z k: C_n^k = V_n^k / P_k.

Przykłady (z rozdziału „Podstawowe pojęcia”):

• ilość permutacji bez powtórzeń z 3 elementów wynosi P₃ = 3! = 1·2·3 = 6,
• ilość 4-elementowych permutacji z 3 elementów, z których pierwszy bierzemy 2 razy, wynosi P₄(2,1,1) = 4!/(2!·1!·1!) = (1·2·3·4)/(1·2) = 12,
• ilość dwuelementowych wariacji bez powtórzeń z trzech elementów wynosi V₃² = 3!/(3 − 2)! = (1·2·3)/1 = 6,
• ilość dwuelementowych wariacji z powtórzeniami z trzech elementów wynosi W₃² = 3² = 9,
• ilość dwuelementowych kombinacji bez powtórzeń z trzech elementów wynosi C₃² = 3!/(2!·(3 − 2)!) = 6/2 = 3,
• ilość dwuelementowych kombinacji z powtórzeniami z trzech elementów wynosi C̅₃² = C₄² = 4!/(2!(4 − 2)!) = (1·2·3·4)/(1·2·1·2) = 12/2 = 6.

Rozwiązania zadań

1. Za każdym razem możemy tworzyć zestawienia różniące się tylko kolejnością figur, są to więc permutacje z powtórzeniami.
2. W tym wypadku liczy się zarówno kolejność, jak i skład. Litery mogą się naturalnie powtarzać, badane zestawienia to wariacje z powtórzeniami.
3. Zestawienia złożone z zaproszonych osób różnią się tylko składem, nie kolejnością. Są to kombinacje bez powtórzeń.
4. Zestawienia różnią się tylko kolejnością osób, są to więc permutacje bez powtórzeń.
5. Tutaj kolejność nie gra roli, ważna jest tylko ilość. Badane zestawienia to kombinacje z powtórzeniami.
6. Zestawienia różnią się wyłącznie kolejnością kolorów, są to więc permutacje z powtórzeniami.
7. Tym razem mamy permutacje bez powtórzeń.
8. W losowaniu Dużego Lotka kolejność wylosowanych liczb nie gra roli. Wyniki są więc kombinacjami bez powtórzeń.
9. Liczby 5-cyfrowe utworzone z pięciu niepowtarzających się cyfr różnią się tylko ich kolejnością. Mamy tu permutacje bez powtórzeń.
10. Skoro liczby są 4-cyfrowe, różnią się składem, a nie tylko kolejnością cyfr. Kolejność cyfr jest istotna. Mamy tu wariacje bez powtórzeń.
11. Otrzymane liczby różnią się kolejnością cyfr, ale także składem (np. 12345 i 11234). Mamy tu więc wariacje z powtórzeniami. Nie są to permutacje z powtórzeniami, ponieważ nie wiemy z góry, ile razy powtórzy się każdy z elementów.
12. Otrzymane liczby różnią się kolejnością cyfr i składem (np. 1234 i 1123). Mamy tu więc wariacje z powtórzeniami.