Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2024-10-28

Związki logiczne

5

Alfabetyczne zestawienie nazw związków logicznych

Pomiędzy dwoma zdaniami zachodzą (są prawdziwe) następujące relacje, jeśli spełnione są podane warunki:

• alternatywa (∨): oba zdania nie są jednocześnie fałszywe, przynajmniej jedno jest prawdziwe, tylko jedno ze zdań jest fałszywe lub oba są prawdziwe; z fałszywości jednego zdania można wnioskować o prawdziwości drugiego, ale nie odwrotnie; alternatywa nierozłączna; alternatywa niewykluczająca; alternatywa niewyłączająca; alternatywa zwykła; niewspółfałszywość; podprzeciwieństwo; suma logiczna;
• alternatywa nierozłączna → alternatywa;
• alternatywa niewykluczająca → alternatywa;
• alternatywa niewyłączająca → alternatywa;
• alternatywa rozłączna → ekskluzja;
• alternatywa wykluczająca → ekskluzja;
• alternatywa wyłączająca → ekskluzja;
• alternatywa zwykła → alternatywa;
• binegacja (↓): każde z dwóch zdań jest fałszywe; negacja alternatywy; negacja łączna; strzałka Peirce’a; współfałszywość;
• dopełnianie: ekskluzja lub alternatywa; niekiedy w znaczeniu dopełniania wykluczającego (ekskluzji);
• dopełnianie wykluczające → ekskluzja;
• dysjunkcja (|): oba zdania nie są jednocześnie prawdziwe, przynajmniej jedno jest fałszywe, tylko jedno ze zdań jest prawdziwe lub oba są fałszywe; z prawdziwości jednego zdania można wnioskować o fałszywości drugiego, ale nie odwrotnie; kreska Sheffera; negacja koniunkcji; niewspółprawdziwość; rozłączność; przeciwieństwo; także określana jako przeciwstawność, choć to mylące;
• ekskluzja (⊻): jedno zdanie jest negacją drugiego; jedno ze zdań jest prawdziwe, a drugie fałszywe; z prawdziwości jednego ze zdań możemy wnioskować o fałszywości drugiego, a z fałszywości jednego o prawdziwości drugiego; alternatywa rozłączna; alternatywa wykluczająca; alternatywa wyłączająca; kontrawalencja; negacja równoważności; niezgodność; różnica symetryczna; sprzeczność, kontradykcja; w niektórych systemach definicji ekskluzją jest też dopełnianie, poprawniej: dopełnianie wykluczające;
• ekwiwalencja → równoważność;
• iloczyn logiczny → koniunkcja;
• implikacja (⇒): z prawdziwości pierwszego zdania (poprzednika) wynika prawdziwość drugiego (następnika), natomiast z fałszywości pierwszego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania drugiego; także: z fałszywości drugiego zdania wynika fałszywaość pierwszego, natomiast z prawdziwości drugiego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania pierwszego; poprzednik jest fałszywy lub następnik prawdziwy; implikacja ekstensywna; implikacja prosta; subimplikacja; podporządkowanie; podrzędność; wynikanie;
• implikacja ekstensywna → implikacja;
• implikacja intensywna → implikacja odwrotna;
• implikacja odwrotna (⇐): z fałszywości pierwszego zdania wynika fałszywość drugiego, natomiast z prawdziwości pierwszego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania drugiego; także: z prawdziwości drugiego zdania wynika prawdziwość pierwszego oraz z fałszywości drugiego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania pierwszego, pierwsze zdanie jest prawdziwe lub drugie fałszywe; implikacja intensywna; superimplikacja; nadrzędność;
• implikacja prosta → implikacja;
• implikacja przeciwna: z prawdziwości pierwszego zdania (poprzednika) wynika fałszywość drugiego (następnika) oraz z fałszywości pierwszego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania drugiego, poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy;
• implikacja przeciwstawna: z prawdziwości drugiego zdania wynika fałszywość pierwszego oraz z fałszywości drugiego zdania nic nie wynika co do wartości logicznej zdania pierwszego, pierwsze zdanie jest fałszywe i drugie prawdziwe; kontrapozycja, transpozycja;
• independencja → niezależność;
• koniunkcja (∧): każde z dwóch zdań jest prawdziwe; z prawdziwości jednego zdania można wnioskować o prawdziwości drugiego, ale z fałszywości jednego zdania nie można niczego wywnioskować o wartości logicznej drugiego zdania; iloczyn logiczny; współprawdziwość;
• kontradykcja → ekskluzja;
• kontrapozycja → implikacja przeciwstawna;
• kontrawalencja → ekskluzja;
• kreska Sheffera → dysjunkcja;
• krzyżowanie się → alternatywa lub niezależność;
• nadrzędność → implikacja odwrotna;
• negacja alternatywy → binegacja;
• negacja ekskluzji → równoważność;
• negacja koniunkcji → dysjunkcja;
• negacja łączna → binegacja;
• negacja równoważności → ekskluzja;
• niewspółfałszywość → alternatywa;
• niewspółprawdziwość → dysjunkcja;
• niezależność: nie można ocenić prawdziwości żadnego z dwóch zdań, każde może być prawdziwe lub fałszywe; z wartości logicznej jednego ze zdań nie da się przewidzieć wartości logicznej drugiego zdania; independencja;
• niezgodność → ekskluzja;
• podporządkowanie → implikacja;
• podprzeciwieństwo → alternatywa;
• podrzędność → implikacja;
• pokrywanie się → równoważność;
• przeciwieństwo → dysjunkcja; myląco termin ten w rachunku prawdopodobieństwa oznacza ekskluzję (gdy mowa o zdarzeniach);
• przeciwstawność → implikacja przeciwstawna (równoważna prostej); myląco termin ten utożsamiany jest też z przeciwieństwem;
• rozłączność → dysjunkcja;
• równość tożsamościowa: oba zdania mają taką samą wartość logiczną i oznaczają to samo;
• równoważność: oba zdania mają taką samą wartość logiczną, oba są prawdziwe lub oba fałszywe; jeśli znamy wartość logiczną jednego ze zdań, to wnioskujemy, że wartość logiczna drugiego zdania jest taka sama; ekwiwalencja; pokrywanie się; równozakresowość; zamienność; zgodność;
• równozakresowość → równoważność;
• różnica symetryczna → ekskluzja;
• sprzeczność → ekskluzja;
• strzałka Peirce’a → binegacja;
• subimplikacja → implikacja;
• suma logiczna → alternatywa;
• superimplikacja → implikacja odwrotna;
• transpozycja → implikacja przeciwstawna;
• współfałszywość → binegacja;
• współprawdziwość → koniunkcja;
• wykluczanie się → dysjunkcja lub ekskluzja, w rachunku prawdopodobieństwa dysjunkcja (gdy mowa o zdarzeniach);
• wynikanie → implikacja;
• zamienność → równoważność;
• zawieranie się → równoważność lub implikacja;
• zgodność → równoważność.

Zwyczajowo wymienionych pojęć używa się tylko w określonych kontekstach, np. o pokrywaniu się mówimy, analizując nazwy, natomiast o równoważności, gdy mamy na myśli zdania. O negacjach będzie dokładniej w odpowiednim podrozdziale.

Zestawienie spójników używanych dla relacji logicznych

Spójniki pojedyncze

• albo → ekskluzja;
• and → koniunkcja;
• bądź → dysjunkcja;
• bo → implikacja odwrotna;
• chyba że → ekskluzja;
• czyli → równoważność (równość tożsamościowa);
• eor → ekskluzja;
• exnor → równoważność;
• exor → ekskluzja;
• gddy → równoważność;
• gdyby → implikacja odwrotna;
• gdyż → implikacja odwrotna;
• i → koniunkcja;
• if → implikacja odwrotna;
• if and only if → równoważność;
• iff → równoważność;
• jeżeli → implikacja odwrotna;
• jeżeli tylko → implikacja odwrotna;
• lub → alternatywa;
• na pewno wtedy, gdy → implikacja odwrotna;
• nand → dysjunkcja;
• nor → binegacja;
• o ile → równoważność;
• o ile nie → ekskluzja;
• pociąga za sobą → implikacja;
• ponieważ → implikacja odwrotna;
• przesądza o → implikacja;
• skoro → implikacja odwrotna;
• tylko gdy → implikacja;
• tylko gdy → implikacja;
• tylko jeżeli → implikacja;
• tylko wtedy, gdy → implikacja;
• więc → implikacja;
• wobec tego → implikacja;
• wtedy i tylko, gdy → równoważność;
• wtedy i tylko wtedy, gdy → równoważność;
• wtw → równoważność;
• xor → ekskluzja;
• zatem → implikacja;
• zawsze i tylko, gdy → równoważność;
• zawsze, jeżeli → implikacja odwrotna;
• zawsze wtedy, gdy → implikacja odwrotna;
• z czego wynika, że → implikacja.

Pojedynczy spójnik musi stać pomiędzy obu zdaniami.

Spójniki podwójne

• albo…, albo… → ekskluzja;
• ani nie…, ani nie… → binegacja;
• bądź… bądź… → dysjunkcja;
• co najwyżej… albo… → dysjunkcja;
• co najwyżej… bądź… → dysjunkcja;
• gdyby… to… → implikacja;
• if…, … → implikacja;
• jeżeli…, to… → implikacja;
• jeżeli nie…, to nie… → implikacja przeciwna;
• jeżeli tylko…, to… → implikacja;
• może…, a może… → dysjunkcja;
• na pewno… gdy… → implikacja odwrotna;
• na pewno gdy…, to… → implikacja;
• nie…, jeżeli nie… → implikacja przeciwstawna;
• ponieważ…, to… → implikacja;
• skoro…, to… → implikacja;
• to, że… wynika z tego, że… → implikacja odwrotna;
• tylko gdy… to… → implikacja odwrotna;
• tylko jeżeli… to… → implikacja odwrotna;
• tylko wtedy, gdy… to… → implikacja odwrotna;
• wystarcza…, by na pewno… → implikacja;
• z tego, że… wiadomo, że… → implikacja;
• z tego, że… wynika, że… → implikacja;
• zawsze gdy…, to… → implikacja.