Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2019-05-13

Związki logiczne

5

Logika wielowartościowa

W logice klasycznej za zdanie uważa się tylko takie stwierdzenie, któremu można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0). Stworzono jednak teorie, w których analizuje się także stwierdzenia, którym można przypisać inną wartość logiczną.

Logika trójwartościowa

W najprostszym wypadku do prawdy i fałszu dorzuca się stan pośredni, któremu przypisuje się umownie liczbową wartość ½. Wartość taką można interpretować na wiele sposobów. Autorem takiego trójwartościowego systemu logicznego był w latach dwudziestych XX wieku Jan Łukasiewicz. Określił on wartość pośrednią jako stan braku wiedzy lub niepewności.

Analizowanie nie dwóch, ale trzech wartości logicznych wymaga uściślenia definicji związków logicznych. Dopóki ich argumenty przybierają wartości prawdy (1) lub fałszu (0), dopóty stosować można tabelę wartości omówioną wyżej. Jednak gdy choć jeden z argumentów przybiera wartość pośrednią (½), wówczas nie jest oczywiste, jaką przyjmą one wartość logiczną. Dobrze jest wówczas posłużyć się jakąś formułą matematyczną, tak opracowaną, aby wynikiem jej zastosowania była zawsze jedna z możliwych wartości logicznych (w opisywanym wypadku 0, ½ albo 1).

I tak, dla negacji (~) przyjmuje się na ogół formułę 1 − x, gdzie x jest wartością logiczną negowanego zdania. Negacją prawdy jest więc, jak w logice dwuwartościowej, fałsz, a negacją fałszu prawda. Wartość pośrednia nie zmienia się, gdyż 1 − ½ = ½.

Za wartość logiczną koniunkcji (∧) uważa się najmniejszą spośród wartości jej argumentów. Taka definicja ma zastosowanie do związków zarówno typowych, dwuargumentowych (wówczas formuła przybiera postać min(x, y)), jak i do związków wieloargumentowych. Na przykład 1 ∧ ½ = ½, ½ ∧ ½ = ½, 1 ∧ ½ ∧ 0 = 0 (zamiast p, q, r podano od razu ich wartości logiczne).

Łukasiewicz rozpatrywał związek podobny do koniunkcji, który możemy nazwać koniunkcją Łukasiewicza. Różni się on sposobem zdefiniowania: wartości logiczne argumentów należy do siebie dodać, a od uzyskanej sumy odjąć liczbę o jeden mniejszą od ilości argumentów. Dla związku dwuargumentowego należy odjąć 1; tylko takie związki rozpatrywał Łukasiewicz. Jeśli wynik działania jest ujemny, jako ostateczną wartość przyjmujemy zero. Operacjom tym odpowiada (dla związków dwuargumentowych) formuła max(0, x + y − 1).

Dla związku tego stosuje się czasem wywodzący się z notacji Łukasiewicza symbol &, częściej używa się dziś krzyżyka w kółku: ⊗. A zatem na przykład 1 ⊗ 1 = 1 (bo 1 + 1 − 1 = 1), 1 ⊗ 0 = 0 (bo 1 + 0 − 1 = 0), 0 ⊗ 0 = 0 (bo 0 + 0 − 1 = − 1, więc przyjmujemy 0), 1 ⊗ ½ = ½ (bo 1 + ½ − 1 = ½), ½ ⊗ ½ = 0 (bo ½ + ½ − 1 = 0), 1 ⊗ ½ ⊗ 0 = 0 (bo 1 + ½ + 0 − 2 = -½, więc przyjmujemy 0). Zauważmy, że na ogół wartości obu typów koniunkcji są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊗ ½ ma inną wartość niż ½ ∧ ½.

Jako wartość logiczną alternatywy (∨) uważa się największą spośród wartości jej argumentów (dla związków dwuargumentowych: max(x, y)). Na przykład 1 ∨ ½ = 1, ½ ∨ ½ = ½, 1 ∨ ½ ∨ 0 = 1.

Alternatywa Łukasiewicza (oznaczana plusem w kółku, ⊕) została zdefiniowana jako suma wartości logicznej argumentów, przy czym wynik nie może być większy niż 1. Dla związku dwuargumentowego przedstawia to formuła min(1, x + y). A zatem na przykład 1 ⊕ 1 = 1 (bo 1 + 1 = 2, więc przyjmujemy 1), 1 ⊕ 0 = 1 (bo 1 + 0 = 1), 0 ⊕ 0 = 0 (bo 0 + 0 = 0), 1 ⊕ ½ = 1 (bo 1 + ½ = 1½, więc przyjmujemy 1), ½ ⊕ ½ = 1 (bo ½ + ½ = 1), 1 ⊕ ½ ⊕ 0 = 1 (bo 1 + ½ + 0 = 1½, więc przyjmujemy 1). Na ogół wartości obu typów alternatywy są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊕ ½ ma inną wartość niż ½ ∨ ½.

Bez problemu można zdefiniować kolejne dwa związki: dysjunkcję (|) oraz binegację / negację łączną (↓), jako negacje odpowiednio koniunkcji i alternatywy. Można także analogicznie zdefiniować dysjunkcję Łukasiewicza (⊘) i negację łączną Łukasiewicza (⊖), choć sam Łukasiewicz się nimi nie zajmował.

Ponieważ obok zwykłej koniunkcji czy alternatywy istnieją koniunkcja i alternatywa Łukasiewicza, więc wyróżnimy także dwa różne typy implikacji. Nie za bardzo wiadomo, czym miałaby być implikacja większej ilości zdań, dlatego też ograniczymy się tu wyłącznie do dwóch argumentów. Zauważmy, że klasyczna implikacja odpowiada alternatywie negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q). Wobec tego możemy wyznaczać wartość implikacji jako większą z liczb 1 − x, y, gdzie x i y to wartości logiczne odpowiednio poprzednika i następnika. Mamy więc na przykład 1 ⇒ 1 = 1 (porównujemy 1 − 1 oraz 1), 1 ⇒ 0 = 0 (1 − 1 oraz 0), 0 ⇒ 1 = 1 (1 − 0 oraz 1), 0 ⇒ 0 = 1 (1 − 0 oraz 0), 1 ⇒ ½ = ½ (1 − 1 oraz ½), ½ ⇒ 1 = 1 (1 − ½ oraz 1), ½ ⇒ ½ = ½ (1 − ½ oraz ½).

Implikacja Łukasiewicza, którą oznaczymy tutaj pojedynczą strzałką (→), definiowana jest jako alternatywa Łukasiewicza negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p → q) ≡ (~p ⊕ q), a więc jako 1 − x + y, przy czym wynik nie może być większy od 1. Mamy więc na przykład 1 → 1 = 1 (bo 1 − 1 + 1 = 1), 1 → 0 = 0 (bo 1 − 1 + 0 = 0), 0 → 1 = 1 (bo 1 − 0 + 1 = 2, zatem przyjmujemy 1), 0 → 0 = 1 (bo 1 − 0 + 0 = 1), 1 → ½ = ½ (bo 1 − 1 + ½ = ½), ½ → 1 = 1 (bo 1 − ½ + 1 = 1½, zatem przyjmujemy 1), ½ → ½ = 1 (bo 1 − ½ + ½ = 1). Jak widać, jedynie ½ → ½ ma inną wartość niż ½ ⇒ ½.

Uznanie za (w pełni) prawdziwą implikacji, której zarówno poprzednik, jak i następnik jest niepewny (ma wartość logiczną ½) wydało się Łukasiewiczowi zgodne z intuicyjnym sposobem pojmowania implikacji. Skoro za prawdziwą uznaje się zarówno implikację o prawdziwym poprzedniku i prawdziwym następniku (1 → 1), jak i implikację o fałszywym poprzedniku i fałszywym następniku (0 → 0), to także implikacja, której oba argumenty są niepewne (½ → ½) powinna być prawdziwa. Implikacja definiowana w zwykły sposób nie spełnia tego warunku, i właśnie dlatego Łukasiewicz posłużył się specjalną odmianą alternatywy (a przy okazji i koniunkcji). W rezultacie ilość związków w logice trójwartościowej podwoiła się.

Równoważność można rozumieć jako koniunkcję implikacji prostej i odwrotnej: (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)). Oczywiście i tutaj odróżnimy równoważność klasyczną oraz równoważność Łukasiewicza; do ich zdefiniowania posłużymy się odpowiednimi typami koniunkcji i implikacji. Dla równoważności klasycznej (⇔) otrzymamy na przykład 1 ⇔ 1 = 1, 1 ⇔ 0 = 0, 0 ⇔ 0 = 1, 1 ⇔ ½ = ½, ½ ⇔ ½ = ½. Wartość logiczną równoważności Łukasiewicza (↔) da się obliczyć bezpośrednio jako 1 − |x − y|. A zatem na przykład 1 ↔ 1 = 1 (bo 1 − |1 − 1| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ 0 = 0 (bo 1 − |1 − 0| = 1 − 1 = 0), 0 ↔ 0 = 1 (bo 1 − |0 − 0| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ ½ = ½ (bo 1 − |1 − ½| = 1 − ½ = ½), ½ ↔ ½ = 1 (bo 1 − |½ − ½| = 1 − 0 = 1).

Istnieje także inny sposób przedstawienia równoważności – jako alternatywy koniunkcji i binegacji: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ↓ q)), co można także zapisać: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)). Jak łatwo sprawdzić, oba sposoby są w wypadku logiki trójwartościowej równoważne, drugi sposób pozwala jednak łatwo rozpatrywać równoważność więcej niż dwóch argumentów. Dla równoważności Łukasiewicza otrzymamy formułę: (p ↔ q) ≡ ((p ∧ q) ⊕ (~p ∧ ~q)); zastąpienie wewnętrznych zwykłych koniunkcji związkami Łukasiewicza nie doprowadzi do równoważności, gdyż ((½ ⊗ ½) ⊕ (~½ ⊗ ~½)) = ((½ ⊗ ½) ⊕ (½ ⊗ ½)) = (0 ⊕ 0) = 0, tymczasem (½ ↔ ½) = 1, i tak samo ((½ ∧ ½) ⊕ (~½ ∧ ~½)) = ((½ ∧ ½) ⊕ (½ ∧ ½)) = (½ ⊕ ½) = 1.

Różnica między oboma rodzajami równoważności uzasadnia wprowadzenie symbolu ≡ do zapisu formuł logicznych i używanie pojęcia identyczności (odpowiedniości) logicznej. Symbol ten informuje bowiem, że wyrażenia po obu jego stronach mają taką samą wartość logiczną. Znak równoważności natomiast o tym nie informuje, równoważność bowiem nie musi być prawdziwa. Jeśli zapiszemy p ⇔ q, i okaże się, że p = ½, to z faktu tego nie możemy wyciągnąć żadnych wniosków na temat q. Obojętnie bowiem, czy q = 1, q = ½ czy też q = 0, i tak równoważność p ⇔ q będzie miała taką samą wartość logiczną ½. Natomiast jeśli zapiszemy p ≡ q, wówczas dla p = ½ wiadomo będzie, że także q = ½, a nie 1 czy 0.

Ekskluzję (alternatywę rozłączną) zdefiniować można (w przypadku związków dwuargumentowych) jako negację równoważności. Oprócz ekskluzji klasycznej (⊻) rozpatrzymy również ekskluzję Łukasiewicza (⊽), której wartość logiczną możemy policzyć bezpośrednio jako wartość bezwzględną różnicy wartości logicznej obu argumentów (|x − y|).

Zwykle w dwuargumentowej logice trójwartościowej stosuje się tabele, w których wartości pierwszego argumentu (p) wypisuje się w pionie, a wartości drugiego argumentu (q) – w poziomie. Wartość logiczną danego związku odczytuje się w kratce leżącej w określonym wierszu i określonej kolumnie. Oto tabele pięciu podstawowych związków klasycznych:

A oto tabele dla dodatkowych związków Łukasiewicza:

Różni logicy proponowali inną interpretację wartości ½, a co za tym idzie inne matryce związków w logice trójwartościowej. I tak, Bochvar i Kleene zaproponowali, aby wartość ½ rozpatrywać jako stan błędu. Na tej podstawie stworzyli nowe związki słabej koniunkcji (p ∧₊ q), słabej alternatywy (p ∨₊ q) oraz słabej implikacji (p ⇒₊ q), obok zwykłych ich „silnych” odpowiedników; w terminologii Bochvara są to związki wewnętrzne. „Słabe” związki różnią się od zwykłych („silnych”) tym, że ich wartością jest stan błędu (½), gdy choć jeden z argumentów jest w takim właśnie stanie (np. 0 ∧ ½ = 0, ale 0 ∧₊ ½ = ½, podobnie ½ ⇒ 1 = 1, ale ½ ⇒₊ 1 = ½). Na podobnej zasadzie można utworzyć słabe odpowiedniki innych związków logicznych. Równoważność i ekskluzja w tej logice nie różnią się niczym od klasycznych.

Uwaga: w odniesieniu do logiki Bochvara i Kleenego panuje w źródłach niesamowite zamieszanie, por. np. Malinowski G., Many-Valued Logics, Oxford Science Publications, oraz artykuł Many-Valued Logic [w:] Stanford encyclopaedia of Philosophy z odwrotną terminologią związków słabych i silnych; w artykule tym podaje się ponadto 0 ⇒₊ ½ = 1, co jest informacją w najwyższym stopniu niewiarygodną.

A oto tabele związków słabych Kleenego, będących jednocześnie związkami wewnętrznymi Bochvara:

Bochvar wprowadził też związki „zewnętrzne”, których rezultatem nie może być stan błędu (½). W tej logice podwójne przeczenie nie odpowiada zdaniu wyjściowemu, ponadto obok negacji wprowadza się nowy związek jednoargumentowy: asercję, oznaczaną zwykle literą a. Oto tabele tych związków:

Istnieje także trójwartościowa logika Sobocińskiego, w której wartość ½ interpretowana jest jako „nieistotne” lub „nie dotyczy”. Wówczas ½ uzyskiwane jest jako rezultat tylko wtedy, gdy oba argumenty mają wartość ½. Oto tabele:

Zebranie wartości logicznej dwuargumentowych związków w logice trójwartościowej

(1 – prawda, ½ – jeszcze nie wiadomo, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – niepewność, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – błąd, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – nieistotne, 0 – fałsz)

Implikacja doczekała się jeszcze innych odmian w logice trójwartościowej. Gödel zaproponował, aby przyjmować, że implikacja jest prawdziwa (1), jeśli poprzednik nie ma większej wartości logicznej niż następnik (gdy x ≤ y). W przeciwnym wypadku (x > y) wartość logiczna implikacji byłaby taka sama jak wartość następnika. W porównaniu z implikacją klasyczną dostrzeżemy następujące różnice:

• ½ →_G ½ = 1 (jak u Łukasiewicza),
• ½ →_G 0 = 0 (a nie ½).

Gödel jest także autorem oryginalnej koncepcji negacji: negacją zdania fałszywego jest zdanie prawdziwe, każda inna negacja jest zdaniem fałszywym. Innymi słowy, negacja Gödla przybiera tylko dwie wartości, prawdy i fałszu.

Logika czterowartościowa

W najbardziej znanym modelu logiki tego typu (logika Dunna i Belnapa) przyjęto cztery następujące wartości:

• N – brak informacji (None),
• F – fałsz (False),
• T – prawda (True),
• B – informacje sprzeczne (Both).

Wartości tych nie da się przedstawić w postaci liczb, choć można je uporządkować: F jest wartością niższą niż N, ale także niższą niż B, wartość T jest natomiast wyższa niż N i B. Nie da się natomiast uporządkować względem siebie N i B. Spośród związków logicznych definiuje się negację, koniunkcję i alternatywę. Negacja zmienia prawdę i fałsz, ale pozostawia N i B. Wartości logiczne koniunkcji i alternatywy oblicza się jak w logice tradycyjnej – koniunkcja przybiera wartość niższą, natomiast alternatywa wyższą z wartości obu argumentów. Przy zbiegu N i B koniunkcja ma wartość F, natomiast alternatywa – T. Właściwości te prezentują tabele poniżej (pierwszy argument podano w lewej kolumnie, drugi w górnym wierszu).

Logika rozmyta

Tworzone są również systemy rozpatrujące nieskończenie wiele wartości, a więc takie, w których wartość logiczna zdań jest dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału <0; 1>. Wartości logiczne związków w logice rozmytej oblicza się podobnie jak w logice trójwartościowej, istnieją też podobnie różnorodne odmiany związków. Uwagę zwracają kompromisowe sposoby obliczania wartości logicznych jako średnich arytmetycznych z wartości związków klasycznych i Łukasiewicza.

I tak, wartość logiczną koniunkcji oblicza się, mnożąc wartości argumentów (xy). Wówczas np. ½ ∧ ½ = ¼; wartość ta jest średnią wartości koniunkcji klasycznej (½) i koniunkcji Łukasiewicza (0). Łatwo sprawdzić, że dla innych kombinacji wartości 0, ½, 1 otrzymujemy wynik taki sam jak w koniunkcji klasycznej.

Zgodnie z drugim prawem de Morgana zaprzeczenie alternatywy odpowiada koniunkcji zaprzeczeń: ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q), z czego wynika, że alternatywa jest zaprzeczeniem koniunkcji zaprzeczeń: (p ∨ q) ≡ ~(~p ∧ ~q). Pamiętając, że jeśli zdanie p ma wartość x, to zdanie ~p ma wartość 1 − x, otrzymamy wyrażenie na obliczanie alternatywy: 1 − (1 − x)(1 − y). Jak nietrudno policzyć, jest ono równe x + y − xy, a zatem wartość logiczną alternatywy oblicza się dodając wartości argumentów, a następnie od wyniku odejmując ich iloczyn. Wówczas np. ½ ∨ ½ = ¾, ponieważ ½ + ½ − ½·½ = 1 − ¼ = ¾. Podobnie jak w przypadku koniunkcji, otrzymana wartość jest średnią arytmetyczną wartości alternatywy klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

Implikacja odpowiada alternatywie negacji poprzednika oraz następnika, zatem zgodnie z wzorem na wartość alternatywy obliczymy wartość implikacji jako (1 − x) + y − (1 − x)y. Po uproszczeniu otrzymamy formułę 1 − x + xy. Zgodnie z nią np. ½ ⇒ ½ = ¾, ponieważ 1 − ½ + ½·½ = ½ + ¼ = ¾. Raz jeszcze wynik okazuje się średnią arytmetyczną wartości implikacji klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

Bez problemu można ustalić wzory na wartości logiczne:

• dysjunkcji: 1 − xy,
• binegacji: (1 − x)(1 − y) czyli 1 − x − y + xy,
• równoważności (biimplikacja, ⇔): (1 − x + xy)(1 − y + xy),
• ekskluzji: 1 − (1 − x + xy)(1 − y + xy).

W podanych formułach przyjęto, że równoważność jest biimplikacją – koniunkcją implikacji prostej i odwrotnej. Gdyby jednak określić równoważność jako alternatywę koniunkcji obu zdań i koniunkcji ich negacji (symbol ≡), wówczas formuła przybierze postać 1 − (1 − xy)(1 − (1 − x)(1 − y)), a jej wartości w ogólnym przypadku będą inne niż wtedy, gdy zastosujemy pierwszą formułę. Dla przykładu ½ ⇔ ½ = 7⁄16, ale ½ ≡ ½ = 9⁄16.

Jeśli w logice rozmytej dopuścimy związki wielu argumentów, formułą dla koniunkcji pozostanie iloczyn ich wartości logicznej. Formułę dla alternatywy znajdziemy jak wyżej, z drugiego prawa de Morgana, podobnie łatwo ustalimy wzory dla dysjunkcji i negacji łącznej. Dla związków trzech argumentów formuły te przedstawiają się następująco:

• koniunkcja: xyz,
• alternatywa: 1 − (1 − x)(1 − y)(1 − z),
• dysjunkcja: 1 − xyz,
• negacja łączna: (1 − x)(1 − y)(1 − z).

Z pozostałych związków częściej możemy spotkać się z równoważnością. Z uwagi na kłopoty ze sformułowaniem definicji implikacji dla wielu argumentów, równoważność określamy jako związek prawdziwy wówczas, gdy wszystkie jego argumenty są prawdziwe lub gdy wszystkie są fałszywe, zatem odpowiada mu alternatywa koniunkcji zdań i ich negacji. Na podstawie tej własności otrzymamy formułę dla trzech argumentów: 1 − (1 − xyz)(1 − (1 − x)(1 − y)(1 − z)).

Różne systemy logiczne a logika uniwersalna

Istnienie różnych systemów logicznych, często – jak się wydaje – sprzecznych ze sobą, jest zdaniem pewnych ludzi dowodem na to, że tak naprawdę świat nie jest logiczny albo kieruje się inną logiką niż ta, którą stworzył człowiek. Tego rodzaju stwierdzenia w opinii ich autorów dowodzą jakoby głębokiego zrozumienia istoty logiki.

Tymczasem jest zupełnie inaczej. Upieranie się przy tym, że rzeczywistość nie opiera się na logice, albo że można ją opisywać w zupełnie dowolny sposób, jest w rzeczywistości dowodem bardzo płytkiego rozumienia logiki, a może nawet niezdolności do zrozumienia istoty zróżnicowania systemów logicznych. Tak naprawdę bowiem rzeczywistość kieruje się jedną jedyną, uniwersalną logiką, i nie ma nawet najmniejszej możliwości, by pojmować ją przy pomocy „logiki alternatywnej”, cokolwiek miałoby to oznaczać.

Skąd zatem zróżnicowanie systemów logicznych? Otóż stąd, że nasza wiedza o świecie nie jest pełna. Dwuwartościowa logika klasyczna ma zastosowanie tylko wówczas, gdy każdemu analizowanemu stwierdzeniu da się z absolutną pewnością przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Różne systemy logiki wielowartościowej stanowią natomiast próbę poszerzenia analizy logicznej także na te wypadki, gdy nie mamy pełnej wiedzy o prawdziwości analizowanych zjawisk. Często jest tak, bo wiedzy takiej dotąd nie zdobyliśmy, bywa też tak, że nie jest ona w ogóle możliwa do zdobycia. Czasami zjawiska nie mają charakteru ściśle zdeterminowanego, i zawierają w sobie z natury element losowości. Wówczas przypisanie pewnym stwierdzeniom wartości prawdy bądź fałszu nie jest możliwe. Wreszcie zdarza się, że złożone zjawiska można opisywać jako częściowo prawdziwe (częściowo fałszywe), i takie właśnie podejście ułatwia ich analizę.

Logika klasyczna zatem była, jest i będzie uniwersalna w ściśle określonych warunkach – dopóki analizuje stwierdzenia jednoznacznie prawdziwe lub jednoznacznie fałszywe. Różne systemy logiki wielowartościowej nie stanowią więc dla niej żadnej alternatywy. Po prostu opracowano je po to, by w ogóle móc zastosować logikę w sytuacjach, gdy podany warunek nie jest spełniony. Warto przy tym zauważyć, że także przy zastosowaniu różnego rodzaju „logiki alternatywnej”, dopóki mamy do czynienia wyłącznie z prawdą i fałszem, dopóty wyniki analizy są dokładnie takie same, jak przy zastosowaniu logiki klasycznej. Wszelkie zaś rozbieżności teoretyczne dotyczą jedynie sytuacji, gdy warunki stosowania tejże logiki nie są zachowane (a więc gdy analizujemy zdania, którym przypisuje się wartość logiczną inną niż 0 lub 1).

Linki

• Serwis matematyczny: logika
• Logika u podstaw
• Program sprawdzający tautologiczność formuł zdaniowych rachunku zdań
• The Propositional Logic Calculator

Pozycje drukowane zostały wyszczególnione w wykazie literatury.