Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2024-10-28

Związki logiczne

4

Zdania kategoryczne

Zdania atomowe odnoszą się z reguły do wszystkich obiektów określonej klasy, ewentualnie do wskazanych obiektów. Są one więc niejednokrotnie nie dość precyzyjne. W przeciwieństwie do tego zdania kategoryczne to zdania typu zdań atomowych, które zawierają kwantyfikatory: każde, niektóre, żadne. Kwantyfikatory wskazują, czy twierdzenie odnosi się do wszystkich obiektów danej klasy, czy tylko do niektórych (przy czym wtedy mogą odnosić się także do wszystkich). Wyróżniamy wśród nich zdania:

• ogólno-twierdzące o postaci każde S jest P, tradycyjnie zapisywane symbolicznie S a P,
• ogólno-przeczące o postaci żadne S nie jest P, tradycyjnie zapisywane symbolicznie S e P,
• szczegółowo-twierdzące o postaci niektóre S są P, tradycyjnie zapisywane symbolicznie S i P,
• szczegółowo-przeczące o postaci niektóre S nie są P, tradycyjnie zapisywane symbolicznie S o P.

Symbol S oznacza subjectum, czyli podmiot, P to praedicatum, czyli orzecznik. Małe litery między nimi pochodzą od affirmo = twierdzę oraz nego = przeczę.

Porównując zdania twierdzące (są) i przeczące (nie są) mówimy, że są różnej jakości. Porównując zdania ogólne (każde, wszystkie, żadne) i szczegółowe (niektóre) mówimy, że dzieli je różnica ilości. Kwantyfikator niektóre rozumieć należy jako przynajmniej niektóre. Inaczej mówiąc, wszystkie to też niektóre.

Zdania kategoryczne mogą być różnie reprezentowane w języku naturalnym, przy czym często zdania bez kwantyfikatora mają znaczenie zdań kategorycznych ogólnych, a zdania zawierające wyrazy istnieją, bywają, miewają mają znaczenie zdań kategorycznych szczegółowych, np.:

• S a P: wszyscy ludzie są braćmi, ptaki są pokryte piórami,
• S e P: nie ma opierzonych ssaków (formalnie: żaden ssak nie jest opierzony), chłopaki nie płaczą (formalnie: żaden chłopak nie jest skłonny do płaczu),
• S i P: są faceci, którym leci, większość planet ma księżyce (większość oznacza także niektóre), rzeki bywają spławne, istnieją jajorodne ssaki, ludzie miewają rude włosy,
• S o P: pewne ptaki utraciły zdolność do lotu (formalnie: niektóre ptaki nie są latające), są czworokąty niemające kątów prostych, drzewa bywają niewysokie.

Niektórzy logicy (jak T. Widła) uważają zdania typu nie ma róży bez kolców za ogólno-twierdzące mimo ich przeczącej formy. Nie można zgodzić się z takim stanowiskiem. W rzeczywistości zdanie nie ma róży bez kolców można wyrazić formalnie jako żadna róża nie jest niepokryta kolcami, jest to zatem zdanie ogólno-przeczące. Forma każda róża ma kolce jest w rzeczywistości obwersją zdania pierwotnego, o czym będzie mowa nieco niżej. Przyczyną zamieszania jest zapewne fakt, że w zdaniu żadna róża nie jest niepokryta kolcami występuje negatywna forma orzecznika (niepokryta kolcami), co jednak wynika tylko z ograniczeń języka naturalnego. Jeśli umówimy się, że gładki znaczy tyle, co niepokryty kolcami, zdanie nie ma róży bez kolców można będzie formalnie przedstawić w postaci żadna róża nie jest gładka, co usunie wszystkie wątpliwości co do tego przykładu.

Istnieją dwa typy zdań ogólno-twierdzących.

1. W pierwszym, częściej spotykanym typie zakres podmiotu jest podrzędny wobec zakresu orzecznika. Tu należą np. zdania każdy człowiek jest ssakiem (ssakami są nie tylko ludzie), każdy sędzia jest prawnikiem (wiadomo, że prawnikami są nie tylko sędziowie) czy każdy kwadrat jest prostokątem (istnieją też prostokąty, które nie są kwadratami).
2. W drugim, rzadszym typie zakresy podmiotu i orzecznika są zamienne, np. każdy człowiek jest istotą myślącą, każda kobieta jest dorosłą osobą płci żeńskiej, każde auto jest samochodem, każdy prostokąt o bokach równej długości jest kwadratem. Tylko w zdaniach drugiego typu można zamienić miejscami podmiot i orzecznik, otrzymując zdanie równoważne (np. każdy kwadrat jest prostokątem o bokach równej długości).

Istnieją dwa typy zdań ogólno-przeczących.

1. W pierwszym, zwykłym typie zakresy podmiotu i orzecznika są przeciwne, np. żaden ssak nie jest opierzony (ale istnieją zwierzęta także niemające piór, które nie są ssakami), żaden student nie jest analfabetą (ale istnieją też osoby umiejące czytać i pisać, które nie są studentami), żaden tramwaj nie jest samochodem (a samolot nie jest ani jednym, ani drugim), żaden kwadrat nie jest trójkątem (jest przy tym mnóstwo figur, które nie są ani kwadratami, ani trójkątami, np. koła).
2. W drugim, rzadszym typie zakresy podmiotu i orzecznika są sprzeczne, a zdanie brzmi zwykle nienaturalnie, np. żaden kręgowiec nie jest bezkręgowcem, żaden prawnik nie jest nie-prawnikiem, wśród wędrowców żaden jeździec nie jest piechurem, żaden niewysoki człowiek nie jest wysoki.

Istnieje pięć typów zdań szczegółowo-twierdzących.

1. W pierwszym, zwykłym typie zakres podmiotu jest nadrzędny względem zakresu orzecznika, np. niektóre ssaki są ludźmi, niektórzy prawnicy są sędziami, niektóre wielokąty są trójkątami.
2. W drugim, również dość częstym typie zakresy podmiotu i orzecznika są niezależne, np. niektóre ssaki są zwierzętami latającymi, niektórzy lekarze są naukowcami, niektórzy wysocy ludzie są chudzi.
3. W trzecim typie zakres podmiotu jest podrzędny względem orzecznika, co brzmi raczej ironicznie, np. niektórzy ludzie są ssakami, niektórzy sędziowie są prawnikami, niektóre kwadraty są prostokątami.
4. W czwartym, rzadkim typie zakresy podmiotu i orzecznika są zamienne, co również brzmi ironicznie, np. niektórzy ludzie są istotami myślącymi, niektóre dorosłe osoby płci żeńskiej są kobietami, niektóre prostokąty o równych bokach są kwadratami.
5. W piątym, rzadkim i raczej sztucznym typie zakresy podmiotu i orzecznika są podprzeciwne, np. niektórzy nie-ludzie są ssakami, niektórzy prawnicy są nie-sędziami, niektórzy nieduzi są niemali (są średnich rozmiarów).

Istnieje pięć typów zdań szczegółowo-przeczących.

1. W pierwszym, częstym typie zakres podmiotu jest nadrzędny wobec zakresu orzecznika, np. niektóre ssaki nie są ludźmi, niektórzy prawnicy nie są sędziami, niektóre wielokąty nie są trójkątami.
2. W drugim, częstym typie zakresy podmiotu i orzecznika są niezależne, np. niektóre ssaki nie są zwierzętami latającymi, niektórzy prawnicy nie są naukowcami, niektórzy wysocy nie są chudzi.
3. W trzecim, rzadkim typie zakresy podmiotu i orzecznika są przeciwne, co brzmi raczej ironicznie, np. niektóre ssaki nie są opierzone, niektórzy studenci nie są analfabetami, niektóre tramwaje nie są samochodami, niektóre kwadraty nie są trójkątami.
4. W czwartym, rzadkim i raczej sztucznym typie zakresy podmiotu i orzecznika są sprzeczne, np. niektóre kręgowce nie są bezkręgowcami, niektórzy prawnicy nie są nie-prawnikami, wśród wędrowców niektórzy jeźdźcy nie są piechurami.
5. W piątym, rzadkim i raczej sztucznym typie zakresy podmiotu i orzecznika są podprzeciwne, np. niektóre ssaki nie są nie-ludźmi, niektórzy nie-sędziowie nie są prawnikami, niektórzy nieduzi nie są niemali (są mali).

Poszczególne rodzaje zdań kategorycznych odnoszące się do tego samego podmiotu P i orzecznika P powiązane są ze sobą określonymi relacjami logicznymi. Występują tutaj :

• implikacja (podporządkowanie): ze zdania ogólnego wynika zdanie szczegółowe (S a P ⇒ S i P, a także S e P ⇒ S o P),
• sprzeczność między zdaniami różniącymi się jednocześnie ilościowo i jakościowo, tj. zdaniem ogólno-twierdzącym a szczegółowo-przeczącym (S a P ⊻ S o P) oraz między zdaniem ogólno-przeczącym a szczegółowo-twierdzącym (S e P ⊻ S i P),
• przeciwieństwo (niewspółprawdziwość) między zdaniami ogólnymi: twierdzącym a przeczącym (S a P | S e P),
• podprzeciwieństwo (niewspółfałszywość) między zdaniami szczegółowymi: twierdzącym a przeczącym (S i P ∨ S o P).

Przykłady:

• S a P ⇒ S i P: jeśli wszystkie ssaki są pokryte włosami, to i konkretny ssak (np. człowiek) jest pokryty włosami; jeśli każdy czworokąt ma cztery kąty, to i kwadrat ma cztery kąty (o kwadratach możemy bowiem powiedzieć, że są to niektóre czworokąty);
• S e P ⇒ S o P: jeśli żadne ssaki nie są upierzone, to i człowiek nie ma piór; jeśli żaden trójkąt nie ma dwóch kątów prostych, to i trójkąty prostokątne nie mają dwóch kątów prostych;
• S a P ⊻ S o P: albo wszyscy filozofowie są łysi, albo niektórzy filozofowie nie są łysi (jedno z tych zdań musi być prawdziwe); prawdą jest też na pewno, że albo życie istnieje tylko na Ziemi (wszystkie organizmy żywe są ziemskie), albo istnieją organizmy pozaziemskie;
• S e P ⊻ S i P: albo nie ma żadnych bezwłosych ssaków, albo niektóre ssaki są bezwłose; z całą pewnością także albo żaden ptak nie jest żyworodny, albo niektóre ptaki są żyworodne;
• S a P | S e P: co najwyżej wszystkie ssaki są bezwłose bądź żadne ssaki nie są bezwłose (oba stwierdzenia nie mogą być prawdziwe, natomiast mogą być oba fałszywe); co najwyżej wszystkie ptaki są jajorodne bądź żaden ptak nie jest jajorodny (oba nie są prawdziwe);
• S i P ∨ S o P: istnieją ssaki pokryte włosami lub istnieją ssaki bezwłose (oba nie mogą być jednocześnie fałszywe); niektóre stolice leżą nad rzeką lub niektóre stolice nie leżą nad rzeką (oba nie mogą być fałszywe, czyli jedno lub oba są prawdziwe).

Relacje te uwidacznia następujący kwadrat logiczny:

Źródło: Wikipedia, zmodyfikowane

Przekształcenia zdań kategorycznych

Zdania kategoryczne można poddawać pewnym przekształceniom tak, że ich wartość logiczna nie zmienia się (czyli tak, że otrzymujemy zdanie równoważne początkowemu). Są to obwersja, konwersja, kontrapozycja i inwersja.

Obwersja polega na zmianie jakości zdania połączonej z jednoczesnym zaprzeczeniem orzecznika (zapisywanym P′), tzn. z zamianą postaci pozytywnej na negatywną (np. są owłosione – nie są nieowłosione) lub odwrotnie (np. są nieowłosione – nie są owłosione). Obwersji podlega każdy z 4 klasycznych typów zdań kategorycznych:

• S a P ⇔ S e P′, np.:
  • zdanie wszystkie ptaki są jajorodne oznacza, że żadne ptaki nie są nie-jajorodne,
  • zdanie wszystkie żmije są niebezpieczne dla ludzi oznacza, że żadne żmije nie są bezpieczne dla ludzi,
  • zdanie każdy człowiek jest rozumny oznacza, że żaden człowiek nie jest nie-rozumny;
• S e P ⇔ S a P′, np.:
  • zdanie żadne ssaki nie są upierzone oznacza, że wszystkie ssaki są niepokryte piórami,
  • zdanie żaden student nie jest analfabetą oznacza, że każdy student umie czytać i pisać (formalnie: jest nie-analfabetą),
  • zdanie nie ma róży bez kolców (formalnie: żadne róże nie są bez kolców) oznacza, że wszystkie róże są zaopatrzone w kolce;
• S i P ⇔ S o P′, np.:
  • zdanie niektóre ssaki są pokryte włosami oznacza, że niektóre ssaki nie są nieowłosione,
  • zdanie niektóre samochody są czerwone oznacza, że niektóre samochody nie są nie-czerwone,
  • zdanie niektóre dania są niesmaczne oznacza, że niektóre dania nie są smaczne;
• S o P ⇔ S i P′, np.:
  • zdanie niektóre ssaki nie są pokryte włosami oznacza, że niektóre ssaki są nieowłosione,
  • zdanie niektóre ssaki nie są nieowłosione oznacza, że niektóre ssaki są owłosione,
  • zdanie niektóre miasta nie leżą nad rzeką oznacza, że niektóre miasta leżą nie nad rzeką.

Konwersja w sensie używanym w logice polega na zamianie miejscami podmiotu i orzecznika, i nie zawsze jest możliwa lub w pełni możliwa. Bez ograniczeń można ją stosować w wypadku zdań ogólno-przeczących i szczegółowo-twierdzących. Mówimy wówczas o konwersji wprost, w wyniku której otrzymujemy zdanie równoważne początkowemu:

• S e P ⇔ P e S, np.:
  • zdanie żadne ssaki nie są upierzone oznacza, że żadne zwierzęta upierzone nie są ssakami,
  • zdanie żaden student nie jest analfabetą oznacza, że żaden analfabeta nie jest studentem,
  • zdanie nie ma róży bez kolców (formalnie: żadne róże nie są bez kolców) oznacza, że żadne rośliny bez kolców nie są różami;
• S i P ⇔ P i S, np.:
  • zdanie niektóre ssaki są pokryte włosami oznacza, że niektóre zwierzęta pokryte włosami są ssakami (we współczesnej faunie każde zwierzę pokryte włosami jest ssakiem, ale to nie zmienia faktu, że zdanie niektóre zwierzęta pokryte włosami są ssakami pozostaje prawdziwe, ponieważ niektóre może w szczególności oznaczać także wszystkie),
  • zdanie niektóre samochody są czerwone oznacza, że niektóre czerwone przedmioty są samochodami,
  • zdanie niektóre dania są niesmaczne oznacza, że niektóre niesmaczne rzeczy są daniami.

Zdanie ogólno-twierdzące można poddać na ogół tylko konwersji z ograniczeniem. Ma ona charakter implikacji, a nie równoważności, i towarzyszy jej zmiana ilościowa, bowiem otrzymujemy zdanie szczegółowo-twierdzące:

• S a P ⇒ P i S, np.:
  • zdanie wszystkie ptaki są jajorodne oznacza, że niektóre zwierzęta jajorodne są ptakami,
  • zdanie wszystkie żmije są niebezpieczne dla ludzi oznacza, że niektóre zwierzęta niebezpieczne dla ludzi są żmijami,
  • zdanie każdy człowiek jest rozumny oznacza, że niektóre istoty rozumne są ludźmi.

Na ogół z otrzymanego zdania wcale nie wynika zdanie początkowe, np. z faktu, że niektóre zwierzęta jajorodne to ptaki wcale nie wynika, że wszystkie ptaki są jajorodne. Stosując konwersję z ograniczeniem tracimy zatem część pierwotnej informacji. Tylko w niektórych przypadkach zdanie ogólno-twierdzące można poddać konwersji wprost, otrzymując zdanie równoważne bez zmiany ilościowej. Dzieje się tak w zdaniach ogólno-twierdzących drugiego typu, czyli tylko wtedy, gdy podmiot i orzecznik mają taki sam zakres (gdy ich zakresy są zamienne), np. prawdą jest zarówno, że każdy człowiek jest rozumny, jak też że każda istota rozumna jest człowiekiem. A przynajmniej na to wskazuje obecny stan nauki. Gdy potwierdzimy istnienie kosmitów lub gdy uznamy cyborgi za istoty rozumne, konwersja wprost stanie się tu logicznie niepoprawna.

Uwaga: termin „konwersja” jest wieloznaczny i oznacza między innymi przeliczenie jednostek, zmianę właściwości produktu procesów chemicznych lub zmianę wyznania.