Wersja z 2018-01-10

Grzegorz Jagodziński

Zadania z geometrii analitycznej – znajdowanie wierzchołków czworokąta

Oto przykładowe zadanie z geometrii analitycznej, zaczerpnięte z publikacji wydawnictwa Operon „Matura 2018. Testy i arkusze z odpowiedziami” (autor: Marzena Orlińska), str. 30, zad. 5.

Treść zadania

Dany jest kwadrat `ABCD`. Kolejne wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne `A = (-1, 2)`, `B = (4, -3)`. Wyznacz współrzędne punktu `C`.

Uwagi praktyczne

Rozwiązanie, którego szkic zaproponowali autorzy, jest żmudne i czasochłonne. Jednak za to rozwiązanie maturzysta otrzymuje aż 7 punktów, co daje niemal połowę ilości 15 punktów wystarczających do zdania egzaminu! Warto więc naprawdę powalczyć!

Aby uzmysłowić sobie, jakie czekają nas trudności, zaczniemy od przedstawienia pełnego i detalicznego rozwiązania w stylu pomysłodawców.

Uwaga: do zadania można sobie zrobić rysunek pomocniczy. Nie jest on jednak częścią rozwiązania, ma pomagać w poszukiwaniu koncepcji, a nie w znalezieniu odpowiedzi. Tutaj podarujemy sobie całkowicie rysowanie, jednocześnie zachęcając jednak Czytelnika, by zechciał samodzielnie wykonać na kartce papieru szkic układu współrzędnych, i by na ten szkic naniósł analizowane punkty i proste. Pomoże to na pewno w śledzeniu rozumowania.

Rozwiązanie metodą klasyczną

Aby ułatwić sobie pracę, podzielmy rozwiązanie na etapy.

1. Znalezienie równania prostej `AB`

Współrzędne `x` punktów `A` i `B` (oznaczmy je `x_A` i `x_B`) różnią się, dlatego prosta `AB` będzie mieć równanie postaci `y = ax + b`.

Gdyby `x_A` i `x_B` były takie same, równanie prostej `AB` miałoby postać `x = x_A` (czyli też `x = x_B`). Można też nie sprawdzać w ogóle współrzędnych, ale wtedy trzeba rozważać prostą w postaci ogólnej `Ax + By + C = 0`.

Podstawiamy kolejno współrzędne punktów `A` i `B` do przedstawionej wyżej postaci, otrzymując dwa równania tworzące układ, który następnie rozwiązujemy. Z uwagi na jego postać najłatwiej zrobić to, odejmując równania stronami:

Nie zapomnijmy o konieczności wyznaczenia `b`, na przykład z równania pierwszego `2 = -a + b`:

Zapisujemy koniecznie równanie prostej, wstawiając wyliczone wartości `a` i `b` do postaci `y = ax + b`:

`AB`: `y = -x + 1`

Otrzymujemy pierwszy punkt za rozwiązanie zadania.

Uwaga: istnieje wzór, pozwalający od razu otrzymać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, bez konieczności rozwiązywania układu równań. Jednak jego postać jest taka, że łatwo o pomyłkę (jak uczy doświadczenie, nawet przy korzystaniu z gotowej postaci podanej w zestawie wzorów, które otrzymuje się, zdając maturę), a i tak to, co się otrzyma, należy jeszcze nieco przekształcić. Rozwiązanie wyżej podaną metodą nie przysparza zaś kłopotów, układ jest zawsze równie banalny (w pierwszym kroku odejmujemy równania stronami, rugując niewiadomą `b`), po co więc obciążać pamięć znajomością skomplikowanych wzorów.

Współczynnik kierunkowy `a` możemy też wyznaczyć, dzieląc różnicę rzędnych `y_B - y_A` przez różnicę odciętych `x_B - x_A`, czyli `a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)`. W naszym wypadku `a = (4 - (-1))/(-3 - 2) = 5/(-5) = -1`. Czasem jest to łatwiejsze niż zapisanie układu równań. Oczywiście `b` wyznaczamy jak wyżej.

2. Obliczenie długości boku kwadratu `ABCD`

Zadanie, które teraz stoi przed nami, sprowadza się do obliczenia odległości punktów `A` i `B`. Korzystamy ze znanego wzoru, będącego w istocie formą twierdzenia Pitagorasa używaną w geometrii analitycznej.

Otrzymujemy drugi punkt za rozwiązanie zadania.

3. Wyznaczenie równania prostej `BC`

Prosta `BC` zawiera kolejny bok kwadratu `ABCD`, jest więc prostopadła do prostej `AB`. Jeśli jakaś prosta ma równanie `y = a_1x + b_1`, to prostopadła do niej ma równanie `y = a_2x + b_2`, gdzie `a_2 = -1/a_1`. Nowy współczynnik kierunkowy `a_2` obliczamy, odwracając współczynnik kierunkowy `a_1` i zmieniając znak. Wyraz wolny `b_2` znajdziemy w inny sposób, wykorzystując współrzędne punktu `B`.

Prosta `AB` ma równanie `y = -x + 1`, zatem `a_1 = -1`. Liczbą odwrotną do `-1` jest `-1` (liczba nie zmienia się), a zmiana znaku prowadzi do wyniku `a_2 = 1`. Prosta `BC` ma więc postać `y = x + b`. Otrzymujemy trzeci punkt za rozwiązanie zadania.

Uwaga: niekiedy zaleca się liczyć `a_2` z warunku prostopadłości `a_1 * a_2 = -1`, ale tak naprawdę jest to stratą czasu. Warunek ten nadaje się tylko do sprawdzenia, czy dwie dane proste są prostopadłe, a nie do szukania prostej prostopadłej do danej.

Ponieważ punkt `B` należy do prostej `BC`, zatem jego współrzędne `(4, -3)` muszą spełniać równanie tej prostej:

Koniecznie zapisujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty `B` i `C`,

`BC`: `y = x - 7`

Osiągnęliśmy „istotny postęp” rozwiązania, za co otrzymujemy kolejny, czwarty już punkt.

4. Znajdowanie współrzędnych punktu `C`

Aby zlokalizować punkt `C`, musimy wykorzystać dwa fakty:

1. punkt ten leży na prostej `BC`,
2. jest odległy od punktu `B` od długość boku kwadratu, czyli o `5 sqrt(2)`.

Punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają równanie tej prostej. Stąd `y_C = x_C - 7`. Z kolei drugi warunek zapiszemy, znów wykorzystując wzór na odległość: `|BC| = sqrt((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2)`. Do tego wzoru podstawiamy znane wielkości `|BC|` (tyle samo, co `|AB|`, kwadrat ma wszystkie boki równe), `x_B`, `y_B` i otrzymujemy układ równań, który rozwiązujemy metodą podstawiania:

Zapisujemy zatem na koniec: `C = (-1,-8) vv C = (9, 2)`, dzięki czemu otrzymujemy ostatni, siódmy punkt za rozwiązanie zadania.

Co przyda się, by zadanie rozwiązać prościej

Czy rzeczywiście jednak problemu nie da się rozwiązać prościej? Czy możemy jakoś ominąć te wszystkie żmudne obliczenia, by dojść do wyniku znacznie krótszą drogą? Tak! O ile opanujemy elementarne podstawy rachunku wektorowego!

Co konkretnie musimy wiedzieć? Wektor to taki obiekt matematyczny, obrazowany strzałką, który w geometrii analitycznej na płaszczyźnie można przedstawić przy pomocy uporządkowanej pary liczb `[x, y]`. Liczby te (co chyba nikogo nie zaskoczy) nazywamy współrzędnymi wektora. Wektor wyraża przesunięcie punktu. Aby przesunąć punkt `A = (x_A, y_A)` o wektor `[x_w, y_w]` do nowego położenia `B`, wystarczy ów wektor „zaczepić” w punkcie `A`, a wówczas jego koniec wskaże położenie punktu `B` po przesunięciu. W tym celu dodajemy do siebie odpowiednie współrzędne punktu i wektora: `B = (x_B, y_B) = (x_A + x_w, y_A + y_w)`.

Jeśli dane są współrzędne punktów `A = (x_A, y_A)` i `B = (x_B, y_B)`, to współrzędne wektora otrzymamy, odejmując odpowiednie współrzędne, zawsze od końcowej odejmując początkową: `vec (AB) = [x_B - x_A, y_B - y_A]`. Oczywiście `vec (BA) = [x_A - x_B, y_A - y_B]`; wektor `vec (BA)` nazywamy przeciwnym do wektora `vec (AB)`. Zauważmy, że wektor przeciwny do danego otrzymamy, zmieniając znaki obu współrzędnych.

Znając pewien wektor `vec w = [x_w, y_w]` możemy bardzo łatwo wyznaczyć wektor do niego prostopadły, o tej samej długości. Zauważmy, że istnieją dwa takie wektory: mówiąc językiem potocznym, jeden z nich opisuje skręt w lewo pod kątem prostym, a drugi skręt w prawo. Współrzędne tych wektorów są niezwykle łatwe do wyznaczenia! Wystarczy bowiem zamienić miejscami współrzędne `x_w` i `y_w`, a następnie jednej (i tylko jednej) z nich zmienić znak na przeciwny. Stąd właśnie dwa wektory prostopadłe: jeden ma zmieniony znak pierwszej współrzędnej, a drugi – drugiej współrzędnej. Dwa wektory prostopadłe do danego są względem siebie przeciwne.

Zapiszmy to symbolicznie, nawet jeśli nie będziemy z tego dalej korzystać. Niech `vec v _|_ vec w` (są prostopadłe) oraz `|vec v| = |vec w|` (mają taką samą długość). Wtedy `[x_v, y_v] = [y_w, -x_w] vv [x_v, y_v] = [-y_w, x_w]`.

Na przykład jeśli mamy wektor `vec a` o współrzędnych `[3, -4]`, to prostopadłymi do niego wektorami o takiej samej jak on długości będą `vec (b_1) = [-4, -3]` oraz `vec (b_2) = [4, 3]`.

Ta wiedza wystarczy nam już, by rozwiązać nasze zadanie w nieporównanie prostszy sposób, kpiąc sobie z tych, którzy muszą tracić mnóstwo czasu i nerwów na rozwiązanie klasyczne. Zgodnie z regułami egzaminu maturalnego, za takie sprytne (a przy tym całkowicie poprawne i dopuszczalne!) rozwiązanie musimy uzyskać komplet siedmiu punktów.

Jak to zatem zrobić?

Rozwiązanie wektorowe

1. Mając dane `A = (-1, 2)`, `B = (4, -3)`, wyznaczamy współrzędne wektora `AB`: `vec (AB) = [4 - (-1), -3 - 2] = [5, -5]`.
2. Wektor `BC` ma taką samą długość i jest prostopadły do `vec (AB)` (bo `ABCD` jest kwadratem), więc `vec (BC) = [-5, -5]` lub `vec (BC) = [5, 5]`. Symbolicznie: `vec (BC) _|_ vec (AB) ^^ |vec (BC)| = |vec (AB)| ⇒ vec (BC) = [-5, -5] vv vec (BC) = [5, 5]`.
3. Aby wyznaczyć współrzędne punktu `C`, zaczepiamy wektor `vec (BC)` w punkcie `B = (4, -3)`, co daje `C = (4 - 5, -3 - 5)` lub `C = (4 + 5, -3 + 5)` czyli ostatecznie `C = (-1, -8) vv C = (9, 2)`.

KONIEC!!! Całe powyższe rozwiązanie powinno być całkowicie jasne; jeśli nie, trzeba jeszcze raz dokładnie przeanalizować poprzedni podrozdział.

Chyba warto opanować elementy rachunku wektorowego, skoro dzięki temu rozwiązanie zajmujące dwie strony możemy skrócić do trzech linijek, i dodatkowo zaoszczędzić mnóstwo czasu?