Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.
This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.
Wersja z 2017-11-13
Będziemy tu rozważać zadania, w których należy obliczyć wiek jakichś osób, korzystając z pewnych podanych zależności. Na ogół mowa jest w nich o sytuacji obecnej oraz takiej, która miała miejsce szereg lat temu, albo dopiero się wydarzy za szereg lat. Łatwiejsze zadania udaje się rozwiązać, układając jedno równanie. W trudniejszych zadaniach łatwiej jest ułożyć układ równań (choć na ogół można tego uniknąć, przeprowadziwszy dokładną analizę treści). Zdarza się nawet, że występuje w nich więcej osób lub mowa o więcej niż dwóch sytuacjach. Poniżej zebrano najważniejsze wskazówki, które mogą się przydać przy rozwiązywaniu takich zadań.
Zadania związane z wiekiem nie mają najczęściej wyodrębnionych danych i szukanych, a przynajmniej dane nie są liczbami. Zamiast wypisywać dane i szukane, dokonujemy analizy treści i wprowadzamy oznaczenia występujących w zadaniu wielkości. Musimy po pierwsze właściwie dobrać znaczenie niewiadomych. Najlepiej napisać w swoim rozwiązaniu jasno i przejrzyście, co oznacza
Po drugie, powinniśmy opisać wiek każdej innej osoby występującej w zadaniu, o ile to jest możliwe i potrzebne. Często wiek danej osoby podany jest w treści zadania w postaci związku z wiekiem innej osoby. W podanym przykładzie napiszemy, że
Po trzecie, w opisie używamy poprawnych określeń, np. „
Dobrze jest narysować sobie (choćby na brudno) tabelkę, w której wierszach wyszczególnimy wszystkie podane w zadaniu osoby, a w kolumnach wszystkie podane sytuacje (np. stan teraźniejszy i przeszły). Jeżeli zdecydujemy się na taki krok i wprowadzimy tabelkę do rozwiązania, pamiętajmy, żeby nie wpisywać do niej niczego, co dopiero obliczymy niżej. W rozwiązaniu nie można bowiem cofać się i uzupełniać tego, co zostawiliśmy puste. Wszelkie pomocnicze obliczenia robimy zatem nad tabelką, wpisujemy do niej tylko to, co znamy, czyli to, co odczytaliśmy z treści zadania i to, co już ustaliliśmy (także w postaci wielkości niewiadomych).
W zadaniach tego typu musimy myśleć algebraicznie. Umówmy się, że znany nie oznacza tego samego, co wiadomy. Jeśli o wieku danej osoby w konkretnej chwili nic nie wiemy i nie potrafimy go powiązać z wiekiem innych osób, to traktujemy go jako nieznany i zostawiamy odpowiednią komórkę tabelki pustą. Jeśli jednak ustaliliśmy na przykład, że wiek pewnej osoby wynosi obecnie
Po wykonaniu tabelki (a przynajmniej po poprawnym opisaniu wszystkich danych) próbujemy ułożyć równanie (lub równania). Pamiętajmy, że liczba równań powinna być równa liczbie niewiadomych lub od niej większa.
Czasami równanie odzwierciedla to, co zawarte zostało w treści zadania. W innych wypadkach kluczem do poprawnego ułożenia równania (lub równań) bywa spostrzeżenie, że jeśli jakaś osoba postarzała się o pewną ilość lat, to i inne osoby musiały postarzeć się o tyle samo lat. Na przykład jeśli Ania ma obecnie
Czasem wygodniej jest zauważyć, że różnica ilości lat dwóch osób pozostaje zawsze stała. Wszyscy bowiem starzejemy się o tę samą liczbę lat. Nie zawsze wiemy, ile to lat, ale często umiemy tę wielkość zapisać algebraicznie. Jeśli jakiejś osobie przybyło np.
Jeśli wypełnienie tabelki wymaga dodatkowych obliczeń, które trudno nam wykonać bez wstępnej analizy danych, zostawiamy w tabelce luki, i jeśli czujemy taką potrzebę, po przeprowadzeniu koniecznych obliczeń rysujemy tabelkę po raz drugi, umieszczając w niej nowo otrzymane wartości (obok tych, które już znaliśmy wcześniej).
Poniżej przeanalizujemy pewną ilość zadań związanych z omawianym zagadnieniem. Każdemu z nich towarzyszy rozwiązanie, zwykle w postaci obliczeń i szczegółowego komentarza. Analiza tych rozwiązań posłuży jako ilustracja powyższych wskazówek.
Ukryj wskazówkiPokaż wskazówki
Zadania opracowane zostały przez autora, o ile nie podano inaczej.
1. Jarek i Marcin mają razem 26 lat. Marcin jest o dwa lata starszy od Jarka. Ile lat ma każdy z chłopców?
Istotne podpowiedzi do zadania podane zostały wyżej, we wskazówkach. Wiemy więc, wiek którego z chłopców należy oznaczyć przez
Tabelka w naszym zadaniu nie jest potrzebna, a do ułożenia równania wystarczy informacja zawarta w pierwszym zdaniu tekstu. Mając oznaczony wiek każdego z chłopców, łatwo napiszemy, że suma ich wieku to 26 lat:
Dalsze rozwiązanie jest już elementarne:
Odpowiedź: Jarek ma 12 lat, a Marcin 14 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
2. Czternastoletni chłopiec jest sześć razy młodszy od swego dziadka. Ile lat ma dziadek?
[Źródło: S. Białas, J. Lipczyński, S. Olczak, Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej. Klasa V, VI, VII, WSiP, Warszawa 1977, str. 45, zad. 128]
Zadanie jest bardzo proste i przeznaczone do rozwiązania w pamięci. Wykonując go pisemnie, wystarczy oznaczyć
Odpowiedź: Dziadek ma 84 lata.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
3. Ojciec ma 36 lat, a syn 4. Za ile lat ojciec będzie 5 razy starszy od syna?
Zadanie jest nieco trudniejsze od poprzednich, jednak stosunkowo łatwo można je rozwiązać bez pomocy tabelki.
Zaczniemy od ustalenia, co oznaczymy literą
Teraz ustalmy wiek ojca i syna po upływie tych
Skoro wiek ojca ma być 5 razy większy od wieku syna, musi być spełniony warunek:
Likwidujemy nawias, mnożąc jednomian przez sumę algebraiczną:
Rozdzielamy niewiadome i wiadome:
Redukujemy wyrazy podobne:
Dzielimy obie strony przez współczynnik przy niewiadomej, czyli przez
Odpowiedź: Ojciec będzie 5 razy starszy od syna za 4 lata.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
4. Ojciec ma 36 lat, a syn 8. Za ile lat ojciec będzie 5 razy starszy od syna?
[Źródło: S. Białas, J. Lipczyński, S. Olczak, Zbiór zadań z matematyki dla szkoły podstawowej. Klasa V, VI, VII, WSiP, Warszawa 1977, str. 211, zad. 40]
Zadanie wydaje się podobne do poprzedniego, zawiera jednak haczyk.
Postępując jak w zadaniu poprzednim, zapisujemy wyniki analizy zadania:
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie:
Otrzymaliśmy wynik ujemny. Czy wynika z niego, że zadanie nie ma rozwiązania? Nie! Ujemny wynik oznacza, że interesująca nas chwila już się zdarzyła. Piszemy zatem odpowiedź, której poprawne sformułowanie jest właśnie wspomnianym haczykiem.
Odpowiedź: Ojciec był 5 razy starszy od syna rok temu.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
5. Teofil i jego młodsza siostra Agata mają razem 105 lat. Różnica ich wieku równa się liczbie lat Agaty wtedy, gdy Teofil miał tyle lat, ile teraz ma Agata. Ile lat mają Agata i Teofil?
[Źródło nieznane]
Niech
W zadaniu mowa też o czasie, gdy Teofil miał tyle lat, co teraz Agata, czyli
obecnie | jakiś czas temu | |
---|---|---|
wiek Teofila | ||
wiek Agaty |
Wykorzystajmy informację podaną w zadaniu, że różnica wieku rodzeństwa równa jest liczbie lat Agaty jakiś czas temu. Daje nam to równanie
Mamy dwie niewiadome, potrzebujemy zatem dwóch równań. Drugie równanie ułożymy, wiedząc, że obojgu rodzeństwa przybyło tyle samo lat:
Podstawmy wyrażenie z prawej strony pierwszego równania do drugiego równania (za
Przeprowadźmy teraz redukcję wyrazów podobnych:
Przerzućmy niewiadome na lewą stronę, a wiadome na prawą:
Po podzieleniu obu stron przez
Musimy jeszcze obliczyć obecny wiek Teofila:
Odpowiedź: Agata ma obecnie 42 lata, a Teofil 63 lata.
Uwaga: zadanie można rozwiązać, nie używając w ogóle niewiadomej
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
6. Paweł ma 12 lat, to jest dwa razy tyle, ile Piotrek miał wtedy, kiedy Paweł miał tyle, ile Piotrek ma teraz. Ile lat ma Piotrek?
[Źródło nieznane]
Zadanie wydaje się niezmiernie zawikłane, ale w rzeczywistości nie jest wcale trudne.
Niech
obecnie | jakiś czas temu | |
---|---|---|
wiek Pawła | 12 | |
wiek Piotrka |
Wiek Piotrka jakiś czas temu możemy oznaczyć przez
Możemy warunek ten teraz rozwiązać, dostając
Pamiętając, że różnica liczby lat obu chłopców nigdy się nie zmieni, układamy równanie, posiłkując się danymi z tabeli:
Proste przeniesienie wiadomych i niewiadomych, redukcja wyrazów podobnych i podzielenie obu stron przez 2 doprowadzą nas do wyniku:
Odpowiedź: Piotrek ma obecnie 9 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
7. Kiedy Wacek miał tyle lat, ile teraz Jacek, wtedy Placek miał tyle lat, ile mają razem Wacek i Jacek. Kiedy Placek miał tyle lat, ile teraz Wacek?
[Źródło nieznane]
Zadanie jest zawikłane i bardzo trudne, a wynika to między innymi z faktu, że nie występuje w nim żadna liczba. Co więcej, okaże się, że także żadnej liczby nie otrzymamy w wyniku.
W zadaniu występują trzy osoby i aż trzy stany: teraźniejszy, stan przeszły pierwszy („kiedy Wacek miał tyle lat, ile teraz Jacek”) oraz stan przeszły drugi, który jest treścią pytania.
Niech
obecnie | przeszłość 1 | przeszłość 2 | |
---|---|---|---|
wiek Wacka | |||
wiek Jacka | |||
wiek Placka |
Wydawać by się mogło, że te dane nie pozwolą nam na ułożenie choćby jednego równania. Tak jednak nie jest, zauważmy bowiem, że pierwszy wiersz tabeli zawiera dwie wartości. Możemy więc obliczyć i wyrazić w formie algebraicznej (czyli używając liter symbolizujących niewiadome), ile lat upłynęło do chwili obecnej od momentu, gdy wiek Placka był równy sumie obecnego wieku Wacka i Jacka. Było to mianowicie
Wiedząc, ile upłynęło czasu, możemy wypełnić brakujące miejsca w tabeli. I tak, obliczymy wiek Jacka w stanie przeszłym pierwszym:
Obliczymy też obecny wiek Placka, wprowadzając nawiasy dla większej czytelności:
Wpiszemy te wartości do tabelki:
obecnie | przeszłość 1 | przeszłość 2 | |
---|---|---|---|
wiek Wacka | |||
wiek Jacka | |||
wiek Placka |
Zajmijmy się teraz stanem, o którym mowa w pytaniu (gdy Placek miał tyle lat, ile teraz ma Wacek, czyli
Dla porządku możemy jeszcze wypełnić do końca tabelkę:
obecnie | przeszłość 1 | przeszłość 2 | |
---|---|---|---|
wiek Wacka | |||
wiek Jacka | |||
wiek Placka |
Uwaga: Z analizy pierwszego wiersza tabelki wynika, że
Odpowiedź: Tyle lat, ile ma teraz Wacek, miał Placek w roku, w którym Wacek się urodził.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
8. Ania i Tomek mają razem 14 lat. Dwa lata temu Tomek był 4 razy starszy od Ani. O ile lat Tomek jest starszy od Ani? Czy prawdą jest, że Ania jest dwa razy młodsza od Tomka?
[Źródło: https://www.zadania.info/d1459/7337215, zmienione]
Wracamy do zadań łatwiejszych (co nie znaczy banalnych). Zadanie rozwiążemy na 3 sposoby.
Sposób 1
Oznaczmy
Wszystkie te informacje wypisujemy w rozwiązaniu (jest to tzw. analiza treści zadania, która zastępuje tradycyjne dane i szukane). Oczywiście możemy także (choć nie musimy) zebrać wyniki analizy w tabelce:
obecnie | 2 lata temu | |
---|---|---|
wiek Ani | ||
wiek Tomka |
Mamy dwie niewiadome, musimy więc ułożyć dwa równania. W tym celu wykorzystamy dwie informacje z zadania:
Warto zauważyć, że gdy w zadaniu mowa „Tomek był (starszy)”, to w istocie rozumiemy to jako „wiek Tomka był (większy)”. Skoro wiek Tomka (dwa lata temu) to
Otrzymaliśmy układ równań, rozwiążemy go dowolną metodą, np. tak:
Pozbywamy się nawiasów: |
Rozdzielamy niewiadome od wiadomych: |
Dokonujemy redukcji wyrazów podobnych: |
Wyliczamy |
Wstawiamy |
Rozdzielamy niewiadome od wiadomych: |
Redukujemy wyrazy podobne: |
Pierwsze równanie dzielimy stronami przez 5: |
Wstawiamy wyliczoną wartość |
Obliczamy wartość niewiadomej |
Wypisujemy wartości obu niewiadomych: |
Podano tu rozwiązanie ze szczegółowymi komentarzami, które warto zoptymalizować. Można np. nie przepisywać drugiego równania po wyliczeniu
Pamiętajmy jednak, że w wyniku obliczeń otrzymaliśmy wiek Ani, który wynosi obecnie 4 lata, oraz różnicę wieku Tomka i Ani, która wynosi 6 lat.
Obliczmy jeszcze wiek Tomka:
Odpowiedź: Tomek jest starszy od Ani o 6 lat. Nie jest prawdą, że Ania jest dwa razy młodsza od Tomka.
Sposób 2
Nie patrzmy na pytania i (np. kierując się matematyczną intuicją) oznaczmy wiek Tomka przez
Wystarczy teraz rozwiązać to równanie, otrzymując kolejno
Okazało się, że dzięki nadaniu innego znaczenia niewiadomej
Sposób 3
Zacznijmy od zauważenia, że jeśli obecnie suma wieku Tomka i Ani wynosi 14, to dwa lata temu wynosiła 10. Dlaczego tak? Otóż Tomek miał o dwa lata mniej, i Ania miała o dwa lata mniej niż ma obecnie. Formalne obliczenie powinno być zapisane na przykład tak: suma wieku Tomka i Ani dwa lata temu wynosiła
Jeśli przyjmiemy, że Ania miała dwa lata temu
Obecnie Ania ma
Warto zapamiętać pomysł z obliczeniem sumy wieku dwa lata temu. Podobny wybieg można z powodzeniem stosować i w innych zadaniach. Czasem potrafi ogromnie uprościć obliczenia.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
9. Ula i Kajtek mają razem 22 lata. Pięć lat temu Ula była 3 razy starsza od Kajtka. Ile lat temu Ula była dwa razy starsza od Kajtka?
[Źródło: https://www.zadania.info/d1447/8320121]
Tym razem podamy tylko zapis rozwiązania bez komentarzy. Jeśli nie jest on jasny, trzeba przestudiować rozwiązania poprzednich zadań. Warto też zerknąć na stronę, z której zaczerpnięto zadanie; znajdują się tam dwa inne rozwiązania.
Ilość lat, która upłynęła, odkąd Ula była dwa razy starsza od Kajtka:
Obecny wiek Kajtka:
Obecny wiek Uli:
Wiek Kajtka 5 lat temu:
Wiek Uli 5 lat temu:
wiek Uli 5 lat temu to 3 razy wiek Kajtka 5 lat temu
Obecny wiek Kajtka: 8 lat
Obecny wiek Uli:
Wiek Kajtka przed
Wiek Uli przed
wiek Uli przed
Odpowiedź: Ula była dwa razy starsza od Kajtka 2 lata temu.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
10. Ojciec i syn mają razem 50 lat. Gdyby syn był o 10 lat starszy, to ojciec miałby dwa razy więcej lat niż syn. Ile lat ma obecnie każdy z nich?
[Źródło: http://matematyka.pisz.pl/forum/122028.html]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
wiek ojca:
rzeczywisty wiek syna:
hipotetyczny wiek syna:
wiek ojca to 2 razy hipotetyczny wiek syna
¯¯¯¯¯¯
Odp.: Ojciec ma 40 lat, a syn 10.
Uwaga: hipotetyczna sytuacja, w której syn byłby o 10 lat starszy, nie odnosi się do przyszłości, ale do chwili obecnej, dlatego wiek ojca to wciąż
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
11. Ala, Ewa i Ola mają razem 44 lata. Ala jest dwa razy starsza od Ewy, a Ola jest od Ewy o cztery lata młodsza. Ile razem mają lat Ala i Ola?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
wiek Ewy:
wiek Ali:
wiek Oli:
¯¯¯¯¯¯
Odp.: Ala ma 24 lata, a Ola 8 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
12. Kamil i Ola mają razem 18 lat. Bartek i Ola mają razem 20 lat, a Kamil i Bartek mają razem 16 lat. Ile lat mają Kamil, Ola i Bartek razem? Ile lat ma każde z nich?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Sposób 1
W rozwiązaniu użyjemy układu trzech równań z trzema niewiadomymi. Po ułożeniu równań wybieramy jedną z niewiadomych, np.
W ten sposób w układzie pozostają tylko dwa równania z dwiema niewiadomymi. W analogiczny sposób rugujemy np. niewiadomą
Dane:
wiek Kamila:
wiek Oli:
wiek Bartka:
Szukane:
Rozwiązanie:
Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.
Sposób 2
Użyjemy tylko jednej niewiadomej i jednego równania. Popatrzmy na dwa pierwsze stwierdzenia w zadaniu – powtarza się w nich wiek Oli. Przyjmijmy go więc za niewiadomą
Analiza zadania:
wiek Oli:
wiek Kamila:
wiek Bartka:
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯¯
wiek Kamila:
wiek Bartka:
suma wieku dzieci:
Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
13. Andrzej, Grzegorz i Krzysztof mają razem 36 lat. Wiek Grzegorza stanowi 75% wieku Andrzeja, a Krzysztof ma o 6 lat mniej niż Andrzej i Grzegorz razem. Ile lat ma każdy z chłopców?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Przedstawimy rozwiązanie przy użyciu jednej niewiadomej. Jest to metoda wygodna, pod warunkiem zrobienia dobrej i szczegółowej analizy zadania. Informacja „wiek Grzegorza stanowi 75% wieku Andrzeja” sugeruje, by przez
Dobrze jest nauczyć się na pamięć, na jakie ułamki można zamienić pewne określone wartości podane w procentach, a także jakie odpowiedniki dziesiętne mają wybrane ułamki zwykłe. Poza tym trzeba wiedzieć, że wyrażenia typu „75% wieku
Równanie zawierające ułamki można przemnożyć obustronnie przez mianownik nawet jeszcze przed redukcją wyrazów podobnych zawierających ułamki. To bowiem pozwoli uniknąć dodawania ułamków, które może być powodem błędów. Części mnożeń przez liczby całkowite można nie wykonywać, jeśli podejrzewamy, że w dalszym rozwiązaniu będziemy mogli te mnożenia uprościć. Zamiast dzielić od razu przez dużą liczbę, możemy wykonać kilka dzieleń przez mniejsze liczby. Takie rozwiązanie zajmuje więcej miejsca, ale może także uchronić nas przed błędami rachunkowymi, zwłaszcza, gdy nie używamy kalkulatora.
Jeśli dzielimy obie strony równania przez jakąś liczbę, to pamiętajmy, by podzielić przez nią każdy wyraz równania. Wyrazy to fragmenty, które do siebie dodajemy. Jeśli mnożymy dwie liczby przez siebie, tworzą one jeden wyraz. Innymi słowy, jeśli dzielimy obie strony równania, to spośród elementów mnożonych przez siebie wybieramy tylko jeden, i to ten właśnie element dzielimy, podczas gdy inne pozostawiamy bez zmian. Ilustruje to jeden z fragmentów poniższego rozwiązania.
Analiza zadania:
wiek Andrzeja:
wiek Grzegorza:
łączny wiek Andrzeja i Grzegorza:
wiek Krzysztofa:
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯¯
wiek Grzegorza:
wiek Krzysztofa:
Odp.: Andrzej ma 12 lat, Grzegorz 9, a Krzysztof 15.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
14. Robert i Dorota mają razem 50 lat. Kilka lat temu Robert był dwa razy starszy od Doroty. Gdy upłynie znów tyle samo lat, będzie już tylko starszy o jedną trzecią. Ile lat ma Robert, a ile Dorota?
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Zadanie trudno byłoby nam rozwiązać przy pomocy tylko jednej niewiadomej. Możemy ułożyć układ równań z 2 lub 3 niewiadomymi. Wybierzemy tę pierwszą możliwość, co ułatwi obliczenia, ale utrudni nieco analizę treści.
W zadaniu mamy opisane trzy sytuacje: teraźniejszą, przeszłą i przyszłą. Przeszła i przyszła są oddalone o tę samą liczbę lat od teraźniejszej. Niech
Wiek Roberta jest uzależniony od wieku Doroty, nie odwrotnie, zatem to wiek Doroty oznaczymy
Wyrażenie „dwa razy starszy od
Trzeba sobie dobrze zapamiętać ten matematyczny haczyk, bo często pojawia się nie tylko w zadaniach, ale i w życiu codziennym. Jeśli w sklepie A sukienka kosztuje 120 zł, a w sklepie B jest droższa o 1/3, to przecież jej cena w sklepie B nie wynosi
Jeśli komuś wygodniej, może przedstawić analizę treści w tabelce jak poniżej. Nie jest to oczywiście niezbędne. Równie dobrze można poszczególne wyrażenia objaśnić, wypisując je jedno pod drugim.
W czasie podstawiania nie zapomnijmy o nawiasach i o sprawdzeniu znaków wyrażeń przy ich usuwaniu!
Analiza treści:
obecnie | za |
||
---|---|---|---|
wiek Doroty | |||
wiek Roberta |
starszy o
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯
[Uwaga: obliczenie
obecny wiek Doroty:
obecny wiek Roberta:
Odp.: Robert ma 30 lat, a Dorota 20 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
15. Gdyby Julka była 3 razy starsza, a Maciek o 2 lata młodszy, to suma ich wieku wynosiłaby 70 lat. Gdyby to Maciek był 3 razy starszy, a Julka o 2 lata młodsza, to suma ich wieku byłaby o 8 lat większa niż w poprzednim przypadku. Ile lat ma Maciek, a ile Julka?
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
To ciekawe zadanie wydaje się trudne, bo nie ma w nim żadnych informacji o rzeczywistym wieku Maćka i Julki, a mamy ten wiek w jakiś sposób znaleźć. Trudne byłoby też rozwiązanie bez wprowadzenia dwóch niewiadomych. Zebranie wyników analizy zadania najlepiej dokonać w postaci tabelki, by potem na jej podstawie ułożyć układ równań. Wprowadzimy nietypowe oznaczenia niewiadomych; nie jest to zabronione.
Analiza zadania:
rzeczywisty wiek Maćka:
rzeczywisty wiek Julki:
1. sytuacja hipotetyczna | 2. sytuacja hipotetyczna | |
---|---|---|
wiek Maćka | ||
wiek Julki | ||
suma wieku |
Rozwiązanie:
Odp.: Maciek ma 21 lat, a Julka 17 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
16. Agata i jej mama mają łącznie 52 lata. 6 lat temu wiek Agaty stanowił 25% wieku jej mamy. Jakim procentem wieku mamy będzie wiek Agaty za dwa lata?
[Źródło: J. Janowicz, Matematyka na czasie! 2. Zbiór zadań, Nowa Era, str. 91, zad. 16]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Analiza zadania:
obecnie | 6 lat temu | za 2 lata | |
---|---|---|---|
wiek mamy | |||
wiek Agaty |
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯
wiek mamy za 2 lata:
wiek Agaty za 2 lata:
obliczenie procentu:
Odp. Za dwa lata wiek Agaty będzie stanowił 40% wieku mamy.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
17. Dwie siostry mają razem 27 lat. Różnica wieku między nimi stanowi 20% wieku starszej siostry. Ile lat ma każda siostra?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Analiza zadania:
obecnie | |
---|---|
wiek starszej siostry | |
wiek młodszej siostry |
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯
wiek młodszej siostry:
Odp.: Młodsza siostra ma 12 lat, a starsza 15.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
18. Tata i syn mają razem 36 lat. Za 7 lat tata będzie 4 razy starszy od syna. Ile lat mają obecnie?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Sposób 1 (układ równań rozwiązany metodą dodawania stronami)
Analiza treści:
wiek taty:
wiek syna:
wiek taty za 7 lat:
wiek syna za 7 lat:
Rozwiązanie:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.
Sposób 2 (równanie z jedną niewiadomą)
obecnie | za 7 lat | |
---|---|---|
tata | ||
syn |
¯¯¯¯¯
wiek taty:
Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
19. Rodzeństwo Jacek, Wacek i Agatka mają razem 30 lat. Jacek jest o 8 lat starszy od Wacka, a wiek Agatki jest średnią arytmetyczną wieku braci. Oblicz, ile lat ma każde z nich.
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Zadanie rozwiążemy metodą układu równań, przyporządkowując wiekowi każdej z osób jedną niewiadomą. Będziemy więc potrzebować 3 równań. Średnia arytmetyczna dwóch wartości to ich suma podzielona przez 2, podobnie średnia arytmetyczna z większej ilości wartości to ich suma podzielona przez ilość.
Analiza zadania:
wiek Jacka:
wiek Wacka:
wiek Agatki:
Rozwiązanie:
Odp.: Jacek ma 14 lat, Wacek 6 lat, Agatka 10 lat.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
20. Jacek i Wacek mają razem 32 lata. Za ile lat będą mieli razem 40 lat?
[Źródło nieznane]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
Zadanie jest banalne, a mimo to wydaje się nietypowe. Wystarczy jednak zauważyć, że każdej z wymienionych osób przybędzie tyle samo lat. Całkowity przyrost ilości lat trzeba więc podzielić przez liczbę osób.
Odp.: Jacek i Wacek będą razem mieli 40 lat po czterech latach.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
21. Dziadek i babcia mają razem 147 lat. Dziadek ma dwa razy tyle lat, ile babcia miała wtedy, kiedy on miał tyle, ile babcia ma teraz. Ile lat ma dziadek, a ile babcia?
[Źródło: Zinaida Krawcewicz, Zadania dla uczniów uzdolnionych matematycznie]
Uwaga: jeśli poniższe rozwiązanie wzbudza wątpliwości, trzeba wrócić do analizy rozwiązań zadań poprzednich.
obecnie | kiedyś | |
---|---|---|
babcia | ||
dziadek |
Różnica wieku dziadka i babci nie zmieniła się, więc
Odp.: Babcia ma 63 lata, dziadek 84 lata.
Ukryj rozwiązaniePokaż rozwiązanie
Grzegorz Jagodziński