Zadania związane z wiekiem nie mają najczęściej wyodrębnionych danych i szukanych, a przynajmniej dane nie są liczbami. Zamiast wypisywać dane i szukane, dokonujemy analizy treści i wprowadzamy oznaczenia występujących w zadaniu wielkości. Musimy po pierwsze właściwie dobrać znaczenie niewiadomych. Najlepiej napisać w swoim rozwiązaniu jasno i przejrzyście, co oznacza `x`. Naturalnie jeśli stosujemy dalsze niewiadome, powinniśmy je także dokładnie opisać. Niewiadomą może być wartość, o której mowa w pytaniu, choć są zadania, w których takie oznaczenie nie jest dobre lub wręcz jest nieprzydatne. Za niewiadomą możemy też przyjąć wartość, od której zależą inne wartości. Np. jeśli Marcin ma o 2 lata więcej od Jarka, to naszym `x` będzie wiek Jarka, nie wiek Marcina.

Po drugie, powinniśmy opisać wiek każdej innej osoby występującej w zadaniu, o ile to jest możliwe i potrzebne. Często wiek danej osoby podany jest w treści zadania w postaci związku z wiekiem innej osoby. W podanym przykładzie napiszemy, że `x + 2` oznacza wiek Marcina.

Po trzecie, w opisie używamy poprawnych określeń, np. „`x` – obecny wiek Janka”. Nie wolno pisać skrótami lub niepoprawnie, jak np. „`x` – Janek”, bo taki zapis nic nam przecież nie mówi. Przecież `x` to nie żaden Janek, ale liczba jego lat, poza tym z takiego zapisu zupełnie nie wiadomo, jakiego momentu dotyczy ów wiek.

Dobrze jest narysować sobie (choćby na brudno) tabelkę, w której wierszach wyszczególnimy wszystkie podane w zadaniu osoby, a w kolumnach wszystkie podane sytuacje (np. stan teraźniejszy i przeszły). Jeżeli zdecydujemy się na taki krok i wprowadzimy tabelkę do rozwiązania, pamiętajmy, żeby nie wpisywać do niej niczego, co dopiero obliczymy niżej. W rozwiązaniu nie można bowiem cofać się i uzupełniać tego, co zostawiliśmy puste. Wszelkie pomocnicze obliczenia robimy zatem nad tabelką, wpisujemy do niej tylko to, co znamy, czyli to, co odczytaliśmy z treści zadania i to, co już ustaliliśmy (także w postaci wielkości niewiadomych).

W zadaniach tego typu musimy myśleć algebraicznie. Umówmy się, że znany nie oznacza tego samego, co wiadomy. Jeśli o wieku danej osoby w konkretnej chwili nic nie wiemy i nie potrafimy go powiązać z wiekiem innych osób, to traktujemy go jako nieznany i zostawiamy odpowiednią komórkę tabelki pustą. Jeśli jednak ustaliliśmy na przykład, że wiek pewnej osoby wynosi obecnie `2x` (bo jest dwa razy większy od wieku pewnej innej osoby, który oznaczyliśmy `x`), to pamiętajmy, że choć nie potrafimy tego wieku wyrazić arytmetycznie (w postaci liczby), to umiemy go zapisać algebraicznie (symbolicznie), a to już oznacza, że mamy pewną wiedzę na jego temat. Jest to dla nas wiek znany, choć niewiadomy (język polski pozwala nam na szczęście na takie rozróżnienie). Tabelka zaś służy do tego, by zebrać to, co znamy, nawet, jeśli nie wiemy, jaka liczba się kryje pod symbolem czy wyrażeniem.

Po wykonaniu tabelki (a przynajmniej po poprawnym opisaniu wszystkich danych) próbujemy ułożyć równanie (lub równania). Pamiętajmy, że liczba równań powinna być równa liczbie niewiadomych lub od niej większa.

Czasami równanie odzwierciedla to, co zawarte zostało w treści zadania. W innych wypadkach kluczem do poprawnego ułożenia równania (lub równań) bywa spostrzeżenie, że jeśli jakaś osoba postarzała się o pewną ilość lat, to i inne osoby musiały postarzeć się o tyle samo lat. Na przykład jeśli Ania ma obecnie `x` lat, a Gosia `x + 1` lat, to pięć lat temu Ania miała `x - 5` lat, a Gosia `x - 4` lat. Odpowiednie wyrażenia możemy wypisać i uprościć (w tym przykładzie, analizując wiek Gosi: `x + 1 - 5 = x - 4`) przed narysowaniem tabelki. Samo równanie potrzebne do rozwiązania zadania często wygodnie jest napisać, porównując dwa wiersze tabelki.

Czasem wygodniej jest zauważyć, że różnica ilości lat dwóch osób pozostaje zawsze stała. Wszyscy bowiem starzejemy się o tę samą liczbę lat. Nie zawsze wiemy, ile to lat, ale często umiemy tę wielkość zapisać algebraicznie. Jeśli jakiejś osobie przybyło np. `x - y` lat, to i innej osobie przybyło także `x - y` lat. Można to często wykorzystać do ułożenia równania, które pozwoli nam rozwiązać zadanie. Równanie tego typu konstruujemy, analizując dwie kolumny tabelki.

Jeśli wypełnienie tabelki wymaga dodatkowych obliczeń, które trudno nam wykonać bez wstępnej analizy danych, zostawiamy w tabelce luki, i jeśli czujemy taką potrzebę, po przeprowadzeniu koniecznych obliczeń rysujemy tabelkę po raz drugi, umieszczając w niej nowo otrzymane wartości (obok tych, które już znaliśmy wcześniej).

Poniżej przeanalizujemy pewną ilość zadań związanych z omawianym zagadnieniem. Każdemu z nich towarzyszy rozwiązanie, zwykle w postaci obliczeń i szczegółowego komentarza. Analiza tych rozwiązań posłuży jako ilustracja powyższych wskazówek.

Istotne podpowiedzi do zadania podane zostały wyżej, we wskazówkach. Wiemy więc, wiek którego z chłopców należy oznaczyć przez `x` i wiemy, dlaczego. Pamiętajmy też, że „o dwa” znaczy w matematyce `+ 2`. Oznaczmy zatem `x` – wiek Jarka, `x + 2` – wiek Marcina, i wypiszmy to na początku naszego rozwiązania.

Tabelka w naszym zadaniu nie jest potrzebna, a do ułożenia równania wystarczy informacja zawarta w pierwszym zdaniu tekstu. Mając oznaczony wiek każdego z chłopców, łatwo napiszemy, że suma ich wieku to 26 lat: `x + (x + 2) = 26`. Nawias nie jest niezbędny, służy on tylko do tego, by lepiej wyodrębnić wiek Marcina.

Dalsze rozwiązanie jest już elementarne: `x + x + 2 = 26`, redukujemy wyrazy podobne: `2x + 2 = 26`, rozdzielamy niewiadome od wiadomych: `2x = 26 - 2`, znów redukujemy wyrazy podobne: `2x = 24`, dzielimy obie strony przez współczynnik liczbowy przy niewiadomej, czyli przez 2 (co możemy, lecz nie musimy zapisać `2x = 24 |:2`), skąd otrzymujemy: `x = 12`. Obliczyliśmy wiek Jarka, nie zapomnijmy jeszcze obliczyć wiek Marcina: `x + 2 = 12 + 2 = 14`.

Odpowiedź: Jarek ma 12 lat, a Marcin 14 lat.

Zadanie jest bardzo proste i przeznaczone do rozwiązania w pamięci. Wykonując go pisemnie, wystarczy oznaczyć `x` – wiek dziadka, a następnie ułożyć równanie: `14 = 1/6 x`. Zamieniamy strony miejscami (bez zmiany znaków): `1/6 x = 14`, a następnie mnożymy obie strony przez mianownik 6: `x = 84`.

Odpowiedź: Dziadek ma 84 lata.

Zadanie jest nieco trudniejsze od poprzednich, jednak stosunkowo łatwo można je rozwiązać bez pomocy tabelki.

Zaczniemy od ustalenia, co oznaczymy literą `x`. Najprościej przeanalizować w tym celu pytanie postawione w zadaniu. Zapisujemy: `x` – ilość lat, po upływie których ojciec będzie 5 razy starszy od syna.

Teraz ustalmy wiek ojca i syna po upływie tych `x` lat. Jest to konieczne, by zapisać warunek zawarty w pytaniu. Wystarczy dodać liczbę lat do obecnego wieku obu osób. Zapisujemy:

`36 + x` – wiek ojca za `x` lat,

`4 + x` – wiek syna za `x` lat.

Skoro wiek ojca ma być 5 razy większy od wieku syna, musi być spełniony warunek: `36 + x = 5 (4 + x)`. Zapisujemy utworzone równanie i rozwiązujemy je według typowego schematu.

Likwidujemy nawias, mnożąc jednomian przez sumę algebraiczną: `36 + x = 20 + 5x`.

Rozdzielamy niewiadome i wiadome: `x - 5x = 20 - 36`.

Redukujemy wyrazy podobne: `-4x = -16`.

Dzielimy obie strony przez współczynnik przy niewiadomej, czyli przez `-4`: `x = 4`.

Odpowiedź: Ojciec będzie 5 razy starszy od syna za 4 lata.

Zadanie wydaje się podobne do poprzedniego, zawiera jednak haczyk.

Postępując jak w zadaniu poprzednim, zapisujemy wyniki analizy zadania: `x` – ilość lat, po upływie których ojciec będzie 5 razy starszy od syna, `36 + x` – wiek ojca za `x` lat, `8 + x` – wiek syna za `x` lat.

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie: `36 + x = 5(8 + x)`, `36 + x = 40 + 5x`, `x - 5x = 40 - 36`, `-4x = 4 | :(-4)`, `x = -1`.

Otrzymaliśmy wynik ujemny. Czy wynika z niego, że zadanie nie ma rozwiązania? Nie! Ujemny wynik oznacza, że interesująca nas chwila już się zdarzyła. Piszemy zatem odpowiedź, której poprawne sformułowanie jest właśnie wspomnianym haczykiem.

Odpowiedź: Ojciec był 5 razy starszy od syna rok temu.

Niech `x` oznacza obecny wiek Agaty. Obecnie oboje mają razem 105 lat, z czego wynika, że Teofil ma `105 - x` lat.

W zadaniu mowa też o czasie, gdy Teofil miał tyle lat, co teraz Agata, czyli `x`. Wiek Agaty w tamtym czasie możemy oznaczyć przez `y`. Przedstawimy teraz znane wielkości w tabelce:

Wykorzystajmy informację podaną w zadaniu, że różnica wieku rodzeństwa równa jest liczbie lat Agaty jakiś czas temu. Daje nam to równanie `y = 105 - x - x`.

Mamy dwie niewiadome, potrzebujemy zatem dwóch równań. Drugie równanie ułożymy, wiedząc, że obojgu rodzeństwa przybyło tyle samo lat: `105 - x - x = x - y`.

Podstawmy wyrażenie z prawej strony pierwszego równania do drugiego równania (za `y`), pamiętając o konieczności użycia nawiasów: `105 - x - x = x - (105 - x - x)`.

Przeprowadźmy teraz redukcję wyrazów podobnych: `105 - 2x = x - (105 - 2x)` i pozbądźmy się nawiasów, pamiętając o znakach: `105 - 2x = x - 105 + 2x`.

Przerzućmy niewiadome na lewą stronę, a wiadome na prawą: `-2x - x - 2x = -105 - 105` i zredukujmy wyrazy podobne: `-5x = -210`.

Po podzieleniu obu stron przez `-5` otrzymujemy: `x = 42`, czyli obecny wiek Agaty (patrz tabela).

Musimy jeszcze obliczyć obecny wiek Teofila: `105 - x = 105 - 42 = 63`.

Odpowiedź: Agata ma obecnie 42 lata, a Teofil 63 lata.

Uwaga: zadanie można rozwiązać, nie używając w ogóle niewiadomej `y`. Wystarczy wpisać do tabeli `105 - x - x` jako wiek Agaty jakiś czas temu i zacząć od równania `105 - x - x = x - (105 - x - x)`.

Zadanie wydaje się niezmiernie zawikłane, ale w rzeczywistości nie jest wcale trudne.

Niech `x` oznacza szukaną wartość, czyli obecny wiek Piotrka. Z zadania wynika, że interesuje nas także moment, kiedy to Paweł miał `x` lat (tyle, ile Piotrek teraz). Możemy to przedstawić w tabelce:

Wiek Piotrka jakiś czas temu możemy oznaczyć przez `y`, jak w tabeli. Warunek podany w zadaniu przyjmie wówczas postać `12 = 2y`.

Możemy warunek ten teraz rozwiązać, dostając `y = 6`. Możemy też nie używać w ogóle zmiennej `y` i od razu wpisać `6` do tabeli zamiast `y`.

Pamiętając, że różnica liczby lat obu chłopców nigdy się nie zmieni, układamy równanie, posiłkując się danymi z tabeli: `12 - x = x - 6`.

Proste przeniesienie wiadomych i niewiadomych, redukcja wyrazów podobnych i podzielenie obu stron przez 2 doprowadzą nas do wyniku: `x = 9`.

Odpowiedź: Piotrek ma obecnie 9 lat.

Zadanie jest zawikłane i bardzo trudne, a wynika to między innymi z faktu, że nie występuje w nim żadna liczba. Co więcej, okaże się, że także żadnej liczby nie otrzymamy w wyniku.

W zadaniu występują trzy osoby i aż trzy stany: teraźniejszy, stan przeszły pierwszy („kiedy Wacek miał tyle lat, ile teraz Jacek”) oraz stan przeszły drugi, który jest treścią pytania.

Niech `x` oznacza obecny wiek Jacka, a `y` obecny wiek Wacka. Do tabelki wpiszemy tylko dane wynikające bezpośrednio z analizy treści zadania:

Wydawać by się mogło, że te dane nie pozwolą nam na ułożenie choćby jednego równania. Tak jednak nie jest, zauważmy bowiem, że pierwszy wiersz tabeli zawiera dwie wartości. Możemy więc obliczyć i wyrazić w formie algebraicznej (czyli używając liter symbolizujących niewiadome), ile lat upłynęło do chwili obecnej od momentu, gdy wiek Placka był równy sumie obecnego wieku Wacka i Jacka. Było to mianowicie `y - x` lat.

Wiedząc, ile upłynęło czasu, możemy wypełnić brakujące miejsca w tabeli. I tak, obliczymy wiek Jacka w stanie przeszłym pierwszym: `x - (y - x) = x -y + x = 2x - y`.

Obliczymy też obecny wiek Placka, wprowadzając nawiasy dla większej czytelności: `(x + y) + (y - x) = x + y + y - x = 2y`.

Wpiszemy te wartości do tabelki:

Zajmijmy się teraz stanem, o którym mowa w pytaniu (gdy Placek miał tyle lat, ile teraz ma Wacek, czyli `y`). Patrząc na wiek Placka, bez trudu obliczymy, że od tamtej chwili do momentu obecnego upłynęło `2y - y = y` lat. A skoro tak, to Jacek miał wtedy `x - y` lat, natomiast Wacek… no właśnie, jego wiek wynosił wówczas `y - y` czyli 0 lat. Chodzi więc o rok, w którym Wacek się urodził.

Dla porządku możemy jeszcze wypełnić do końca tabelkę:

Uwaga: Z analizy pierwszego wiersza tabelki wynika, że `x < y`. Ale w takim razie wyrażenie `x - y` nie ma sensu fizycznego: gdy Placek miał `y` lat, a Wacek dopiero się narodził, Jacka nie było jeszcze na świecie. Co więcej, nie wiemy, czy sens fizyczny ma wyrażenie `2x - y`. W chwili określanej przez nas jako stan przeszły pierwszy Jacek mógł już być na świecie lub nie. Nie ma to jednak wpływu na rozwiązanie zadania.

Odpowiedź: Tyle lat, ile ma teraz Wacek, miał Placek w roku, w którym Wacek się urodził.

Wracamy do zadań łatwiejszych (co nie znaczy banalnych). Zadanie rozwiążemy na 3 sposoby.

Sposób 1

Oznaczmy `x` – różnica wieku Tomka i Ani (gdyż tak wskazuje pierwsze pytanie). To jednak nie wystarczy, by łatwo zapisać obecny wiek Ani i wiek Tomka. Ponieważ wiemy, że Tomek jest starszy od Ani o `x` lat, więc to wiek Ani będzie drugą niewiadomą `y` (opisujemy w rozwiązaniu: `y` – wiek Ani). Wiek Tomka zatem wynosi `x + y` (dlaczego tyle?). Kolejność liter w takich zapisach powinna być, jeśli to możliwe i sensowne, alfabetyczna, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by zapisać wiek Tomka jako `y + x`. Dwa lata temu każde z nich było oczywiście młodsze o 2 lata, zatem wiek Ani wynosił `y - 2`, a wiek Tomka `x + y - 2`.

Wszystkie te informacje wypisujemy w rozwiązaniu (jest to tzw. analiza treści zadania, która zastępuje tradycyjne dane i szukane). Oczywiście możemy także (choć nie musimy) zebrać wyniki analizy w tabelce:

Mamy dwie niewiadome, musimy więc ułożyć dwa równania. W tym celu wykorzystamy dwie informacje z zadania:

• Ania i Tomek mają razem 14 lat, zatem `y + x + y = 14`,
• dwa lata temu Tomek był 4 razy starszy od Ani, zatem `x + y - 2 = 4(y - 2)`.

Warto zauważyć, że gdy w zadaniu mowa „Tomek był (starszy)”, to w istocie rozumiemy to jako „wiek Tomka był (większy)”. Skoro wiek Tomka (dwa lata temu) to `x + y - 2` (z tabelki), to takie właśnie wyrażenie zaczyna drugie równanie. Odpowiednikiem słowa „był” jest znak równości. Wreszcie po prawej stronie zamiast pisać słownie „cztery razy większy od wieku Ani”, piszemy po prostu `4(y - 2)`, co oznacza przecież dokładnie to samo. Jak widać, układając równania, przekładamy zdania języka mówionego na język matematyki. Jeśli wykonaliśmy starannie analizę treści zadania, takie skonstruowanie równania naprawdę nie powinno być trudne.

Otrzymaliśmy układ równań, rozwiążemy go dowolną metodą, np. tak:

Podano tu rozwiązanie ze szczegółowymi komentarzami, które warto zoptymalizować. Można np. nie przepisywać drugiego równania po wyliczeniu `x` (trzeba jednak koniecznie napisać na końcu wartości obu niewiadomych), można dokonywać niektórych operacji w głowie, można wreszcie zastosować całkiem inną metodę.

Pamiętajmy jednak, że w wyniku obliczeń otrzymaliśmy wiek Ani, który wynosi obecnie 4 lata, oraz różnicę wieku Tomka i Ani, która wynosi 6 lat.

Obliczmy jeszcze wiek Tomka: `x + y = 6 + 4 = 10`. Czy Tomek jest dwukrotnie starszy od Ani? Gdyby tak było, Ania byłaby od niego dwa razy młodsza. Oczywiście nie jest, bo `2 * 4 = 8 != 10` (takiego zapisu możemy użyć w rozwiązaniu). Możemy też policzyć wprost, ile to jest „być dwa razy młodszym od Tomka”: `10 : 2 = 5 != 4`.

Odpowiedź: Tomek jest starszy od Ani o 6 lat. Nie jest prawdą, że Ania jest dwa razy młodsza od Tomka.

Sposób 2

Nie patrzmy na pytania i (np. kierując się matematyczną intuicją) oznaczmy wiek Tomka przez `x`, a wiek Ani przez `14 - x` (dlaczego tak?). Dwa lata temu wiek Tomka był o dwa lata mniejszy i wynosił `x - 2`. Ania miała wtedy `14 - x - 2` lata. Tomek był 4 razy starszy, co zapisujemy słownie „wiek Tomka dwa lata temu to 4 razy wiek Ani dwa lata temu”, czyli algebraicznie `x - 2 = 4(14 - x - 2)`. Tego typu słowne zapisy sformułowane w charakterystyczny sposób ułatwiający ułożenie równania można umieszczać tuż nad nim.

Wystarczy teraz rozwiązać to równanie, otrzymując kolejno `x - 2 = 4(12 - x)` (warto zredukować wyrazy podobne w nawiasie), `x - 2 = 48 - 4x`, `5x = 50` (dlaczego tak?), `x = 10`. Obecny wiek Tomka to 10 lat, a wiek Ani to `14 - x = 14 - 10 = 4`, czyli 4 lata. Różnica wynosi `10 - 4 = 6` czyli 6 lat, a Ania nie jest dwa razy młodsza, co obliczamy: `10 : 2 = 5 != 4`. Nie zapomnijmy o napisaniu odpowiedzi!

Okazało się, że dzięki nadaniu innego znaczenia niewiadomej `x` zadanie udało się rozwiązać bez korzystania z układu równań. A przede wszystkim rozwiązanie okazało się znacznie krótsze.

Sposób 3

Zacznijmy od zauważenia, że jeśli obecnie suma wieku Tomka i Ani wynosi 14, to dwa lata temu wynosiła 10. Dlaczego tak? Otóż Tomek miał o dwa lata mniej, i Ania miała o dwa lata mniej niż ma obecnie. Formalne obliczenie powinno być zapisane na przykład tak: suma wieku Tomka i Ani dwa lata temu wynosiła `14 - 2 - 2 = 10`.

Jeśli przyjmiemy, że Ania miała dwa lata temu `x` lat, to Tomek miał `4x` (był 4 razy starszy), a sumę ich ówczesnego wieku można zapisać jako `x + 4x = 10`, skąd `5x = 10` i `x = 2`. Ania miała wtedy 2 lata, a Tomek 8 lat (co trzeba jakoś zapisać, np. `4x = 4*2 = 8`).

Obecnie Ania ma `2 + 2 = 4` lata, a Tomek `8 + 2 = 10` lat. Można sprawdzić, że faktycznie, suma ich wieku wynosi 14 (piszemy wówczas `4 + 10 = 14`), co nie jest konieczne. Różnica ich wieku to `10 - 4 = 6` lat. Pozostaje jeszcze dowieść prostym zapisem, że podwojony wiek Ani nie równa się wiekowi Tomka i koniecznie zapisać słowną odpowiedź (patrz poprzednie sposoby).

Warto zapamiętać pomysł z obliczeniem sumy wieku dwa lata temu. Podobny wybieg można z powodzeniem stosować i w innych zadaniach. Czasem potrafi ogromnie uprościć obliczenia.

Tym razem podamy tylko zapis rozwiązania bez komentarzy. Jeśli nie jest on jasny, trzeba przestudiować rozwiązania poprzednich zadań. Warto też zerknąć na stronę, z której zaczerpnięto zadanie; znajdują się tam dwa inne rozwiązania.

Ilość lat, która upłynęła, odkąd Ula była dwa razy starsza od Kajtka: `x`

Obecny wiek Kajtka: `y`

Obecny wiek Uli: `22 - y`

Wiek Kajtka 5 lat temu: `y - 5`

Wiek Uli 5 lat temu: `22 - y - 5`

Obecny wiek Kajtka: 8 lat

Obecny wiek Uli: `22 - 8 = 14` lat

Wiek Kajtka przed `x` laty: `8 - x`

Wiek Uli przed `x` laty: `14 - x`

Odpowiedź: Ula była dwa razy starsza od Kajtka 2 lata temu.

wiek ojca: `x`

rzeczywisty wiek syna: `50 - x`

hipotetyczny wiek syna: `50 - x + 10`

wiek ojca to 2 razy hipotetyczny wiek syna

`x = 2(50 - x + 10)`

`x = 2(60 - x)`

`x = 120 - 2x`

`3x = 120 |:3`

`x = 40`
¯¯¯¯¯¯

`50 - x = 10`

Odp.: Ojciec ma 40 lat, a syn 10.

Uwaga: hipotetyczna sytuacja, w której syn byłby o 10 lat starszy, nie odnosi się do przyszłości, ale do chwili obecnej, dlatego wiek ojca to wciąż `x`, mimo że wiek syna jest większy o 10 od rzeczywistego.

wiek Ewy: `x`

wiek Ali: `2x`

wiek Oli: `x - 4`

`x + 2x + x - 4 = 44`

`4x - 4 = 44 |+4`

`4x = 48 |:4`

`x = 12`
¯¯¯¯¯¯
`2x = 24`

`x - 4 = 8`

Odp.: Ala ma 24 lata, a Ola 8 lat.

Sposób 1

W rozwiązaniu użyjemy układu trzech równań z trzema niewiadomymi. Po ułożeniu równań wybieramy jedną z niewiadomych, np. `z`, wyliczamy ją z jednego z równań, czyli przekształcamy go tak, by `z` znajdowało się po lewej stronie przed znakiem równości, i – uwaga! – podstawiamy we wszystkich miejscach w pozostałych równaniach. Pamiętajmy o używaniu nawiasów, jeśli są potrzebne. Równanie z wyliczoną zmienną `z` zaznaczamy gwiazdką (*) i pomijamy w dalszych obliczeniach.

W ten sposób w układzie pozostają tylko dwa równania z dwiema niewiadomymi. W analogiczny sposób rugujemy np. niewiadomą `y`. I dopiero gdy wyliczymy ostatnią niewiadomą, przywracamy do układu równanie oznaczone gwiazdką. W ostatnim zapisie układu muszą znaleźć się wyliczone wszystkie niewiadome. Jest to warunek niezbędny, by uznać rozwiązanie układu równań za poprawne.

Dane:

wiek Kamila: `x`

wiek Oli: `y`

wiek Bartka: `z`

Szukane:

`x + y + z = ?`, `x = ?`, `y = ?`, `z = ?`

Rozwiązanie:

`{(x + y = 18),(z + y = 20),(x + z = 16):}`

`{(x + y = 18),(z = 20 - y **),(x + z = 16):}`

`{(x + y = 18),(x + 20 - y = 16):}`

`{(y = 18 - x **),(x - y = 16 - 20):}`

`x - (18 - x) = -4`

`x - 18 + x = -4`

`2x = -4 + 18`

`2x = 14`

`{(x = 7),(y = 18 - x):}`

`{(x = 7),(y = 18 - 7):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 20 - y):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 20 - 11):}`

`{(x = 7),(y = 11),(z = 9):}`

`x + y + z = 7 + 11 + 9 = 27`

Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.

Sposób 2

Użyjemy tylko jednej niewiadomej i jednego równania. Popatrzmy na dwa pierwsze stwierdzenia w zadaniu – powtarza się w nich wiek Oli. Przyjmijmy go więc za niewiadomą `x`. Potem wyznaczamy kolejno wyrażenia opisujące wiek Kamila i Bartka ze stwierdzeń pierwszego i drugiego. Stwierdzenie trzecie wykorzystamy natomiast do napisania równania.

Analiza zadania:

wiek Oli: `x`

wiek Kamila: `18 - x`

wiek Bartka: `20 - x`

Rozwiązanie:

`(18 - x) + (20 - x) = 16`

`18 - x + 20 - x = 16`

`-2x + 38 = 16`

`-2x = 16 - 38`

`-2x = - 22 |:(-2)`

`x = 11`
¯¯¯¯¯¯¯

wiek Kamila: `18 - x = 18 - 11 = 7`

wiek Bartka: `20 - x = 20 - 11 = 9`

suma wieku dzieci: `11 + 7 + 9 = 27`

Odp.: Dzieci mają razem 27 lat. Kamil ma 7 lat, Ola 11 lat, a Bartek 9 lat.

Przedstawimy rozwiązanie przy użyciu jednej niewiadomej. Jest to metoda wygodna, pod warunkiem zrobienia dobrej i szczegółowej analizy zadania. Informacja „wiek Grzegorza stanowi 75% wieku Andrzeja” sugeruje, by przez `x` oznaczyć wiek Andrzeja, który jest tu niezależny. Pamiętajmy, że 75% to inaczej 0,75, a to z kolei możemy łatwo zamienić na ułamek zwykły. Ułamki zwykłe są zwykle wygodniejsze w obliczeniach niż dziesiętne, a już na pewno wygodniejsze niż procenty. Jest tak choćby dlatego, że procentów nie wolno mnożyć przez siebie.

Dobrze jest nauczyć się na pamięć, na jakie ułamki można zamienić pewne określone wartości podane w procentach, a także jakie odpowiedniki dziesiętne mają wybrane ułamki zwykłe. Poza tym trzeba wiedzieć, że wyrażenia typu „75% wieku `x`” wyrażają mnożenie `75% * x`.

Równanie zawierające ułamki można przemnożyć obustronnie przez mianownik nawet jeszcze przed redukcją wyrazów podobnych zawierających ułamki. To bowiem pozwoli uniknąć dodawania ułamków, które może być powodem błędów. Części mnożeń przez liczby całkowite można nie wykonywać, jeśli podejrzewamy, że w dalszym rozwiązaniu będziemy mogli te mnożenia uprościć. Zamiast dzielić od razu przez dużą liczbę, możemy wykonać kilka dzieleń przez mniejsze liczby. Takie rozwiązanie zajmuje więcej miejsca, ale może także uchronić nas przed błędami rachunkowymi, zwłaszcza, gdy nie używamy kalkulatora.

Jeśli dzielimy obie strony równania przez jakąś liczbę, to pamiętajmy, by podzielić przez nią każdy wyraz równania. Wyrazy to fragmenty, które do siebie dodajemy. Jeśli mnożymy dwie liczby przez siebie, tworzą one jeden wyraz. Innymi słowy, jeśli dzielimy obie strony równania, to spośród elementów mnożonych przez siebie wybieramy tylko jeden, i to ten właśnie element dzielimy, podczas gdy inne pozostawiamy bez zmian. Ilustruje to jeden z fragmentów poniższego rozwiązania.

Analiza zadania:

wiek Andrzeja: `x`

wiek Grzegorza: `75% * x = 0,75x = 3/4 x`

łączny wiek Andrzeja i Grzegorza: `x + 3/4 x = 7/4 x`

wiek Krzysztofa: `7/4 x - 6`

Rozwiązanie:

`x + 3/4 x + (7/4 x - 6) = 36`

`x + 3/4 x + 7/4 x - 6 = 36`

`x + 3/4 x + 7/4 x - 6 = 36 |+6`

`x + 3/4 x + 7/4 x = 36 + 6`

`x + 3/4 x + 7/4 x = 42 |*4`

`4x + 3x + 7x = 42*4`

`14x = 42*4 |:2`

`7x = 21*4 |:7`

`x = 3*4`

`x = 12`
¯¯¯¯¯¯¯

wiek Grzegorza: `3/4 x = 3/4 * 12 = 3 * 3 = 9`

wiek Krzysztofa: `7/4 x - 6 = 7/4 * 12 - 6 = 7*3 - 6 = 21 - 6 = 15`

Odp.: Andrzej ma 12 lat, Grzegorz 9, a Krzysztof 15.

Zadanie trudno byłoby nam rozwiązać przy pomocy tylko jednej niewiadomej. Możemy ułożyć układ równań z 2 lub 3 niewiadomymi. Wybierzemy tę pierwszą możliwość, co ułatwi obliczenia, ale utrudni nieco analizę treści.

W zadaniu mamy opisane trzy sytuacje: teraźniejszą, przeszłą i przyszłą. Przeszła i przyszła są oddalone o tę samą liczbę lat od teraźniejszej. Niech `w` oznacza tę liczbę lat – będzie to nasza pierwsza niewiadoma.

Wiek Roberta jest uzależniony od wieku Doroty, nie odwrotnie, zatem to wiek Doroty oznaczymy `x`.

Wyrażenie „dwa razy starszy od `x`” jest łatwe do zapisania w języku matematyki: `2x`. Trudniej jest zapisać „starszy o jedną trzecią od `x`”. Zapisanie `x + 1/3` byłoby błędem, bo ułamki i procenty zwykle odnoszą się do czegoś. W istocie bowiem „starszy o jedną trzecią od `x`” znaczy tyle, co „mający `x` lat plus jeszcze `1/3` z `x` lat”. Zatem poprawny zapis to `x + 1/3 x`. Bardzo korzystnie jest uprościć go od razu do postaci `4/3 x`.

Trzeba sobie dobrze zapamiętać ten matematyczny haczyk, bo często pojawia się nie tylko w zadaniach, ale i w życiu codziennym. Jeśli w sklepie A sukienka kosztuje 120 zł, a w sklepie B jest droższa o 1/3, to przecież jej cena w sklepie B nie wynosi `120 1/3` zł (cokolwiek miałoby to oznaczać), ale `120 + 1/3 * 120`, co daje `120 + 40`, czyli ostatecznie `160` zł. Prawda? Tak samo musimy rozumować i w naszym zadaniu!

Jeśli komuś wygodniej, może przedstawić analizę treści w tabelce jak poniżej. Nie jest to oczywiście niezbędne. Równie dobrze można poszczególne wyrażenia objaśnić, wypisując je jedno pod drugim.

W czasie podstawiania nie zapomnijmy o nawiasach i o sprawdzeniu znaków wyrażeń przy ich usuwaniu!

Analiza treści:

starszy o `1/3` oznacza: `a + 1/3 a = 4/3 a`

Rozwiązanie:

`{(50 - x - w = 2(x - w)),(50 - x + w = 4/3 (x + w) |*3):}`

`{(50 - x - w = 2x - 2w),(150 - 3x + 3w = 4x + 4w):}`

`{(- x - 2x - w + 2w = -50),(- 3x - 4x + 3w - 4w = - 150):}`

`{(- 3x + w = -50),(- 7x - w = - 150):}`

`{(w = 3x - 50 **),(- 7x - (3x - 50) = - 150):}`

`- 7x - 3x + 50 = - 150`

`- 7x - 3x = - 150 - 50`

`-10x = - 200 |:(-10)`

`x = 20`
¯¯¯¯¯¯

[Uwaga: obliczenie `w` nie jest konieczne, resztę rozwiązania układu równań można więc pominąć]

`{(x = 20),(w = 3x - 50):}`

`{(x = 20),(w = 60 - 50):}`

`{(x = 20),(w = 10):}`

obecny wiek Doroty: `x = 20`

obecny wiek Roberta: `50 - x = 50 - 20 = 30`

Odp.: Robert ma 30 lat, a Dorota 20 lat.

To ciekawe zadanie wydaje się trudne, bo nie ma w nim żadnych informacji o rzeczywistym wieku Maćka i Julki, a mamy ten wiek w jakiś sposób znaleźć. Trudne byłoby też rozwiązanie bez wprowadzenia dwóch niewiadomych. Zebranie wyników analizy zadania najlepiej dokonać w postaci tabelki, by potem na jej podstawie ułożyć układ równań. Wprowadzimy nietypowe oznaczenia niewiadomych; nie jest to zabronione.

Analiza zadania:

rzeczywisty wiek Maćka: `m`

rzeczywisty wiek Julki: `j`

Rozwiązanie:

`{(3j + m - 2 = 70),(3m + j - 2 = 70 + 8):}`

`{(3j + m = 70 + 2),(3m + j = 78 + 2):}`

`{(3j + m = 72),(3m + j = 80):}`

`{(m = 72 - 3j **),(3(72 - 3j) + j = 80):}`

`3*72 - 9j + j = 80`

`3*72 - 8j = 80 |:(-8)`

`-3*9 + j = -10 |:8`

`j = -10 + 3*9`

`j = -10 + 27`

`{(j = 17 **),(m = 72 - 3j):}`

`m = 72 - 3*17`

`m = 72 - 51`

`m = 21`

`{(j = 17),(m = 21):}`

Odp.: Maciek ma 21 lat, a Julka 17 lat.

Analiza zadania:

Rozwiązanie:

`46 - x = 25% * (x - 6)`

`46 - x = 1/4 * (x - 6) |*4`

`184 - 4x = x - 6 |-x`

`184 - 5x = -6 |-184`

`-5x = -190 |:(-5)`

`x = 38`
¯¯¯¯¯¯

wiek mamy za 2 lata: `x + 2 = 38 + 2 = 40`

wiek Agaty za 2 lata: `54 - x = 54 - 38 = 16`

obliczenie procentu: `16/40 = 4/10 = 40/100 = 40%`

Odp. Za dwa lata wiek Agaty będzie stanowił 40% wieku mamy.

Analiza zadania:

Rozwiązanie:

`x - (27 - x) = 20% * x`

`x - 27 + x = 1/5 x`

`2x - 27 = 1/5 x |*5`

`10x - 5 * 27 = x |+5*27 - x`

`9x = 5*27 |:9`

`x = 5*3`

`x = 15`
¯¯¯¯¯¯

wiek młodszej siostry: `27 - x = 27 - 15 = 12`

Odp.: Młodsza siostra ma 12 lat, a starsza 15.

Sposób 1 (układ równań rozwiązany metodą dodawania stronami)

Analiza treści:

wiek taty: `x`

wiek syna: `y`

wiek taty za 7 lat: `x + 7`

wiek syna za 7 lat: `y + 7`

Rozwiązanie:

`{(x + y = 36),(x + 7 = 4(y + 7)):}`

`{(x + y = 36),(x + 7 = 4y + 28):}`

`{(x + y = 36),(x - 4y = 21 |*(-1)):}`

`+ {(x + y = 36),(-x + 4y = -21):}`
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
`5y = 15`

`y = 3`

`{(x + y = 36),(y = 3):}`

`{(x + 3 = 36),(y = 3):}`

`{(x = 33),(y = 3):}`

Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.

Sposób 2 (równanie z jedną niewiadomą)

`43 - x = 4(x + 7)`

`43 - x = 4x + 28 |-4x - 43`

`-5x = -15 |:(-5)`

`x = 3`
¯¯¯¯¯

wiek taty: `36 - x = 36 - 3 = 33`

Odp.: Tata ma 33 lata, a syn 3 lata.

Zadanie rozwiążemy metodą układu równań, przyporządkowując wiekowi każdej z osób jedną niewiadomą. Będziemy więc potrzebować 3 równań. Średnia arytmetyczna dwóch wartości to ich suma podzielona przez 2, podobnie średnia arytmetyczna z większej ilości wartości to ich suma podzielona przez ilość.

Analiza zadania:

wiek Jacka: `x`

wiek Wacka: `y`

wiek Agatki: `z`

Rozwiązanie:

`{(x + y + z = 30),(x = y + 8 **),(z = (x + y)/2 |*2):}`

`{(y + 8 + y + z = 30),(2z = y + 8 + y):}`

`{(2y + 8 + z = 30),(2z = 2y + 8 |:2):}`

`{(2y + z = 30 - 8),(z = y + 4 **):}`

`2y + y + 4 = 22 |-4`

`3y = 18 |:3`

`{(y = 6),(z = y + 4):}`

`{(y = 6),(z = 6 + 4):}`

`{(x = y + 8),(y = 6),(z = 10):}`

`{(x = 6 + 8),(y = 6),(z = 10):}`

`{(x = 14),(y = 6),(z = 10):}`

Odp.: Jacek ma 14 lat, Wacek 6 lat, Agatka 10 lat.

Zadanie jest banalne, a mimo to wydaje się nietypowe. Wystarczy jednak zauważyć, że każdej z wymienionych osób przybędzie tyle samo lat. Całkowity przyrost ilości lat trzeba więc podzielić przez liczbę osób.

`40 - 32 = 8`, `8 : 2 = 4`

Odp.: Jacek i Wacek będą razem mieli 40 lat po czterech latach.

Różnica wieku dziadka i babci nie zmieniła się, więc `x - z = 147 - x - x`. Z treści zadania mamy natomiast: `147 - x = 2 z`. Obliczamy:

`{(x - z = 147 - x - x),(147 - x = 2z):}`
`{(3x - z = 147),(x + 2z = 147):}`
`{(6x - 2z = 294),(x + 2z = 147):}`
`7x = 441`
`x = 63`
`147 - x = 84`

Odp.: Babcia ma 63 lata, dziadek 84 lata.