Wersja z 2019-01-05

Grzegorz Jagodziński

Jak obliczyć pole pięciokąta foremnego?

Obliczenie pola kwadratu jest trywialne (`P = a^2`), proste jest także obliczenie pola trójkąta równobocznego (`P = (a^2 sqrt(3))/4`) i sześciokąta foremnego (który składa się z 6 trójkątów równobocznych, co po skróceniu daje `P = (3a^2 sqrt(3))/2`). Jak jednak obliczyć pole pięciokąta foremnego? Czy jest to możliwe bez korzystania z funkcji trygonometrycznych lub wziętych niewiadomo skąd, gotowych wzorów podanych w tablicach matematycznych?

Obliczenie długości przekątnej pięciokąta

Zacznijmy od wykreślenia w pięciokącie `ABCDE`, o danym boku `a`, dwóch przekątnych `AD` i `EC` przecinających się w punkcie `M`:

Regularny charakter figury pociąga za sobą równoległość boku `AB` i przekątnej `EC`, zatem czworokąt `ABCE` jest trapezem, w dodatku równoramiennym. Ale czworokąt `ABCD` również jest trapezem, zatem odcinki `AB` i `CM` są równoległe. Odcinki `BC` i `AM` także są równoległe, a każdy z nich ma długość `a`, czyli taką jak bok pięciokąta. Stąd wnioskujemy, że figura `ABCM` jest rombem. Jeśli obliczymy długość przekątnych `e` i `f` tego rombu (niebieskie linie na rysunku), będziemy mogli także obliczyć (w jednej z metod) jego pole jako połowy iloczynu przekątnych, ze wzoru `P = 1/2 e f`. Do obliczenia pola pięciokąta trzeba będzie jeszcze obliczyć pola trójkątów `AME`, `EMD` i `CMD`, przy czym trójkąty `AME` i `CMD` są przystające (czyli mają równe pola). Możemy też zacząć od trójkąta `EMD`. W każdym wypadku musimy najpierw obliczyć długość odcinka `EM`, którą oznaczyliśmy `b`. Taką samą długość ma odcinek `MD`, co wynika z symetrii pięciokąta.

Obliczenie długości `b`

Pierwszy sposób

Zauważmy, że przekątna rombu `AC` jest tej samej długości `e`, co `EC` (wszystkie przekątne pięciokąta foremnego są tej samej długości), a zatem wynosi `a + b`. Rozważmy teraz trójkąty `EMD` i `CMA`. Kąt przy wierzchołku `M` jest w obu trójkątach taki sam, bo kąty są wierzchołkowe. Każdy z trójkątów jest równoramienny (`EM = MD` oraz `CM = MA`), zatem także dwa pozostałe kąty są takie same w obu trójkątach. A skoro każdy z trójkątów ma 3 kąty o takich samych miarach, to znaczy, że trójkąty te są podobne.

Z podobieństwa trójkątów `EMD` i `CMA`, wynika, że stosunek podstawy do ramienia jest w każdym z nich taki sam: `(ED)/(DM) = (CA)/(AM)`. Przypominamy sobie, że `|AC| = e = a + b` (długości pozostałych odcinków oznaczone są na rysunku), zatem `a/b = (a+b)/a`. Zauważmy przy okazji, że mamy tu do czynienia z tzw. złotą proporcją: stosunek większej części (`a`) do mniejszej (`b`) jest taki sam, jak stosunek całości (`a + b`) do części większej (`a`).

Założyliśmy na wstępie, że długość boku pięciokąta `a` jest dana. Z podanej proporcji wyznaczymy więc `b`. Zaczynamy od wymnożenia wartości na krzyż: `(a + b)b = a^2`, skąd `b^2 + ab = a^2`. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, w którym niewiadoma `b` występuje w potędze 1 i w potędze 2. Wyliczenie jej wartości (faktycznie zależności od `a`) wymaga umiejętności rozwiązywania tego typu równań. Można oczywiście korzystać z metody z użyciem wyznacznika (`Delta`), jednak z podanym równaniem bez problemu poradzi sobie uczeń szkoły podstawowej, który jeszcze nie zetknął się z tą metodą.

Podnieśmy do kwadratu sumę dwóch liczb `x` i `y`: `(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2`. Wzór `(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2` znany jest jako jeden z wzorów skróconego mnożenia (w wersji szkolnej stosuje się w nim litery `a` i `b`, ale w naszym zadaniu musimy zmienić te oznaczenia, by nie doprowadzić do konfliktu). Użyjemy go tu do zamiany strony prawej na lewą: `x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2`.

Niech w równaniu `b^2 + ab = a^2` litera `b` oznacza `x`. Chcemy, by `ab` oznaczało `2xy`; wówczas `a` będzie oznaczało `2y`, zatem `y` to `a/2`. Wtedy `y^2` będzie równe `a^2/4`. Dodajmy taki składnik do obu stron równania: `b^2 + ab + a^2/4 = a^2 + a^2/4`. Skoro `x^2 + 2xy + y^2` można zastąpić wyrażeniem `(x + y)^2`, to `b^2 + ab + a^2/4` można analogicznie wyrazić jako `(b + a/2)^2`. Wyrażenia po prawej stronie możemy natomiast dodać: `a^2 + a^2/4 = 4/4 a^2 + 1/4 a^2 = 5/4 a^2`. Zbierzmy zastosowane dotąd przekształcenia:

Litery `a` i `b` oznaczają długości odcinków, są zatem dodatnie. Obie strony równania możemy więc spierwiastkować, otrzymując równoważne równanie:

Drugi sposób

W drugim sposobie posłużymy się następującą analizą:

Zauważmy, że `|NC| = |ME| = b` oraz `|MC| = a` (zob. rysunek wcześniejszy), zatem `|MN| = a - b`. Równoramienne trójkąty `MDN` i `ADB` są podobne, więc stosunki ramienia do podstawy każdego z nich są równe:

`(DM)/(MN) = (DA)/(AB)`

czyli

skąd `b = (sqrt(5) - 1)/2 a` jak w poprzednim sposobie.

Obliczenie długości przekątnej pięciokąta

Niezależnie od wyboru metody, potrzebna nam będzie także długość przekątnej pięciokąta `e = a + b`. Obliczenie nie jest trudne:

Liczbę `(sqrt(5) + 1)/2` nazywa się liczbą złotą i oznacza `phi`. Wówczas przekątna pięciokąta foremnego `e = a + b = phi a`. Zauważmy też, że `b = a/phi`. Wynika to choćby z proporcji `a/b = (a+b)/a` użytej w pierwszej metodzie obliczania `b`.

Kontynuacja obliczeń

Obliczenia będziemy kontynuować, stosując dwie metody, jedną z dwiema modyfikacjami.

Metoda pierwsza

W tej metodzie nie będziemy usiłować liczyć pola rombu `ABCM` ani wzmiankowanych wyżej trójkątów `AME`, `EMD` i `CMD`, a zamiast tego rozetniemy pięciokąt na 5 identycznych trójkątów; jednym z nich jest `AOB`. Pole całej figury jest pięciokrotnością pola takiego trójkąta. Pole trójkąta obliczymy jako połowę iloczynu długości podstawy `a` przez wysokość `r`, która tutaj jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w pięciokąt: `P = 5 * 1/2 a r`.

Niestety nie znamy długości promienia okręgu wpisanego `r`. Aby go obliczyć, posłużymy się twierdzeniem Pitagorasa. otrzymując zależność `r^2 + (a/2)^2 = R^2`. Nie znamy jednak także promienia okręgu opisanego `R`, potrzebujemy więc innego związku, który pozwoli go wyrugować z obliczeń.

W tym celu rozpatrzmy trójkąt `ADB`. Użyjmy znów twierdzenia Pitagorasa, otrzymując `(R + r)^2 + (a/2)^2 = e^2`. Ponieważ długość przekątnej pięciokąta znamy już z poprzedniego etapu, możemy ułożyć układ równań z dwiema niewiadomymi, a następnie go rozwiązać.

Jeśli interesuje nas promień okręgu opisanego `R`, możemy go obliczyć z zależności `r^2 + (a/2)^2 = R^2`. Otrzymujemy:

Wróćmy jednak do obliczenia pola pięciokąta foremnego. Podstawmy uzyskane wyrażenie `r = (a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/10` do wspomnianego wyżej wzoru:

Metoda druga

Obliczenie pola rombu `ABCM` jako faza 1

Spróbujmy teraz obliczyć pole rombu `ABCM`. Jak już wspomnieliśmy, jest ono równe `1/2 e f`. Znamy długość przekątnej `e`, jednak nie znamy długości `f`.

Wykorzystamy fakt, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Trójkąt `CSB` jest więc prostokątny, co z kolei pozwala obliczyć długość odcinka `SB` (równą `1/2 f`) z twierdzenia Pitagorasa. Mamy więc:

Stąd pole rombu `ABCM` wynosi:

Obliczenie pola trójkąta `EMD` jako faza 2

Znając pole rombu `ABCM`, bez trudu obliczymy pole trójkąta `EMD`. Wystarczy zauważyć, że trójkąt ten jest podobny do trójkąta `CMA` stanowiącego połowę rombu `ABCM`. Skala podobieństwa wynosi `b/a`. Nie zapominajmy, że stosunek pól to kwadrat skali podobieństwa. Zatem:

Obliczenie brakujących pól trójkątów `EAM` i `DCM` dokonamy po zaprezentowaniu modyfikacji metody drugiej.

Obliczenie pola trójkąta `EMD` jako faza 1

Dokonamy teraz modyfikacji prezentowanej metody i obliczymy pole trójkąta `EMD` bezpośrednio, bez uprzedniego obliczenia pola rombu `ABCM`. Trójkąt ten jest równoramienny; oznaczmy wysokość padającą na jego podstawę `ED` przez `h`, jak na rysunku:

Wyprowadzimy teraz wzór na pole trójkąta równoramiennego o znanych bokach. Zauważmy, że pole trójkąta `EMD` będzie się równać `P_(EMD) = 1/2 ah`, zaś wysokość `h` da się wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa `b^2 = (a/2)^2 + h^2`, skąd `h^2 = b^2 - (a/2)^2` i ostatecznie `h = sqrt(b^2 - (a/2)^2)`. To pozwala zapisać wzór na pole dowolnego trójkąta równoramiennego jako

`P = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`,

gdzie `a` oznacza podstawę, a `b` – ramię trójkąta.

W naszym wypadku oczywiście także `P_(EMD) = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`. Oznaczenie wysokości `h` miało charakter pomocniczy i w dalszym ciągu nie będzie potrzebne. Aby obliczyć pole trójkąta `EMD` w zależności od danej długości boku pięciokąta `a`, podstawimy wyliczoną wyżej wartość `b = (sqrt(5) - 1)/2 a`:

Otrzymaliśmy wynik dokładnie taki sam, jak poprzednio.

Obliczenie pola rombu `ABCM` jako faza 2

Obliczymy teraz pole połowy rombu `ABCM`, czyli trójkąta `CMA`, które przy zastosowaniu tej metody nie jest nam jeszcze znane. W tym celu wykorzystajmy wyprowadzony wyżej wzór na pole trójkąta równoramiennego `P = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`, który przyjmie postać:

Pole rombu jest dwukrotnie większe, wynosi zatem `P_(ABCM) = 1/4 a^2 sqrt(10 + 2 sqrt(5))`, co możemy zapisać także jako `P_(ABCM) = 1/4 a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5)))`.

Obliczenie pól trójkątów `EAM` i `DCM`

Jak widać ze schematu, trójkąty te są przystające, wystarczy więc obliczyć pole jednego z nich. Są też równoramienne: ich ramię ma długość `a`, a podstawa długość `b`. Dla obliczenia pola jednego z tych trójkątów wykorzystamy poprzednio wyprowadzony wzór na pole trójkąta równoramiennego o znanych bokach (zwróćmy uwagę, co jest tu podstawą, a co ramieniem!):

Zsumowanie obliczonych pól

Pole pięciokąta `P` można zapisać jako sumę figur składowych: rombu, trójkąta górnego i dwóch trójkątów bocznych. Otrzymujemy zatem:

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w metodzie pierwszej.