Wersja z 2022-09-30
Pierwszymi liczbami wymyślonymi przez człowieka były liczby naturalne. Stanowią one odpowiedzi np. na pytanie, ile krów pasie się na pastwisku. Może pasie się 5 krów, może 3 krowy, może 1 krowa, a może w ogóle nie pasie się żadna. Zbiór liczb naturalnych, oznaczany dziś `NN`, to zatem zbiór {`0`, `1`, `2`, `3`, `4`, …}.
Wraz ze zbiorem liczb naturalnych pojawiły się działania na tych liczbach. W zbiorze liczb naturalnych zawsze wykonalne jest dodawanie, ale nie zawsze odejmowanie. Wiemy na przykład, ile to jest `3 + 5`, ale ile to `3 - 5`? Jeszcze kilkaset lat temu ludzie twierdzili, że działanie takie jest niewykonalne, a podany zapis nie ma sensu, bo przecież mając trzy krowy, nie można pięciu z nich poprowadzić na rzeź. Chęć zniesienia ograniczeń odejmowania jednak zwyciężyła strach, i ostatecznie do arytmetyki wprowadzono liczby ujemne. Liczby naturalne dodatnie, ich ujemne odpowiedniki oraz zero tworzą razem zbiór liczb całkowitych, dziś oznaczany `ZZ` (z niemieckiego Zahlen ‘liczby’; oznaczenie to wyparło już dziś dawniej używane w polskiej edukacji `C`, o tyle mylące, że w zapisie międzynarodowym oznaczające zupełnie inny zbiór liczbowy). Jest to zatem zbiór {…, `-4`, `-3`, `-2`, `-1`, `0`, `1`, `2`, `3`, `4`, …}. Zauważmy, że zbiór liczb naturalnych zawiera się w zbiorze liczb całkowitych (jest jego podzbiorem), co zapisujemy `NN sub ZZ`.
Po dodawaniu i odejmowaniu przyszła kolej na mnożenie i dzielenie. Mnożenie okazało się zawsze wykonalne w zbiorze liczb naturalnych i tak samo w zbiorze liczb całkowitych. Jednak dzielenie było wykonalne tylko w szczególnych przypadkach. Mając trzy krowy i trzech synów, można było każdego z nich obdarować równą liczbą bydła, jednak co gdy miało się dwóch synów? Albo, co gorsza, czterech? O ile dzielenie krów na części nie miało sensu (chyba że i tak chciano je tylko zjeść), o tyle już dzielenie np. placków podobnych do pizzy było jak najbardziej sensowne. Ktoś mający w domu dwa placki i cztery osoby do wykarmienia mógł po prostu podzielić każdy placek na pół, i w ten sposób dać każdemu po równo. A gdy miał trzy placki na cztery osoby, mógł podzielić każdy placek na cztery części i wówczas miał dwanaście kawałków, które już łatwo rozdzielił po równo między trzy osoby. Ile jednak otrzymała każda z nich? Właśnie aby to wyrazić, wprowadzono liczby wymierne. Są to, inaczej mówiąc, „uporządkowane” ułamki, tj. takie, które w mianowniku mają liczbę naturalną dodatnią, a w liczniku dowolną liczbę całkowitą, i w dodatku zapisane są w najprostszy sposób, czyli w postaci nieskracalnej (np. zamiast zapisu `10/6` piszemy `5/3`). Zbiór liczb wymiernych oznaczamy dziś `QQ`. Jest to oznaczenie międzynarodowe, które nawet w polskiej edukacji wreszcie wyparło dawniej używane `W`. Liczby całkowite są podzbiorem liczb wymiernych: `ZZ sub QQ`.
Wymyślenie liczb ujemnych i ułamków nie zakończyło niestety kłopotów arytmetyki. Wprowadzono bowiem kolejne działania: potęgowanie, a potem pierwiastkowanie, potrzebne między innymi w obliczeniach geometrycznych. Podnoszenie liczby do potęgi o wykładniku naturalnym zawsze było wykonalne, jednak pierwiastki kwadratowe sprawiały kłopoty. Aby ustawić w kwadrat czterech żołnierzy, trzeba było ustawić ich w dwóch rzędach po dwóch, stąd wiadomo było, że `sqrt(4) = 2`. Ale jak otrzymać kwadrat o polu `2`, czyli ile to jest `sqrt(2)`? Albo inaczej: jaką długość ma przekątna kwadratu o boku `1`? Po latach zaciekłych sporów okazało się, że `sqrt(2)` nie da się przedstawić w formie ułamka, nie jest więc liczbą wymierną. Dowiedziono też niewymierności takich liczb jak `pi` czy `e`. Wraz z liczbami wymiernymi liczby takie tworzą zbiór liczb rzeczywistych, `RR`. Wynika stąd, że zbiór liczb wymiernych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych: `QQ sub RR`.
Każda możliwa odległość da się przedstawić jako pewna liczba rzeczywista. Inaczej mówiąc, liczby rzeczywiste dadzą się przedstawić na osi. W wyróżnionym punkcie tej osi znajduje się zero, liczby po prawej są dodatnie, liczby po lewej ujemne. Każdy punkt osi przedstawia jakąś liczbę rzeczywistą. I odwrotnie, każda liczba rzeczywista może być zaznaczona na osi. Być może dlatego niektórzy matematycy uznali, że innych liczb nie ma. Jest to jednak zdanie małej grupy tych wystraszonych, którzy nie umieją sobie wyobrazić liczb niemożliwych do przedstawienia na osi liczbowej i czynią rozmaite wybiegi, byle tylko nie dopuścić myśli o ich istnieniu. Jednym słowem, mentalnie tkwią w średniowieczu, bowiem w erze nowożytnej światłe umysły doszły do wniosku, że poza liczbami rzeczywistymi są też i inne.
Spróbujmy rozwiązać równanie `x^2 - 4 = 0`. Możemy przenieść wyraz wolny zdegenerowanego trójmianu na stronę prawą: `x^2 = 4`, a następnie stwierdzić, że istnieją dwie różne liczby spełniające takie równanie; liczby te to `x = sqrt(4)` oraz `x = - sqrt(4)`, czyli po prostu `2` i `-2`.
Czy jednak równie łatwo rozwiążemy równanie `x^2 + 4 = 0`? Przez analogię możemy napisać jego równoważną postać: `x^2 = -4`, by następnie zapisać coś, za co otrzymalibyśmy ocenę niedostateczną na lekcji matematyki w szkole średniej, mianowicie że rozwiązanie to spełniają liczby `x = sqrt(-4)` oraz `x = - sqrt(-4)`.
Wiedzieliśmy poprzednio, ile to jest `sqrt(4)`, ale teraz już nie wiemy, ile to jest `sqrt(-4)`. Mnożenie dwóch liczb ujemnych zawsze bowiem prowadzi do liczby dodatniej, a więc także i kwadraty liczb ujemnych są dodatnie. Inaczej mówiąc, nie znajdziemy liczby rzeczywistej, która odpowiadałaby zapisowi `sqrt(-4)`.
I właściwie mogliśmy jakoś z tym żyć, twierdząc, że takich liczb nie ma, gdyby nie fakt, że rozwiązując pewne równania stopnia trzeciego dochodzimy do wyrażeń zawierających pierwiastki z liczb ujemnych, które poddane pewnym prostym działaniom arytmetycznym ostatecznie dają zwykłą liczbę rzeczywistą. Np. suma liczb `root(3)(-10 - 9sqrt(-3))` i `root(3)(-10 + 9sqrt(-3))`, zawierających „niedorzeczny” pierwiastek z liczby ujemnej, okazuje się równa `4`.
Dlatego właśnie pojawił się pomysł, by liczby o postaci `sqrt(−4)` jednak uwzględniać w obliczeniach. Aby ułatwić sposób ich zapisu i przy okazji odróżnić od liczb rzeczywistych, umówiono się, że `sqrt(−1)` będziemy nazywać jednostką urojoną (łac. ūnitās imāgināria, ang. imaginary unit) i oznaczać literą `i`. Wynika stąd, że `i^2 = -1`, ale też że `(-i)^2 = -1`. Oczywiście jednostka urojona nie jest liczbą rzeczywistą, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da liczby ujemnej.
Odtąd było wiadomo, że `sqrt(-4) = 2i`, natomiast `-sqrt(-4) = -2i`. Liczby o takiej postaci, czyli mające postać iloczynu liczby rzeczywistej przez jednostkę urojoną, nazwano liczbami urojonymi. Można ułożyć je na osi liczbowej, ale niepokrywającej się z osią liczb rzeczywistych, i przedstawianej zazwyczaj jako do niej prostopadła. Oś liczb rzeczywistych i oś liczb urojonych przecinają się w jednym punkcie, tam, gdzie znajduje się liczba zero. Zero jest więc jednocześnie liczbą rzeczywistą i urojoną.
Spróbujmy teraz rozwiązać równanie `x^2 - 2x + 2 = 0`. Dopiszmy do obu stron tego równania `-1`, otrzymując `x^2 -2x + 1 = -1`. Teraz możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na stronie lewej, co prowadzi do postaci `(x - 1)^2 = -1`. Na lekcji matematyki w liceum powiedzielibyśmy, że nie ma liczby, która podniesiona do kwadratu dałaby `-1`, zatem nie istnieje `x`, które spełniałoby to równanie. Dokładniej mówiąc, nie istnieje rzeczywiste `x` o takiej własności, dlatego zamiast wyniku piszemy `x !in RR`.
Wykorzystajmy jednak umowę, że `sqrt(-1)` istnieje i że nie jest liczbą rzeczywistą. Wtedy nasze równanie będziemy mogli przekształcić do postaci `x - 1 = sqrt(-1)` lub `x - 1 = -sqrt(-1)`. Stosując zaś oznaczenie jednostki urojonej, zapiszemy `x - 1 = i` lub `x - 1 = -i`. Takie równania rozwiązać jest już bardzo łatwo: `x = 1 + i` lub `x = 1 - i`. Co to jednak za liczby? Stanowią one sumę liczby rzeczywistej i urojonej, dlatego nazwano je liczbami zespolonymi. Liczby zespolone tworzą zbiór, który ma międzynarodowy symbol `CC` (od ang. complex numbers). Zbiór liczb rzeczywistych jest jego podzbiorem: `RR sub CC`.
Osie rzeczywista (odpowiadająca osi X w geometrii) i urojona (odpowiadająca osi Y) wyznaczają pewną płaszczyznę. Tak samo jak położenie punktów w geometrii, można opisać położenie punktów znajdujących się na tej płaszczyźnie, podając współrzędne odczytane z obu osi. Para takich współrzędnych wyznacza liczbę zespoloną. W wypadku liczby `1 + i` współrzędne te to `(1, 1)`, natomiast liczba `1 - x` ma współrzędne `(1, -1)`. Pierwszą współrzędną nazywamy częścią rzeczywistą, a drugą częścią urojoną liczby zespolonej. Umawiamy się ponadto, że częścią urojoną jest liczba rzeczywista, a nie urojona. To znaczy, że częścią urojoną np. liczby `5 - 3i` jest `-3`, a nie `-3i`. Całe wyrażenie `-3i` jest liczbą urojoną, ale nie częścią urojoną. Jest to nieco zawikłane i powoduje problemy, zwłaszcza w nauce matematyki.
Warto w tym momencie dodać, że istnieją matematycy, którzy do dziś wyznają średniowieczną ideę, że nie istnieją liczby inne niż rzeczywiste, i wyobrażają sobie liczby zespolone jako uporządkowane pary liczb rzeczywistych. Powstrzymują się oni także przez zapisami typu `sqrt(-1)` i głoszą, że są one błędne. Mało to, próbują oni przekonywać, że zapis `i^2 = -1` jest definicją jednostki urojonej. Zupełnie tak, jakby nie dostrzegali, że w istocie jest to równanie, a nie definicja czegokolwiek, i że równanie to ma dwa rozwiązania, `i` oraz `-i`. Które z nich zatem to jednostka urojona? No właśnie…
Podejście takich „kompleksofobów” jest wyłącznie wynikiem strachu przed przyznaniem, że liczby zespolone są jednak, zgodnie z nazwą, także liczbami. Współcześnie najprościej uznać ich strach za niedorzeczny, bowiem niepotrzebnie komplikuje sprawy niezwykle proste (jak na przykład to, że równanie `x^2 - 2x + 2 = 0` ma dwa rozwiązania, które są liczbami, a nie parami liczb), a nie wnosi niczego w zamian.
Najbardziej lapidarnie brak akceptacji dla odrzucenia idei liczb zespolonych wyraża K.A. Stroud, autor bardzo znanego podręcznika „Matematyka. Od zera dla inżyniera”. W wyd. VIII na str. 379 pisze: „Po ukończeniu tego programu będziesz potrafił rozpoznać, że `i` oznacza `sqrt(-1)`”. Matematycy, którzy kwestionują definicję jednostki urojonej `i` jako `sqrt(-1)`, najwyraźniej tego programu jeszcze nie ukończyli.
Liczba jest sprzężona z daną liczbą zespoloną, jeśli różni się od niej tylko znakiem części urojonej. Liczba taka jest reprezentowana przez punkt na płaszczyźnie zespolonej, który jest symetryczny do danego względem osi rzeczywistej. Np. liczby `2 + 5i` oraz `2 - 5i` są sprzężone. Mówimy też, że liczba `2 - 5i` jest liczbą sprzężoną z liczbą `2 + 5i`. Mówimy także, że liczba `2 + 5i` jest sprzężona z liczbą `2 - 5i`. Jeśli liczbę zespoloną oznaczymy literą `z`, wówczas liczba sprzężona z `z` oznaczana jest `bar z`. Zatem jeśli oznaczymy `z = 2 - 5i`, to `bar z = 2 + 5i`.
Część rzeczywistą liczby zespolonej `z` oznaczamy `Re(z)`, natomiast część urojoną oznaczamy `Im(z)`. Całą liczbę zespoloną można więc przedstawić: `z = Re(z) + i*Im(z)`. Pamiętajmy, że `Im(z) in RR`, stąd konieczność dopisania jednostki urojonej w zapisie `i*Im(z)`.
Z definicji liczby sprzężonej wynika, że `Im(bar z) = -Im(z)`. Ponadto `z + bar z = 2 Re(z)` oraz `z - bar z = 2i*Im(z)`. Do tego liczba sprzężona z sumą liczb równa jest sumie liczb sprzężonych ze składnikami: `bar (z_1 + z_2) = bar z_1 + bar z_2`.
Autorzy podręczników matematyki najczęściej wychodzą z założenia, że ich dzieło będzie tym lepsze, im więcej w nich będzie pojęć abstrakcyjnych, niezrozumiałych symboli i pojęć, które wprowadzają nie wiadomo po co, a czytelnik, czyli uczeń bądź student, ma nie zadawać takiego pytania, tylko grzecznie wykuć ich definicje. Takie podejście jest dydaktyczną katastrofą. Ktoś być może powinien uświadomić tym ludziom, że powinni zmienić podejście lub zostawić pisanie podręczników innym. Bo tym, co robią, mogą co najwyżej utrudnić dostęp do informacji, a przecież zadanie podręcznika polega na czymś dokładnie przeciwnym.
Takim właśnie pojęciem, wprowadzanym na ogół nie wiadomo dlaczego ani nie wiadomo po co, jest moduł liczby zespolonej. Najczęściej podaje się, bez żadnych wstępnych wyjaśnień, jedynie jego definicję w następującej postaci:
| Jeżeli `z = a + bi`, to `|z| = sqrt(a^2 + b^2)` |
Tymczasem pojęcie to należy zdefiniować całkowicie inaczej. Moduł liczby zespolonej jest to mianowicie liczba rzeczywista nieujemna, równa odległości punktu przedstawiającego tę liczbę zespoloną od zera, tj. od początku układu współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej. Aby policzyć tę odległość, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, stąd właśnie wzór `|z| = sqrt(a^2 + b^2)` (który nie stanowi definicji, ale podaje sposób obliczania modułu liczby zespolonej), czyli inaczej mówiąc `|z| = sqrt((Re(z))^2 + (Im(z))^2)`. Po raz kolejny zwróćmy uwagę, że do obliczenia bierzemy sam współczynnik `b`, a nie całe wyrażenie zawierające jednostkę urojoną `i`.
Sens wprowadzenia pojęcia modułu liczby zespolonej stanie się jaśniejszy, jeśli uświadomimy sobie, że wartość bezwzględna liczby rzeczywistej też jest równa odległości tej liczby (a dokładniej reprezentującego ją punktu na osi liczbowej) od zera. Innymi słowy, moduł i wartość bezwzględna są dokładnie tym samym, a jeśli nie mówimy o wartości bezwzględnej z liczby zespolonej, to tylko dlatego, że do jej obliczenia nie wystarczy na ogół opuszczenie znaku.
Zauważmy też, że dla liczb rzeczywistych mamy `b = 0`. Wówczas `|z| = sqrt(a^2 + 0^2)`, czyli `|z| = sqrt(a^2)`. Potocznie mówi się, że pierwiastek i kwadrat się skracają, tyle że wynikiem jak widać nie jest liczba, na której działamy, ale jej moduł (wartość bezwzględna).
Aby obliczyć moduł, dla liczb rzeczywistych nieujemnych wystarczy przepisać tę liczbę: `|4| = 4`. Dla liczb ujemnych trzeba opuścić minus: `|-4| = 4`. Dla liczb urojonych opuszczamy dodatkowo jednostkę urojoną: `|3i| = 3`, także `|-3i| = 3`. Jednak już dla liczb zespolonych z obiema częściami różnymi od zera (dla właściwych liczb zespolonych) trzeba skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, np. `|4 - 3i| = sqrt(4^2 + (-3)^2) = sqrt(16 + 9) = sqrt(25) = 5`. Zauważmy przy tym, że także `|4 + 3i| = 5`. Inaczej mówiąc, `|bar z| = |z|`. Zachodzi też `z * bar z = |z|^2`; właściwość ta okaże się przydatna w dalszej części.
Wiemy już, czym jest moduł liczby zespolonej (odległością od zera), pora zadać sobie pytanie, jaki możemy mieć pożytek z tego pojęcia. Ogólnie rzecz biorąc, różnoraki, ale najważniejszym będzie konieczność znajomości modułu przy przedstawianiu liczb zespolonych w innych postaciach niż dotąd poznana `a + bi`, zwana algebraiczną. Z kolei te inne postacie przydadzą się przy wykonywaniu działań na liczbach zespolonych, które wykraczają poza cztery podstawowe działania arytmetyczne.
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych są banalne, trzeba tylko pamiętać, że działania na części rzeczywistej i części urojonej wykonujemy oddzielnie. Aby uniknąć błędów, warto zaczynać od zapisania liczb w nawiasach. Przykłady:
Część rzeczywista sumy (różnicy) liczb zespolonych równa jest sumie (różnicy) ich części rzeczywistych, a część urojona równa jest sumie (różnicy) ich części urojonych.
| Jeżeli `z_1 = a_1 + b_1i` oraz `z_2 = a_2 + b_2i`, to `z_1 +- z_2 = (a_1 +- a_2) + (b_1 +- b_2)i` |
Mnożenie wykonujemy tak jak mnożenie sum algebraicznych (metodą „każdy przez każdy”), pamiętając, że `i * i = i^2 = -1`. Przykłady:
Jak widać, iloczyn liczb zespolonych może być niekiedy liczbą rzeczywistą lub urojoną.
Ogólnie mamy `(a_1 + b_1i)*(a_2 + b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i^2 = a_1a_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)i - b_1b_2`.
Część rzeczywista iloczynu liczb zespolonych równa jest różnicy iloczynów ich części rzeczywistych i części urojonych, a część urojona takiego iloczynu równa jest sumie iloczynów krzyżowych, tj. obu iloczynów części rzeczywistej jednej z liczb przez część zespoloną drugiej z liczb.
| Jeżeli `z_1 = a_1 + b_1i` oraz `z_2 = a_2 + b_2i`, to `z_1z_2 = a_1a_2 - b_1b_2 + (a_1b_2 + a_2b_1)i` |
Dzielenie liczb zespolonych wykonujemy na ogół, zapisując działanie w formie ułamka i rozszerzając ten ułamek przez dopełnienie algebraiczne mianownika (które jest niczym innym, jak liczbą sprzężoną z dzielnikiem). Tylko niekiedy udaje się zastosować prostsze metody. Przykłady:
Ogólnie mamy `(a_1 + b_1i)/(a_2 + b_2i) = (a_1 + b_1i)/(a_2 + b_2i) * (a_2 - b_2i)/(a_2 - b_2i) = ((a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i))/((a_2 + b_2i)(a_2 - b_2i)) = (a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i - b_1b_2i^2)/(a_2^2 + b_2^2) = (a_1a_2 - a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2)/(a_2^2 + b_2^2)`.
Iloraz liczb zespolonych równy jest ilorazowi liczby zespolonej (stanowiącej licznik) przez liczbę rzeczywistą (stanowiącą mianownik). Część rzeczywista licznika jest sumą iloczynów części rzeczywistych i części urojonych dzielonych liczb, a część urojona licznika równa jest różnicy iloczynów krzyżowych, w której odjemną stanowi iloczyn części rzeczywistej drugiej liczby przez część urojoną pierwszej liczby, a odjemnik stanowi iloczyn części rzeczywistej pierwszej liczby przez część urojoną drugiej liczby. Mianownik stanowi suma kwadratów części rzeczywistej i części urojonej drugiej z dzielonych liczb zespolonych.
| Jeżeli `z_1 = a_1 + b_1i` oraz `z_2 = a_2 + b_2i`, to `z_1/z_2 = (a_1a_2 + b_1b_2 + (a_2b_1 - a_1b_2)i)/(a_2^2 + b_2^2)` |
Z podanego wzoru można wywnioskować, że iloraz liczb zespolonych równy jest iloczynowi pierwszej liczby przez liczbę sprzężoną z drugą liczbą, podzielonemu przez kwadrat modułu drugiej liczby, co można zapisać:
| `z_1/z_2 = (z_1 bar z_2)/(|z_2|^2)` |
Prawa strona wzoru jest rozszerzeniem początkowego ułamka przez liczbę sprzężoną z mianownikiem, bo przecież `z_1/z_2 = z_1/z_2 * (bar z_2)/(bar z_2) = (z_1 bar z_2)/(|z_2|^2)` (w mianowniku wykorzystujemy podaną wyżej właściwość liczby sprzężonej). Zwięzłość tego zapisu demonstruje użyteczność pojęć modułu liczby zespolonej i liczby sprzężonej. Dzięki wprowadzeniu kwadratu modułu (czyli liczby rzeczywistej) do mianownika, unikamy dzielenia przez liczbę zespoloną z niezerową częścią urojoną.
Potęgowanie liczb zespolonych danych w postaci algebraicznej jest w praktyce możliwe (bez zmiany postaci liczby) tylko w wypadku niskich wykładników całkowitych. Korzystamy wówczas ze wzorów skróconego mnożenia (pamiętając, że `i^2 = -1`).
W szczególności, kwadrat liczby zespolonej możemy obliczyć jako iloczyn tej liczby przez nią samą. Otrzymamy wówczas `(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi`.
| Jeżeli `z = a + bi`, to `z^2 = a^2 - b^2 + 2abi` |
Sześcian liczby zespolonej obliczamy także z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia: `(a + bi)^3 = a^3 + 3a^2bi + 3ab^2i^2 + b^3i^3 = a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i`.
| Jeżeli `z = a + bi`, to `z^3 = (a^2 - 3b^2)a + (3a^2 - b)bi` |
Odwrotność liczby zespolonej (czyli jej potęgę minus pierwszą) znajdziemy też względnie prosto, wykorzystując wzór na dzielenie liczb zespolonych: `z^(-1) = 1/z = (1 * bar z)/(|z|^2)`.
| Jeżeli `z = a + bi`, to `z^(-1) = (a - bi)/(a^2 + b^2)` `z^(-1) = (bar z)/(|z|^2)` |
Warto zapamiętać potęgi jednostki urojonej `i`, bowiem występują one w wielu rachunkach. Dla dowolnego `k in ZZ` mamy zatem:
`i^(4k) = 1`
`i^(4k+1) = i`
`i^(4k+2) = -1`
`i^(4k+3) = -i`
W szczególności `i^1= i`, `i^2 = -1`, `i^3 = -i`, `i^4 = 1`, a także `i^0 = 1` oraz `i^(-1) = -i`.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych danych w postaci algebraicznej jest w praktyce możliwe przede wszystkim w przypadku pierwiastków kwadratowych (czyli potęgi o wykładniku `1/2`). Najłatwiej znaleźć `sqrt(a + bi)`, rozwiązując równanie `z^2 = a + bi`, przy czym trzeba pamiętać, że będą istnieć dwa rozwiązania tego równania. Oba określane się myląco mianem „pierwiastków z liczby zespolonej”, podczas gdy w rzeczywistości są to pierwiastki równania, a nie liczby. Wielu matematyków nazywa je „pierwiastkami algebraicznymi” liczby zespolonej. A jedynie nieliczni (np. Stroud) mają odwagę napisać, że pierwiastek (określany wówczas jako „arytmetyczny”) jest w rzeczywistości tylko jeden.
Zakładamy, że szukany pierwiastek jest liczbą zespoloną `u + vi`, gdzie `u in RR` oraz `v in RR`; później okaże się także, że konieczne będzie dodatkowe założenie `u != 0`. Pamiętajmy, że pierwiastkowana liczba zespolona to `a + bi`, zatem także `a in RR` oraz `b in RR` (współczynniki występujące w liczbie zespolonej zawsze są rzeczywiste!). Rozpatrzmy też wypadek, w którym liczba zespolona `a + bi` nie jest rzeczywista, co pociąga za sobą kolejny warunek: `b != 0`. Mamy wówczas:
`(u + vi)^2 = a + bi`
`u^2 - v^2 + 2uvi = a + bi`
z czego wnioskujemy, że
`{(u^2 - v^2 = a),(2uv = b):}`
skąd otrzymujemy, pamiętając, że `u != 0`:
`v = b/(2u)`,
co podstawiamy do pierwszego równania i liczymy dalej:
`u^2 - (b/(2u))^2 = a`
`u^2 - b^2/(4u^2) = a`
`4u^4 - b^2 = 4au^2`
`4u^4 - 4au^2 - b^2 = 0`
`4u^4 - 4au^2 + a^2 - b^2 = a^2`
`(2u^2)^2 - 2*2u^2*a + a^2 = a^2 + b^2`
`(2u^2 - a)^2 = a^2 + b^2`
Równanie takie ma dwa rozwiązania:
`2u^2 - a = sqrt(a^2 + b^2)` lub `2u^2 - a = -sqrt(a^2 + b^2)`
`2u^2 = a + sqrt(a^2 + b^2)` lub `2u^2 = a - sqrt(a^2 + b^2)`
W celu wyznaczenia `u` będziemy musieli spierwiastkować równanie obustronnie. Zauważmy jednak, że wyrażenie `a - sqrt(a^2 + b^2)` jest zawsze ujemne, a to dlatego, że gdy do kwadratu `a` dodamy cokolwiek większego od zera (`b^2`), to pierwiastek z tej sumy będzie większy od `a`. Pamiętajmy o założeniu `b != 0` (stąd `b^2 > 0`). Zatem rozwiązanie `2u^2 = a - sqrt(a^2 + b^2)` musimy w całości odrzucić, w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy bowiem `u !in RR`, co byłoby niezgodne z założeniem. Jedynym rozwiązaniem będzie zatem `2u^2 = a + sqrt(a^2 + b^2)`.
Spierwiastkujemy je obustronnie, otrzymując dwa równania:
`2u^2 = a + sqrt(a^2 + b^2)`
`sqrt(2)u = sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2))` lub `sqrt(2)u = -sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2))`
`2u = sqrt(2(a + sqrt(a^2 + b^2)))` lub `2u = -sqrt(2(a + sqrt(a^2 + b^2)))`
`u = sqrt(2)/2*sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2))` lub `u = -sqrt(2)/2*sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2))`
Obliczymy teraz `v` ze związku `v = b/(2u)`. Dla wygody przyjmijmy, że `1/w = sqrt(2)/2*sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2))`, czyli że `u = 1/w` lub `u = -1/w`, skąd `v = (bw)/2` lub `v = -(bw)/2`:
`w = 1/(sqrt(2)/2*sqrt(a + sqrt(a^2 + b^2)))`
`w = 2/(sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a))*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)/sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)`
`w = (2sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))/(sqrt(2)*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a)*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))`
`w = (sqrt(2)sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))/sqrt((sqrt(a^2 + b^2) + a)(sqrt(a^2 + b^2) - a))`
`w = (sqrt(2)sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))/sqrt(a^2 + b^2 - a^2)`
`w = (sqrt(2)sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))/sqrt(b^2)`
`w = (sqrt(2)sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))/|b|`
Wstawmy teraz wyliczone wartości `w` do wyrażenia `v = (bw)/2` oraz do `v = -(bw)/2`. Otrzymamy:
`v = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)` lub `v = -sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)`
Ostatecznie otrzymamy, że rozwiązaniami równania `(u + vi)^2 = a + bi` są dla `b > 0` (gdy `|b| = b`):
`{(u = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a)),(v = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)):}` lub `{(u = -sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a)),(v = -sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)):}`
Dla `b < 0` mamy `b/|b| = -1`, co powoduje zmianę znaku `v`:
`{(u = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a)),(v = -sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)):}` lub `{(u = -sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a)),(v = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)):}`
Umawiamy się, że pierwiastek (arytmetyczny) z liczby zespolonej to taki, którego część urojona ma mniejszą wartość bezwzględną. Jeśli jest więcej rozwiązań o takiej samej wartości bezwzględnej części urojonej, to za pierwiastek uznajemy to, którego część rzeczywista jest dodatnia. Jeśli i to kryterium nie pozwala rozstrzygnąć, które rozwiązanie jest pierwiastkiem (arytmetycznym), bierzemy to, które ma dodatnią część urojoną. Dlatego właśnie:
`sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a) + i sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)` dla `b > 0`
`sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a) - i sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)` dla `b < 0`
Ponieważ moduł liczby zespolonej `|z| = |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)`, możemy napisać:
`sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| + a) + i sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| - a)` dla `b > 0`
`sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| + a) - i sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| - a)` dla `b < 0`
Pamiętajmy tylko, że moduł liczby zespolonej `|a + bi|` nie jest w ogólności równy `a + bi` ani `-a - bi`, więc sumy `|a + bi| + a` ani różnicy `|a + bi| - a` nie da się uprościć.
Aby oba przypadki zapisać jako jeden, warto wprowadzić do formuły `epsilon`, które dla ujemnego `b` oznacza `-1`, a dla `b` dodatniego oznacza `1`:
`sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| + a) + epsilon * i sqrt(2)/2*sqrt(|a + bi| - a)` dla `b != 0`
Warto jeszcze sprawdzić, jak będzie wyglądać pierwiastkowanie w wypadkach, które odrzuciliśmy, tj. `u = 0`, a także `b = 0`. Gdyby `u = 0`, po lewej stronie równania `(u + vi)^2 = a + bi` stałaby liczba urojona. Wówczas mielibyśmy:
`(vi)^2 = a + bi`
`v^2i^2 = a + bi`
`-v^2 = a + bi`
co jest możliwe tylko gdy `b = 0`, czyli dla liczby rzeczywistej `a`. Innymi słowy, jeśli `u = 0`, to także `b = 0`, i wówczas równanie przyjmuje postać `-v^2 = a`. Biorąc pod uwagę założenia, że oba występujące tu symbole reprezentują liczby rzeczywiste, stwierdzamy, że jest to możliwe tylko dla `a` niedodatniego. Wówczas `v^2 = -a` i w rezultacie `v = sqrt(-a)` lub `v = -sqrt(-a)`, przy czym dla `a = 0` mamy `v = 0`.
Wracamy teraz do pierwotnego równania `sqrt(a + bi) = u + vi`. Po podstawieniu `u = 0` i `b = 0` dostajemy `sqrt(a) = vi` (dla `a <= 0`). Podstawiamy `v = sqrt(-a)` lub `v = -sqrt(-a)`, otrzymując `sqrt(a) = i sqrt(-a)` lub `sqrt(a) = -i sqrt(-a)`. Za pierwiastek (arytmetyczny) z liczby zespolonej uznajemy pierwsze rozwiązanie: `sqrt(z) = i sqrt(-a)` (dla `a` niedodatniego).
Gdyby z kolei założyć `b = 0`, ale `u !=0`, mielibyśmy `(u + vi)^2 = a`, co daje `u^2 - v^2 + 2uvi = a`, skąd wnioskujemy, że `uv = 0`. To z kolei daje rozwiązanie `v = 0` (założyliśmy, że `u != 0`). Równanie `u^2 - v^2 + 2uvi = a` uprości się wówczas do `u^2 = a`, skąd `u = sqrt(a)` lub `u = -sqrt(a)` (pamiętajmy, że `u in RR`). Wtedy pierwiastek `sqrt(z) = sqrt(a)` (dla `a` nieujemnego).
Okazuje się, że oba te wypadki zawierają się w formule `sqrt(a + bi) = sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a) + epsilon * i sqrt(2)/2*sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a)`, jeśli przyjmiemy, że dla `b = 0` mamy `epsilon = 1`. Wówczas wzór zadziała dla każdej liczby zespolonej, więc także dla rzeczywistej.
| Jeżeli `z = a + bi`, to `sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(sqrt(a^2 + b^2) + a) + epsilon i sqrt(sqrt(a^2 + b^2) - a))` `sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(|z| + a) + epsilon i sqrt(|z| - a))` |
Dla liczb rzeczywistych (`b = 0`, `epsilon = 1`) dostaniemy:
`sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(sqrt(a^2 + 0^2) + a) + i sqrt(sqrt(a^2 + 0^2) - a)) = sqrt(2)/2*(sqrt(sqrt(a^2) + a) + i sqrt(sqrt(a^2) - a)) = sqrt(2)/2*(sqrt(|a| + a) + i sqrt(|a| - a))`
i dalej w zależności od znaku `a`.
Dla liczb rzeczywistych dodatnich (`a > 0`, `b = 0`) otrzymamy:
`sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(a + a) + i sqrt(a - a)) = sqrt(2)/2*(sqrt(2a) + i sqrt(0)) = sqrt(2)/2*sqrt(2)*sqrt(a)`
czyli `sqrt(z) = sqrt(a)`.
Dla liczb rzeczywistych ujemnych (`a < 0`, `b = 0`) otrzymamy:
`sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(-a + a) + i sqrt(-a - a)) = sqrt(2)/2*(sqrt(0) + i sqrt(-2a)) = sqrt(2)/2*sqrt(2)*i sqrt(-a)`
czyli `sqrt(z) = i sqrt(-a)`.
Dla liczby zero (`a = 0`, `b = 0`) otrzymamy:
`sqrt(z) = sqrt(2)/2*(sqrt(0 + 0) + i sqrt(0 - 0)) = sqrt(2)/2*(sqrt(0) + i sqrt(0)) = sqrt(2)/2*0`
czyli `sqrt(z) = 0`.
Sprawdzimy wyprowadzony wzór, podnosząc go stronami do kwadratu. Pamiętajmy, że `epsilon^2 = 1` dla każdej wartości `b`.
`z = (sqrt(2)/2*(sqrt(|z| + a) + epsilon sqrt(|z| - a)))^2`
`z = 1/2 * (sqrt(|z| + a) + epsilon sqrt(|z| - a))^2`
`z = 1/2 * ((|z| + a) - (|z| - a) + 2*epsilon*sqrt(|z| + a)*sqrt(|z| - a))`
`z = 1/2 * (|z| + a - |z| + a + 2*epsilon*sqrt((|z| + a)(|z| - a)))`
`z = 1/2 * (2a + 2*epsilon*sqrt(|z|^2 - a^2))`
`z = 1/2 * (2a + 2*epsilon*sqrt(a^2 + b^2 - a^2))`
`z = a + epsilon sqrt(b^2)`
`z = a + epsilon |b|`
Przy mnożeniu `epsilon * |b|` odtwarzamy znak, zatem wynik tego mnożenia to `b`.
`z = a + bi`
Jak widać, wzór jest poprawny.
| liczba `z` | `Re(z)` | `Im(z)` | moduł `|z|` | kwadrat `z^2` | odwrotność `1/z` | pierwiastek `sqrt(z)` |
|---|---|---|---|---|---|---|
| `a + bi` | `a` | `b` | `sqrt(a^2 + b^2)` | `a^2 - b^2 + 2abi` | `(bar z)/(|z|^2)` | `sqrt(2)/2*(sqrt(|z| + a) + epsilon sqrt(|z| - a))` |
| `0` | `0` | `0` | `0` | `0` | nie istnieje | `0` |
| `1` | `1` | `0` | `1` | `1` | `1` | `1` |
| `i` | `0` | `1` | `1` | `-1` | `-i` | `sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2` |
| `-1` | `-1` | `0` | `1` | `1` | `-1` | `i` |
| `-i` | `0` | `-1` | `1` | `-1` | `i` | `sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2` |
| `sqrt 3/2 + 1/2 i` | ||||||
| `sqrt 2/2 + sqrt 2/2 i` | ||||||
| `1/2 + sqrt 3/2 i` | ||||||
| `-1/2 + sqrt 3/2 i` | ||||||
| `-sqrt 2/2 + sqrt 2/2 i` | ||||||
| `-sqrt 3/2 + 1/2 i` | ||||||
| `-sqrt 3/2 - 1/2 i` | ||||||
| `-sqrt 2/2 - sqrt 2/2 i` | ||||||
| `-1/2 - sqrt 3/2 i` | ||||||
| `1/2 - sqrt 3/2 i` | ||||||
| `sqrt 2/2 - sqrt 2/2 i` | ||||||
| `sqrt 3/2 - 1/2 i` | ||||||
| postać | uwagi | ||
|---|---|---|---|
| algebraiczna | trygonometryczna | wykładnicza | |
| `1` | `cos 0` | `e^0` | liczba rzeczywista |
| `sqrt 3/2 + 1/2 i` | `cos {:pi/6:} + i sin {:pi/6:}` | `e^(i pi/6)` | |
| `sqrt 2/2 + sqrt 2/2 i` | `cos {:pi/4:} + i sin {:pi/4:}` | `e^(i pi/4)` | |
| `1/2 + sqrt 3/2 i` | `cos {:pi/3:} + i sin {:pi/3:}` | `e^(i pi/3)` | |
| `i` | `i sin {:pi/2:}` | `e^(i pi/2)` | liczba urojona |
| `-1/2 + sqrt 3/2 i` | `cos {:2/3 pi:} + i sin {:2/3 pi:}` | `e^(i 2/3 pi)` | |
| `-sqrt 2/2 + sqrt 2/2 i` | `cos {:3/4 pi:} + i sin {:3/4 pi:}` | `e^(i 3/4 pi)` | |
| `-sqrt 3/2 + 1/2 i` | `cos {:5/6 pi:} + i sin {:5/6 pi:}` | `e^(i 5/6 pi)` | |
| `-1` | `cos pi` | `e^(i pi)` | liczba rzeczywista |
| `-sqrt 3/2 - 1/2 i` | `cos {:7/6 pi:} + i sin {:7/6 pi:}` | `e^(i 7/6 pi)` | |
| `-sqrt 2/2 - sqrt 2/2 i` | `cos {:5/4 pi:} + i sin {:5/4 pi:}` | `e^(i 5/4 pi)` | |
| `-1/2 - sqrt 3/2 i` | `cos {:4/3 pi:} + i sin {:4/3 pi:}` | `e^(i 4/3 pi)` | |
| `-i` | `i sin {:3/2:} pi` | `e^(i 3/2 pi)` | liczba urojona |
| `1/2 - sqrt 3/2 i` | `cos {:5/3 pi:} + i sin {:5/3 pi:}` | `e^(i 5/3 pi)` | |
| `sqrt 2/2 - sqrt 2/2 i` | `cos {:7/4 pi:} + i sin {:7/4 pi:}` | `e^(i 7/4 pi)` | |
| `sqrt 3/2 - 1/2 i` | `cos {:11/6 pi:} + i sin {:11/6 pi:}` | `e^(i 11/6 pi)` | |