Przy liczeniu „wielościowym” wyodrębnianie liczonych jednostek (elementów liczonego zbioru) nie jest potrzebne: właśnie dlatego Indianie Pirahã nie potrafią odróżnić jednej dużej ryby od kilku małych. Jednak gdy liczenie ma charakter porównawczy, a zwłaszcza gdy odbywa się „metodą dodawania”, poszczególne elementy stają się istotne, gdyż je właśnie przypisujemy np. poszczególnym palcom czy robionym na patyku nacięciom. W umysłach ludzi, którzy po raz pierwszy zaczęli liczyć tą metodą, pojawiło się w końcu spostrzeżenie, że niezależnie od tego, co tak naprawdę liczyli, używali tych samych palców lub takich samych nacięć na patyku. Umysł ludzki wykazuje wrodzoną zdolność generalizacji w takich sytuacjach, zdolność wyszukiwania podobieństw różniących się z pozoru obiektów i zjawisk. Zwiemy ją zdolnością myślenia abstrakcyjnego. Właśnie ta zdolność, oraz spostrzeżenie, że policzenie np. siedmiu owiec, siedmiu słoni, siedmiu ludzi czy siedmiu fig wymaga użycia dokładnie takiej samej procedury, doprowadziły do pojawienia się koncepcji liczby (dziś mówimy: liczby naturalnej), która okazała się wkrótce niezwykle przydatna.
Zgodnie z tą koncepcją, liczony obiekt staje się jednostką, która występuje tyle razy, ile wynosi liczba. A zatem siedem owiec, siedem słoni, siedmiu ludzi czy siedem fig to 7u (gdzie u oznacza właśnie ową liczoną jednostkę). W podobny sposób można liczyć nie tylko osobne obiekty występujące w rzeczywistości, ale na przykład odległość czy pojemność: zamiast materialnego obiektu występuje tu wówczas umowna wielkość zwana jednostką miary. Warto zauważyć, że przeprowadzana operacja ma charakter mnożenia jednostki przez liczbę naturalną. Zdumiewające może nam się wydawać, że mnożenie okazało się bardziej elementarną operacją arytmetyczną niż dodawanie, nie należy jednak zapominać, że mowa tu o mnożeniu bardzo szczególnego typu.
Koncepcja liczenia przy pomocy jednostek została niekiedy rozwinięta i objęła także te obiekty, które teoretycznie da się policzyć bezpośrednio, dlatego na przykład obok 7 książek możemy także powiedzieć 7 egzemplarzy książki, a obok 3 jaja możemy powiedzieć również 3 sztuki jaj. W wielu językach wschodniej Azji możliwe jest liczenie tylko w ten sposób. Ewolucja języka szła tu prawdopodobnie równolegle do ewolucji liczenia jako mnożenia jednostki przez liczbę naturalną.
Koncepcja ta pomogła też prawdopodobnie oddzielić liczbę, rozumianą całkowicie abstrakcyjnie, od liczonego obiektu. To oderwanie mogło też pomóc w rozwoju pierwotnej arytmetyki, w której kolejno pojawiały się dodawanie, odejmowanie, (dowolne) mnożenie i wreszcie dzielenie.
Pierwotny pasterz, liczący na konkretach, a do tego metodą „porównawczą”, mógł mieć duży problem, gdy do jego stadka 5 kóz dołączyły jeszcze 3 kozy, które dostał od sąsiada w zamian za córkę. Aby odpowiedzieć, ile kóz ma teraz, musiał je policzyć od nowa, tj. porównać ich liczbę z odpowiednią liczbą palców. Problem miał nawet jego młodszy kolega, potrafiący liczyć metodą dodawania kolejnych obiektów: zrobił co prawda trzy nowe kreski na swoim patyku, nie potrafił jednak powiedzieć od razu, ile teraz jest kresek (a zatem i kóz), nie wymieniwszy ich nazw po kolei: „sześć, siedem, osiem” (czyli nie dodawszy trzech nowych jednostek metodą iteratywną). Umiejętność dodawania od razu więcej niż jednego obiektu do zliczonej już liczby, choć dla nas może oczywista, wymagała sporego wysiłku umysłowego, zapamiętania reguł, które moglibyśmy nazwać „tabelką dodawania”, a poza tym prawdopodobnie także ostatecznego oderwania liczby od liczonego przedmiotu.
Skąd przypuszczenie o przejściu na wyższy stopień abstrakcji? Otóż wcześniej zauważenie związku między sześcioma kozami, sześcioma drzewami i sześcioma słoniami mogło być trudne, a nazwy liczb mogły być raczej kojarzone z nazwami palców (do dziś liczebniki w wielu kulturach prymitywnych to po prostu nazwy części ciała, przy pomocy których dokonuje się liczenia). Jednak znacznie łatwiejsze było z pewnością zauważenie zależności między faktem, że trzy kozy dodane do sześciu kóz dają razem dziewięć kóz, że 3 słonie i 6 słoni to 9 słoni, wreszcie że 3 figi i 6 fig to 9 fig. Za każdym razem bowiem powtarzają się tu liczby 3, 6 i 9 w odpowiednim porządku, a to już powoduje spore podobieństwo między tymi trzema sytuacjami, nawet jeśli same słonie do fig raczej nie są podobne.
Długo jednak istniało przeświadczenie o różnicy między dodaniem jednego elementu a dodaniem od razu kilku elementów. Dodanie jednego obiektu polegało bowiem jednie na wymienieniu nazwy kolejnej liczby, dodanie dwóch lub więcej obiektów oznaczało natomiast stosunkowo skomplikowaną operację arytmetyczną. Do problemu tego wrócimy w następnym rozdziale.
Jeszcze trudniej było odpowiedzieć na pytanie, ile kóz liczy obecnie stado, jeśli wcześniej liczyło 14 sztuk, a 3 sztuki zostały zarżnięte na zbliżającą się uroczystość. Jak to sprawdzić? Nie da się przecież w łatwy sposób zniszczyć karbów wykonanych na patykach do liczenia. Najlepiej po prostu przeliczyć całe stado od nowa… albo wykorzystać do tego celu palce, które przecież można łatwo zginać i prostować. Gorzej, jeżeli, jak w tym przypadku, liczonych obiektów jest więcej niż 10. Poza tym nawet odjęcie jednego obiektu oznacza przecież odliczanie wstecz, co wcale nie jest czynnością prostą do wykonania, jeżeli zazwyczaj liczymy w normalnym, rosnącym kierunku. Sztuka odejmowania okazała się więc trudniejsza od dodawania, a i dziś odjęcie 7 od 13 może sprawić problemy, zwłaszcza gdy nie mamy pod ręką nie tylko kalkulatora, ale nawet ołówka i kartki papieru. Można jedynie wyobrazić sobie, jakie problemy musiały tego typu działania arytmetyczne sprawiać naszym bezpiśmiennym przodkom.
Zauważmy też, że odejmowanie jest działaniem ograniczonym, gdyż nie każde dwie liczby naturalne można odjąć od siebie tak, aby otrzymać naturalny wynik. Pierwotnie nie stanowiło to żadnego problemu: jeśli miałem 7 kóz, nie było możliwe, by zdechło 9 z nich. Działanie zapisywane dziś jako 7 − 9 uznano by po prostu za nonsensowne, bo przecież w naturze nie zachodzą zjawiska, które można by opisać w taki sposób. Z czasem matematycy złamali to naturalne ograniczenie, ale o tym opowiemy dopiero w dalszych rozdziałach.
Mnożenie jest działaniem iteratywnym: oznacza wielokrotne dodawanie takiej samej liczby jednostek. Zamiast dodawać kolejno 4 piątki: 5 + 5 + 5 + 5, wystarczy pomnożyć liczbę 4 przez liczbę 5: 4 × 5. W obu przypadkach otrzymamy 20. Dla każdego, kto skończył kilka pierwszych klas szkoły podstawowej, to wynik oczywisty. Nie zawsze jednak tak było, a poza tym i tak mnożenie jest rachunkiem mało intuicyjnym: znalezienie wyniku polega na przypomnieniu sobie odpowiedniej pozycji z tabelki, którą każdy z nas starał się opanować pamięciowo (z różnym skutkiem).
Pojawienie się mnożenia miało zapewne związek z wyższymi formami cywilizacji, z handlem, podatkami czy sztuką wojenną. Oto przykłady konkretnych problemów, w rozwiązaniu których mnożenie okazało się bardzo pomocne. Jeśli jedną krowę możemy wymienić na 3 kozy, to ile kóz otrzymamy za 4 krowy? Podatek płacony w naturze od każdego rolnika mieszkającego w wiosce, której nadzorcą jesteśmy, wynosi 2 worki zboża rocznie. Jak dużo worków wyślemy władcy, jeśli w wiosce mieszka 19 rolników? Jeżeli w ciągu dnia nasze wojsko przejdzie 15 mil, jaką odległość pokona w ciągu tygodnia?
Wreszcie ostatnim „naturalnym” działaniem arytmetycznym jest dzielenie, mające niestety dość duże ograniczenia. Pięknie, jeżeli nasze wojsko ma do przebycie 45 mil, a dziennie przechodzi 15 – nietrudno policzyć (tj. nam nietrudno jest policzyć, nasi przodkowie musieli mieć z tym na początku olbrzymie problemy), że marszruta zajmie 3 dni. Pół biedy, jeśli do przebycia jest 50 mil: wiadomo, że do celu dojdziemy w czasie 4 dnia. Jeśli jednak mamy tylko dwie kozy, a trzech synów, nie można ich obdarować po równo, bo kóz po prostu nie starczy. Jeżeli znów kóz jest pięć, powstaje problem innego rodzaju: każdy z synów otrzyma po jednej kozie, co jednak zrobić z dwiema pozostałymi?
Dzielenie okazało się więc działaniem niezwykle kapryśnym. Nie dość, że dzielony zbiór (dzielna) musiał zawierać więcej obiektów niż ilość części (dzielnik), to jeszcze wynikiem dzielenia okazywały się często dwie liczby: oprócz „właściwego” wyniku zjawiała się reszta, z którą nie za bardzo wiadomo było, co robić. Dzięki tym własnościom dzielenie pchnęło jednak do przodu całą matematykę, a przede wszystkim naukę o liczbach, którą się tutaj zajmujemy. Zanim jednak omówimy dalszy rozwój tej nauki, wróćmy jeszcze do problemu, jakie dokładnie liczby można uznać za naturalne, a jakich nie można.