Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2019-05-13

Związki logiczne

2

Negacja

Oznaczenie: negację (zaprzeczenie) zdania p oznaczamy ~p lub ¬p.

W przeciwieństwie do wyżej omówionych związków dwóch zdań, negacja jest działaniem jednoargumentowym. Negacja zdania p ma wartość logiczną prawdy, gdy zdanie p jest fałszywe, i fałszu, gdy zdanie p jest prawdziwe. Inaczej mówiąc, negacja zmienia wartość logiczną zdania na przeciwną. Negacja może przyjąć postać nieprawda, że, np. Nieprawda, że Kowalski jest lekarzem. W języku naturalnym istnieją możliwości wyrażenia negacji w krótszy sposób: Kowalski nie jest lekarzem.

Jeżeli rozpatrzymy dane zdanie i jego negację, zawsze jedno z nich jest prawdziwe, a drugie fałszywe: p ∨ ~p (zasada tertium non datur, prawo wyłączonego środka). Prostym wnioskiem z tej zasady jest prawo sprzeczności, w myśl którego nie może być jednocześnie prawdziwe zdanie i jego zaprzeczenie: ~(p ∧ ~p). W wyniku złożenia dwóch negacji otrzymujemy zdanie wyjściowe: ~~p ≡ p (prawo podwójnego przeczenia, prawo podwójnej negacji).

Negacje związków logicznych

Negacja koniunkcji dwóch zdań odpowiada dysjunkcji tychże zdań: ~(p ∧ q) ≡ (p | q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka i Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Uwaga: prawdą jest też, że zaprzeczenie koniunkcji odpowiada alternatywie zaprzeczeń: ~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q). Równoważność ta znana jest jako pierwsze prawo de Morgana.

Negacja binegacji dwóch zdań odpowiada alternatywie tychże zdań: ~(p ↓ q) ≡ (p ∨ q). A zatem zamiast nieprawda, że ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka lub Pawła.

Negacja alternatywy dwóch zdań odpowiada binegacji tychże zdań: ~(p ∨ q) ≡ (p ↓ q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka lub Pawła odpowiada zdaniu nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła.

Uwaga: prawdą jest też, że zaprzeczenie alternatywy odpowiada koniunkcji zaprzeczeń: ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q). Równoważność ta znana jest jako drugie prawo de Morgana.

Negacja dysjunkcji dwóch zdań odpowiada koniunkcji tychże zdań: ~(p | q) ≡ (p ∧ q). A zatem zamiast nieprawda, że bądź Kowalski jest lekarzem, bądź Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam bądź Marka, bądź Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka i Pawła.

Negacja alternatywy rozłącznej dwóch zdań odpowiada równoważności tychże zdań: ~(p ⊻ q) ≡ (p ⇔ q). A zatem zamiast nieprawda, że albo Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka albo Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Negacja równoważności dwóch zdań odpowiada alternatywie rozłącznej tychże zdań: ~(p ⇔ q) ≡ (p ⊻ q). A zatem zamiast nieprawda, że Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem możemy powiedzieć także: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie nieprawda, że odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła odpowiada zdaniu odwiedziłam Marka albo Pawła.

Uwaga: zaprzeczenie równoważności odpowiada alternatywie zaprzeczeń implikacji prostej i odwrotnej: ~(p ⇔ q) ≡ (~(p ⇒ q) ∨ ~(q ⇒ p)). Można to również zapisać w postaci ~(p ⇔ q) ≡ ((p ⇏ q) ∨ (p ⇍ q)).

Negacja implikacji ~(p ⇒ q) nie odpowiada żadnemu z wymienionych związków międzyzdaniowych i można ją zapisać p ⇏ q. Negacją implikacji jest np. zdanie nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest, a więc jego wartość logiczną w zależności od wartości zdań składowych opisuje liczba binarna 0100. Innym przykładem negacji implikacji jest zdanie nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła. Zdanie to jest prawdziwe tylko wtedy, gdy osoba mówiąca odwiedziła Marka, a nie odwiedziła Pawła. W języku naturalnym najczęściej nie zauważa się tej własności negacji implikacji. Liczba binarna 0010 opisuje wartość logiczną negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można zapisać też p ⇍ q.

Uwaga: zaprzeczenie implikacji odpowiada koniunkcji pierwszego zdania i zaprzeczenia drugiego zdania: ~(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~q). Zaprzeczenie implikacji odwrotnej odpowiada koniunkcji zaprzeczenia pierwszego zdania i drugiego zdania: ~(p ⇐ q) ≡ (~p ∧ q).

Związki logiczne zawierające negacje zdań

Koniunkcja ~p ∧ q odpowiada negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można też zapisać p ⇍ q lub ~(q ⇒ p). A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, a Malinowski jest lekarzem (w języku naturalnym najczęściej: Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski jest) odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka, ale odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Koniunkcja p ∧ ~q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇒ q), którą można też zapisać p ⇏ q. A zatem zdanie Kowalski jest lekarzem i nieprawda, że Malinowski jest lekarzem (w języku naturalnym najczęściej: Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nie) odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie odwiedziłam Marka, ale nie Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Koniunkcja negacji ~p ∧ ~q odpowiada binegacji p ↓ q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem i nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka i nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nie odwiedziłam ani Marka, ani Pawła.

Binegacja ~p ↓ q odpowiada negacji implikacji ~(p ⇒ q). A zatem zdanie ani nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie ani nieprawda, że odwiedziłam Marka, ani nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Binegacja p ↓ ~q odpowiada negacji implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q), którą można też zapisać ~(q ⇒ p). A zatem zdanie ani Kowalski nie jest lekarzem, ani nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu nieprawda, że jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie ani nie odwiedziłam Marka, ani nieprawda, że odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co nieprawda, że jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Binegacja negacji ~p ↓ ~q odpowiada koniunkcji p ∧ q. A zatem zdanie ani nieprawda, że Kowalski nie jest lekarzem, ani nieprawda, że Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem. Podobnie ani nieprawda, że nie odwiedziłam Marka, ani nieprawda, że nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka i Pawła.

Alternatywa ~p ∨ q odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka lub odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q). Prawo to sprowadza się do eliminacji implikacji (każdą implikację można zastąpić odpowiednią alternatywą).

Alternatywa p ∨ ~q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q, którą można też zapisać q ⇒ p. A zatem zdanie Kowalski jest lekarzem lub nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie odwiedziłam Marka lub nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Alternatywa negacji ~p ∨ ~q odpowiada dysjunkcji p | q. A zatem zdanie nieprawda, że Kowalski jest lekarzem lub nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka lub nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Dysjunkcja ~p | q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q, którą można też zapisać q ⇒ p. A zatem zdanie bądź nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, bądź Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie bądź nie odwiedziłam Marka, bądź odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Dysjunkcja p | ~q odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie bądź Kowalski jest lekarzem, bądź nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie bądź odwiedziłam Marka, bądź nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Dysjunkcja negacji ~p | ~q odpowiada alternatywie p ∨ q. A zatem zdanie bądź nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, bądź nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie bądź nie odwiedziłam Marka, bądź nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka lub Pawła.

Alternatywa rozłączna ~p ⊻ q odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ ~q, odpowiada negacji alternatywy rozłącznej ~(p ⊻ q) (zob. wyżej) i odpowiada równoważności p ⇔ q. A zatem zdanie albo nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, albo Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu albo Kowalski jest lekarzem, albo nieprawda, że Malinowski jest lekarzem i jest także równoważne zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie albo nie odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo nie odwiedziłam Pawła i tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Alternatywa rozłączna negacji ~p ⊻ ~q odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ q. A zatem zdanie albo nieprawda, że Kowalski jest lekarzem, albo nieprawda, że Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie albo nie odwiedziłam Marka, albo Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka albo Pawła.

Równoważność ~p ⇔ q odpowiada równoważności p ⇔ ~q, odpowiada negacji równoważności ~(p ⇔ q) (zob. wyżej) i odpowiada alternatywie rozłącznej p ⊻ q. A zatem zdanie Kowalski nie jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski nie jest lekarzem i jest także równoważne zdaniu Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła i tyle, co odwiedziłam Marka albo Pawła.

Równoważność negacji ~p ⇔ ~q odpowiada równoważności p ⇔ q. A zatem zdanie Kowalski nie jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem. Podobnie nie odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co odwiedziłam Marka wtedy i tylko wtedy, gdy odwiedziłam Pawła.

Implikacja ~p ⇒ q odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ ~q (z zaprzeczenia zdania wynika drugie zdanie, gdy z zaprzeczenia drugiego wynika pierwsze) i odpowiada alternatywie p ∨ q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski nie jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski nie jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem i zdaniu Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem. Podobnie jeżeli nie odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli nie odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka i tyle, co odwiedziłam Marka lub Pawła.

Implikacja p ⇒ ~q odpowiada implikacja odwrotnej ~p ⇐ q (z jednego zdania wynika zaprzeczenie drugiego, gdy z drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego) i odpowiada dysjunkcji p | q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski nie jest lekarzem i zdaniu Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli odwiedziłam Marka, to nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to nie odwiedziłam Marka i tyle, co zdanie odwiedziłam Marka bądź Pawła.

Implikacja negacji ~p ⇒ ~q (implikacja przeciwna) odpowiada implikacji odwrotnej p ⇐ q. A zatem zdanie jeżeli Kowalski nie jest lekarzem, to Malinowski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli nie odwiedziłam Marka, to nie odwiedziłam Pawła znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Pawła, to odwiedziłam Marka.

Implikacja odwrotna negacji ~p ⇐ ~q (implikacja przeciwstawna) odpowiada implikacji p ⇒ q. A zatem zdanie jeżeli Malinowski nie jest lekarzem, to Kowalski nie jest lekarzem odpowiada zdaniu jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem. Podobnie zdanie jeżeli nie odwiedziłam Pawła, to nie odwiedziłam Marka znaczy tyle, co jeżeli odwiedziłam Marka, to odwiedziłam Pawła.

Podane wyżej prawidła można zebrać w następującej tabeli:

R oznacza tu relację logiczną (związek logiczny; zastępuje jeden z symboli ∧, ↓, ∨, ⊻, |, ⇔, ⇒, ⇐).

Ośmiokąt negacji

Przedstawiony poniżej schemat jest oryginalnym pomysłem autora tego artykułu, mającym na celu ułatwienie korzystania z reguł negacji.

Zaprezentowany tu schemat można łatwo odtworzyć, opierając się na mnemotechnicznych skojarzeniach. W ośmiokącie należy wyróżnić pionowy prostokąt związków przemiennych oraz poziomy prostokąt implikacji. W linii górnej pierwszego prostokąta umieszczono znane ze szkoły średniej związki: koniunkcję i alternatywę, w linii dolnej związki nieznane z lekcji matematyki w liceum: dysjunkcję i binegację. Rozmieszczenie tych związków podlega prostej zasadzie: u góry po lewej mamy symbol skierowany ostrzem w górę (koniunkcja), po prawej ostrzem w dół (alternatywa). Pytamy zwykle „góra czy dół”, a nie odwrotnie, i w takiej też kolejności rozmieszczono oba symbole. Pomocne są także angielskie wyrazy używane zamiast odpowiednich symboli. Umieszczamy je na schemacie w kolejności alfabetycznej: And z lewej, Or z prawej. Symbol binegacji (strzałka skierowana w dół) umieszczony jest pod symbolem alternatywy, którego ostrze również skierowane jest w dół.

Rozmieszczenie związków w prostokącie implikacji można również łatwo zapamiętać: prosta implikacja (strzałka w prawo) znajduje się po prawej stronie u góry, tuż obok znanych ze szkoły związków (koniunkcji i alternatywy). Zaprzeczenie prostej implikacji symbolizuje przekreślona strzałka skierowana w prawo, i związek ten umieszczono również po prawej stronie schematu, pod implikacją prostą. Implikacja odwrotna znajduje się w przeciwległym rogu poziomego prostokąta. Implikacja nie jest związkiem przemiennym, i z faktem tym można skojarzyć takie krzyżowe, niesymetryczne ułożenie symboli na schemacie (tzn. bez symetrii względem pionowej osi schematu).

Po odtworzeniu ośmiokąta zgodnie z podanymi powyżej skojarzeniami, możemy przystąpić do korzystania z niego. Po pierwsze, zapamiętajmy, że kierunek pionowy oznacza zwykłą negację. Najprościej zauważyć to, patrząc na symbole implikacji. Przecież p ⇏ q oznacza to samo, co ~(p ⇒ q). Analogicznie odczytamy, że zamiast ~(p ∧ q) możemy napisać p | q, a zamiast ~(p ∨ q) możemy napisać p ↓ q. Naturalnie, negować możemy również związek znajdujący się w dolnej części schematu, otrzymując związek umieszczony bezpośrednio nad negowanym. I tak, negację implikacji odwrotnej ~(p ⇐ q) możemy zapisać jako p ⇍ q, analogicznie ~(p | q) to po prostu p ∧ q, zaś ~(p ↓ q) odpowiada zapisowi p ∨ q.

Po drugie, linie poziome wyznaczają prawa de Morgana i podobne do nich zależności, które możemy określić jako rozdzielność negacji. A zatem ~(p ∧ q) równoważne jest ~p ∨ ~q, zaś ~(p ∨ q) odpowiada ~p ∧ ~q. Podobnie odczytujemy, że np. ~(p ⇒ q) odpowiada ~p ⇍ ~q, a ~(p | q) odpowiada ~p ↓ ~q.

Po trzecie, możemy przerzucić negację jednego ze zdań składowych na drugie, używając linii przekątnych każdego z prostokątów schematu. I tak, zamiast ~p ∧ q wolno nam napisać p ↓ ~q, a zamiast p ⇒ ~q zapiszemy równoważny związek ~p ⇐ q.

Ta sama metoda przekątnych służy do usuwania negacji obu argumentów. Odczytujemy tym sposobem, że ~p ⇒ ~q to nic innego jak p ⇐ q. Metody tej możemy też użyć odwrotnie, wprowadzając negację. Nieznana ze szkoły średniej binegacja staje się tym sposobem koniunkcją zaprzeczeń: p ↓ q oznacza to samo, co ~p ∧ ~q.

Po czwarte, możemy usunąć negację pierwszego z argumentów związku, korzystając ze skośnych boków ośmiokąta. Na przykład ~p ∨ q odpowiada implikacji p ⇒ q, a zamiast ~p ⇐ q możemy napisać p | q. Naturalnie prawdą jest także, że ~p ⇒ ~q odpowiada p ∨ ~q (usuwamy negację przy pierwszym argumencie, przy drugim negacja pozostaje). Dzięki tej metodzie możemy też wprowadzić przeczenie przy pierwszym zdaniu składowym, np. eliminując implikację: p ⇒ q to nic innego jak tylko ~p ∨ q.

Usuwanie negacji drugiego z argumentów związku jest także możliwe, jednak wymaga dwóch „operacji”: „skoku” po przekątnej i „ślizgu” po ukośnym boku. Np. chcąc usunąć negację z p ⇐ ~q najpierw poruszamy się po przekątnej (do zwykłej implikacji ~p ⇒ q), a następnie wzdłuż skośnego boku ośmiokąta do alternatywy p ∨ q.

Dzięki tym pięciu sposobom, ośmiokąt negacji całkowicie zastępuje tabelę negacji podaną powyżej. Możemy go zresztą użyć i do innych celów. Np. gdy ktoś zapomni „szkolnego” prawa zaprzeczenia implikacji (czemu odpowiada ~(p ⇒ q)?), może je otrzymać, jeśli pamięta, że reguły odnoszące się do koniunkcji i implikacji (prawa de Morgana) można odczytać korzystając z metody drugiej (linie poziome). Najpierw analogicznie rozdzielmy więc negację na argumenty (linia pozioma): ~(p ⇒ q) ≡ (~p ⇍ ~q). Jednak otrzymany związek nie należy do „szkolnych”. Aby się go pozbyć, użyjmy metody czwartej (skośne boki), likwidując negację przy pierwszym argumencie: (~p ⇍ ~q) ≡ (p ∧ ~q). Tym sposobem otrzymujemy znane prawo, głoszące, że zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika i zaprzeczenia następnika.

W ośmiokącie brak alternatywy rozłącznej i równoważności. Ich własności trzeba zapamiętać oddzielnie. Można też zbudować drugi ośmiokąt negacji, umieszczając te dwa związki naprzemiennie w kolejnych kątach ośmiokąta:

Można sprawdzić, że w otrzymanym ośmiokącie działają wszystkie podane wyżej metody.

Związki logiczne w informatyce

W informatyce, elektronice itd. rozpatrujemy także operacje logiczne na liczbach, zapisanych w układzie dwójkowym. Liczbami takimi mogą być bajty, czyli binarne liczby ośmiocyfrowe (ośmiobitowe). W układzie dwójkowym istnieją tylko dwie cyfry: 0 i 1, na których możemy wykonywać działania tak samo jak na wartościach logicznych zdań. Przykładem bajtu jest 10010111; jest to liczba 151 zapisana w układzie dwójkowym.

Podane symbole używane są w C i PHP. Zamiast Xor używa się czasem Eor lub ExOr. Zamiast A Iff B najczęściej używa się zapisu Not (A Xor B), czasem A ExNor B.

Implikacje nie mają w informatyce tak dużego znaczenia jak pozostałe związki logiczne, dlatego zapisu A Implies B (zamiast (Not A) Or B) używa się rzadko.

Związki logiczne w programie Mathematica

W cieszącym się dużą popularnością programie Wolfram Mathematica zastosowano następujące konwencje stosowania operatorów logicznych:

Podane operatory logiczne, z wyjątkiem operatorów negacji implikacji, mogą także łączyć większą liczbę wyrażeń niż 2, o czym będzie mowa w dalszej części.