Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2019-05-13

Związki logiczne

3

Właściwości związków logicznych

Uwaga o kolejności działań

Operacja negacji ma w logice najwyższy priorytet. A zatem np. zapis p ∧ ~q jest równoznaczny zapisowi p ∧ (~q) i oznacza, że najpierw należy wykonać działanie ~p, a dopiero później koniunkcję. Na taką właśnie kolejność jasno wskazuje także brak spacji po znaku negacji, dlatego w tego typu sytuacjach na tej witrynie nawiasów się nie stosuje.

W formułach logicznych na ogół przyjmuje się, że koniunkcja (nazywana też iloczynem logicznym) ma wyższy priorytet niż alternatywa. A zatem w wyrażeniu (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) można opuścić nawiasy i napisać po prostu p ∧ q ∨ p ∧ r. Niższy priorytet mają dysjunkcja i binegacja, przy czym przez analogię należałoby też przyjąć, że dysjunkcja (będąca negacją koniunkcji) ma wyższy priorytet niż binegacja (negacja alternatywy). Dla uniknięcia dwuznaczności, we wszystkich wzorach umieszczonych na tej witrynie stosuje się jednak nawiasy w takich przypadkach.

Za działania o najniższym priorytecie uważa się ekskluzję, równoważność i implikację. Zamiast (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) można więc po prostu napisać p ∨ q ⇔ q ∨ p. Z uwagi na czytelność formuł stosuje się jednak i tutaj nawiasy.

Elementy neutralne i odwrotne

Elementami neutralnymi są:

• 1 (prawda) w koniunkcji: (p ∧ 1) ≡ p, równoważności (p ⇔ 1) ≡ p i implikacji odwrotnej (p ⇐ 1) ≡ p,
• 0 (fałsz) w alternatywie: (p ∨ 0) ≡ p, alternatywie rozłącznej (p ⊻ 0) ≡ p i zaprzeczeniu implikacji (p ⇏ 0) ≡ p.

W zapisach tego rodzaju cyfra 1 oznacza dowolne zdanie prawdziwe, cyfra 0 – dowolne zdanie fałszywe.

Właściwości te uwidaczniają wyraźne podobieństwo alternatywy do dodawania (a + 0 = a), zaś koniunkcji do mnożenia (a · 1 = a), stąd ich alternatywne określenia, odpowiednio jako sumy i iloczynu logicznego. Prawdziwa jest także zależność (p ∧ 0) ≡ 0, analogiczna mnożeniu przez zero (a · 0 = 0). Zależność (p ∨ 1) ≡ 1 nie znajduje natomiast analogii w działaniach arytmetycznych.

Elementem odwrotnym jest:

• ten sam element w alternatywie rozłącznej: (p ⊻ p) ≡ 0,
• element przeciwny w koniunkcji: (p ∧ ~p) ≡ 0, binegacji: (p ↓ ~p) ≡ 0 i równoważności: (p ⇔ ~p) ≡ 0

Zwrotność

Zwrotność oznacza prawdziwość relacji o obu argumentach takich samych (p R p). Mówiąc nieco inaczej, zwrotne związki logiczne są prawdziwe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (tj. są prawdziwe dla p = 1 i q = 1 oraz dla p = 0 i q = 0). Przeciwzwrotne (antyzwrotne) są relacje, które są fałszywe, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną (niektórzy używają terminu „relacja azwrotna”). Jako „nonzwrotne” określa się relacje, które nie są zwrotne ani przeciwzwrotne. Wprost z tabeli wartości widać, że:

• równoważność i implikacja (prosta i odwrotna) są zwrotne: p ⇔ p, p ⇒ p, p ⇐ p.
• alternatywa rozłączna jest przeciwzwrotna, i podobnie zaprzeczenia implikacji prostej i odwrotnej: ~(p ⊻ p), ~(p ⇏ p), ~(p ⇍ p),
• pozostałe związki logiczne nie są ani zwrotne, ani przeciwzwrotne.

Przemienność

Przemienność, inaczej symetryczność, oznacza niezależność od kolejności zdań połączonych danym związkiem. Koniunkcja, binegacja, alternatywa, dysjunkcja, alternatywa rozłączna i równoważność są przemienne. A zatem np. p ∧ q znaczy to samo, co q ∧ p, co zapiszemy symbolicznie: (p ∧ q) ≡ (q ∧ p).

Implikacja natomiast nie jest przemienna (ani przeciwprzemienna), więc p ⇒ q to nie to samo, co q ⇒ p. Zachodzi natomiast kontrapozycja (transpozycja), co oznacza, że implikacja ekstensywna odpowiada implikacji przeciwstawnej: (p ⇒ q) ≡ (~q ⇒ ~p), natomiast implikacja intensywna odpowiada implikacji przeciwnej: (q ⇒ p) ≡ (~p ⇒ ~q). Kontrapozycja stanowi podstawę dowodu nie wprost.

Łączność

Właściwość ta występuje, gdy rozpatrujemy trzy zdania połączone związkiem logicznym, np. Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem. Nie ma niestety gotowego przepisu na ustalenie wartości logicznej całego zdania tego typu, w zależności od wartości zdań składowych. Możemy więc najpierw ustalić wartość logiczną związku Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem, a dopiero później wartości logiczne wyniku zestawić ze zdaniem Nowak jest lekarzem. Możemy też najpierw przeanalizować zdanie Malinowski jest lekarzem i Nowak jest lekarzem, a dopiero później zestawić wyniki ze zdaniem Kowalski jest lekarzem. Używając symboli p, q, r powiemy, że zapis p ∧ q ∧ r można rozumieć albo jako (p ∧ q) ∧ r, albo też jako p ∧ (q ∧ r). Akurat w przypadku koniunkcji nie ma to znaczenia, dlatego mówimy, że koniunkcja jest łączna. Podobnie łączne są alternatywa, alternatywa rozłączna i równoważność. Natomiast binegacja, dysjunkcja i implikacja nie są związkami łącznymi. Wartości logiczne związków trzech zdań zebrano w poniższej tabeli:

Rozdzielność

Koniunkcja jest rozdzielna względem alternatywy: (p ∧ (q ∨ r)) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)). Właściwość ta przypomina znane z arytmetyki prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c.

W logice zachodzi również rozdzielność alternatywy względem koniunkcji: (p ∨ (q ∧ r)) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)). Właściwość ta nie ma odpowiednika w arytmetyce.

Implikacja jest rozdzielna względem koniunkcji w następniku: (p ⇒ (q ∧ r)) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)). Prawdziwa jest także następująca rozdzielność: ((p ∨ q) ⇏ r) ≡ ((p ⇏ r) ∨ (q ⇏ r)).

Przechodniość

Relację R nazywamy przechodnią (tranzytywną) wtedy, gdy z prawdziwości związków p R q i q R r wynika prawdziwość związku p R r.

• koniunkcja jest relacją przechodnią: ((p ∧ q) ∧ (q ∧ r)) ⇒ (p ∧ r);
• binegacja jest relacją przechodnią: ((p ↓ q) ∧ (q ↓ r)) ⇒ (p ↓ r);
• równoważność jest relacją przechodnią: ((p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r)) ⇒ (p ⇔ r);
• implikacja jest relacją przechodnią: ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).

Prawo przechodniości implikacji nazywane jest prawem sylogizmu hipotetycznego.

Alternatywa rozłączna jest relacją przeciwprzechodnią (atranzytywną): ((p ⊻ q) ∧ (q ⊻ r)) ⇒ ~(p ⊻ r). Z prawdziwości p R q i q R r wnioskować można w tym przypadku o nieprawdziwości p R r. Innymi słowy, ((p ⊻ q) ∧ (q ⊻ r)) ⇒ (p ⇔ r).

Alternatywa i dysjunkcja nie są relacjami przechodnimi ani przeciwprzechodnimi (są więc nontranzytywne). Z prawdziwości (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) nie wynika ani prawdziwość p ∨ r, ani fałszywość tej relacji. Podobnie z prawdziwości (p | q) ∧ (q | r) nie wynika ani prawdziwość p | r, ani fałszywość tej relacji. Można natomiast wnioskować (z praw rozdzielności): ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) ⇒ (q ∨ (p ∧ r)) oraz ((p | q) ∧ (q | r)) ⇒ (q | (p ∨ r)).

Zestawienie najważniejszych właściwości związków logicznych

Wnioskowanie z prawdziwości związków

Z prawdziwości jakiegoś związku międzyzdaniowego możemy wywnioskować prawdziwość innych związków. Zachodzą następujące odpowiedniości:

1. (p ∧ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p ⇔ q))
2. (p ⇍ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⊻ q))
3. (p ⇏ q) ≡ ((p ⇐ q) ∧ (p ⊻ q))
4. (p ↓ q) ≡ ((p | q) ∧ (p ⇔ q))
5. (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q))
6. (p ⊻ q) ≡ ((p ∨ q) ∧ (p | q))

• Wobec 1 i 5, z prawdziwości koniunkcji wnioskujemy o prawdziwości alternatywy, równoważności, implikacji prostej i implikacji odwrotnej.
• Wobec 4 i 5, z prawdziwości binegacji wnioskujemy o prawdziwości dysjunkcji, równoważności, implikacji prostej i implikacji odwrotnej.
• Wobec 2 i 6, z nieprawdziwości implikacji odwrotnej wnioskujemy o prawdziwości implikacji prostej, dysjunkcji, alternatywy zwykłej i rozłącznej.
• Wobec 3 i 6, z nieprawdziwości implikacji prostej wnioskujemy o prawdziwości implikacji odwrotnej, dysjunkcji, alternatywy zwykłej i rozłącznej.
• Z prawdziwości alternatywy, dysjunkcji lub implikacji nie można wyciągnąć wniosków o prawdziwości innych związków międzyzdaniowych.

Definiowanie jednych związków przy pomocy innych

Za pomocą binegacji można zdefiniować:

• negację: ~p ≡ (p ↓ p),
• alternatywę: (p ∨ q) ≡ ~(p ↓ q) ≡ ((p ↓ q) ↓ (p ↓ q)),
• koniunkcję: (p ∧ q) ≡ (~p ↓ ~q) ≡ ((p ↓ p) ↓ (q ↓ q)).

Za pomocą dysjunkcji można zdefiniować:

• negację: ~p ≡ (p | p),
• alternatywę: (p ∨ q) ≡ (~p | ~q) ≡ ((p | p) | (q | q)),
• koniunkcję: (p ∧ q) ≡ ~(p | q) ≡ ((p | q) | (p | q)),
• implikację: (p ⇒ q) ≡ (p | (q | q)) ≡ (p | (p | q)).

Dalsze ciekawsze własności związków logicznych

Wśród właściwości związków logicznych na szczególną uwagę zasługują cztery sposoby wnioskowania, będące pochodnymi prawa sylogizmu hipotetycznego ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r):

• Modus ponendo ponens (MPP, prawo sylogizmu konstrukcyjnego, prawo odrywania, potwierdzający sposób przez potwierdzenie): wiemy, że jeżeli coś jest p, to jest też q, wiemy też, że badany obiekt jest p, wnioskujemy więc, że jest też q: ((p ⇒ q) ∧ p) ⇒ q. Innymi słowy: prawdziwość poprzednika przesądza o prawdziwości następnika.
• Modus ponendo tollens (MPT, prawo sylogizmu dysjunkcyjnego, zaprzeczający sposób przez potwierdzenie): wiemy, że coś nie jest p lub nie jest q, wiemy też, że badany obiekt jest p, wnioskujemy zatem, że nie jest q: ((~p ∨ ~q) ∧ p) ⇒ ~q. Przy pomocy dysjunkcji to samo prawo można sformułować następująco: z prawdziwości jednego ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji wynika fałszywość drugiego. Możemy to też zapisać tak: ((p | q) ∧ p) ⇒ ~q. Sposób ten wynika z prawa mówiącego, że jeżeli z pierwszego zdania wynika zaprzeczenie zdania drugiego, to ze zdania drugiego wynika zaprzeczenie pierwszego: (p ⇒ ~q) ⇒ (~p ⇐ q).
• Modus tollendo ponens (MTP, prawo sylogizmu alternatywnego, potwierdzający sposób wnioskowania przez zaprzeczenie): wiemy, że coś jest p lub q, wiemy też, że badany obiekt nie jest p, wnioskujemy zatem, że jest q: ((p ∨ q) ∧ ~p) ⇒ q. Inaczej mówiąc: z fałszywości jednego ze zdań alternatywy wnioskujemy o prawdziwości drugiego. Sposób ten wynika z prawa mówiącego, że jeżeli z zaprzeczenia pierwszego zdania wynika zdanie drugie, to z zaprzeczenia zdania drugiego wynika zdanie pierwsze: (~p ⇒ q) ⇒ (p ⇐ ~q).
• Modus tollendo tollens (MTT, prawo sylogizmu destrukcyjnego, prawo falsyfikacji, zaprzeczający sposób wnioskowania przez zaprzeczenie): wiemy, że jeżeli coś jest p, to jest też q, wiemy też, że badany obiekt nie jest q, wnioskujemy, że nie jest też p, ((p ⇒ q) ∧ ~q) ⇒ ~p. Innymi słowy: fałszywość następnika pociąga za sobą fałszywość poprzednika. Sposób ten wynika z reguły transpozycji, którą można sformułować w postaci implikacji (p ⇒ q) ⇒ (~p ⇐ ~q).

Z innych własności należy zwrócić uwagę na następujące (wśród nich wymieniono także kilka wzmiankowanych już wcześniej):

• Prawo niesprzeczności (wyłączonej sprzeczności): zdanie p nie może być jednocześnie prawdziwe i fałszywe, ~(p ∧ ~p).
• Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): prawdziwe jest dane zdanie lub jego negacja, p ∨ ~p (wobec prawa niesprzeczności w istocie zachodzi tu ekskluzja: p ⊻ ~p).
• Prawo podwójnej negacji: negacja negacji jakiegoś zdania jest tożsama zdaniu niezanegowanemu, p ≡ ~~p.
• Prawo tożsamości równoważności: każde zdanie jest równoważne samemu sobie, p ≡ p.
• Prawo tożsamości implikacji: każde zdanie implikuje samo siebie, p ⇒ p.
• Prawo idempotentności koniunkcji: p ≡ (p ∧ p) i alternatywy: p ≡ (p ∨ p); inne związki nie mają takiej właściwości.
• Pierwsze prawo de Morgana: zaprzeczenie koniunkcji jest tożsame alternatywie zaprzeczeń, ~(p ∧ q) ≡ (~p ∨ ~q).
• Drugie prawo de Morgana: zaprzeczenie alternatywy jest tożsame koniunkcji zaprzeczeń, ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q).
• Prawo negacji implikacji: zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika i zaprzeczenia następnika, ~(p ⇒ q) ≡ (p ∧ ~q).
• Prawo eliminacji implikacji: implikacja jest tożsama alternatywie zaprzeczenia poprzednika oraz (niezaprzeczonego) następnika, (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q).
• Prawo transpozycji prostej: z prawdziwości implikacji prostej wynika prawdziwość implikacji przeciwstawnej, (p ⇒ q) ⇒ (~q ⇒ ~p) (w istocie zachodzi tu równoważność, o czym wyżej).
• Prawo transpozycji złożonej: jeśli zdanie r wynika jednocześnie ze zdań p i q, i wiemy, że r jest nieprawdziwe, a p prawdziwe, wówczas wnioskujemy, że q jest nieprawdziwe, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ ((~r ∧ p) ⇒ ~q); z uwagi na przemienność koniunkcji możemy też napisać: ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ ((~r ∧ q) ⇒ ~p); ogólnie możemy powiedzieć, że jeśli zdanie r wynika jednocześnie ze zdań p i q, i wiemy, że r jest nieprawdziwe, wówczas wnioskujemy, że nieprawdziwe jest też przynajmniej jedno ze zdań p, q, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ (~r ⇒ (~p ∨ ~q)).
• Prawo eksportacji: jeśli z jednoczesnej prawdziwości zdań p i q wynika prawdziwość zdania r, to z prawdziwości p wynika prawdziwość implikacji o poprzedniku q i następniku r, ((p ∧ q) ⇒ r) ⇒ (p ⇒ (q ⇒ r)).
• Prawo importacji: jeżeli prawdą jest, że ze zdania p wynika pewna (dowolna) implikacja, to możemy wnioskować, że z prawdziwości zdania p i z prawdziwości poprzednika tej implikacji wynika prawdziwość jej następnika, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ r); prawa importacji i eksportacji są odwrotne jedno względem drugiego.
• Prawo komutacji: jeżeli prawdą jest, że ze zdania p wynika pewna (dowolna) implikacja q ⇒ r, to możemy wnioskować, że z prawdziwości poprzednika tej implikacji (q) wynika prawdziwość implikacji o poprzedniku p i następniku r, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ (q ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo Fregego (sylogizm Fregego): jeżeli prawdą jest, że z jakiegoś zdania wynika pewna (dowolna) implikacja, to możemy wnioskować, że z faktu wynikania z niego poprzednika wynika fakt wynikania z niego następnika tej implikacji, (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo rozłączania: jeżeli następnik wynika z alternatywy dwóch poprzedników, wówczas wynika z każdego z nich: ((p ∨ q) ⇒ r) ⇒ ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)).
• Prawo dodawania poprzedników (prawo łączenia): jeżeli jeden następnik wynika z dwóch poprzedników, to następnik ten wynika również z ich alternatywy, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r); prawa łączenia i rozłączania są odwrotne jedno wobec drugiego.
• Prawo mnożenia następników (prawo kompozycji): jeżeli z poprzednika wynikają dwa następniki, to wynika z tego poprzednika również ich koniunkcja, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ (q ∧ r)).
• Prawo mnożenia implikacji: koniunkcja implikacji odpowiada implikacji koniunkcji poprzedników i następników, ((p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)) ≡ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)).
• Koniunkcyjne prawo sylogizmu hipotetycznego (prawo przechodniości implikacji): jeśli następnik jednej implikacji jest poprzednikiem drugiej, wówczas z poprzednika pierwszej implikacji wynika następnik drugiej, ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r).
• Bezkoniunkcyjne prawo sylogizmu hipotetycznego: z prawdziwości dowolnej implikacji wnioskujemy, że jeśli jakieś zdanie wynika z jej następnika, to wynika też z jej poprzednika, (p ⇒ q) ⇒ ((q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)).
• Prawo nowego czynnika: z prawdziwości implikacji wnioskujemy o prawdziwości implikacji koniunkcji obu jej członów z nowym zdaniem, (p ⇒ q) ⇒ ((p ∧ r) ⇒ (q ∧ r)).
• Prawo nowego składnika: z prawdziwości implikacji wnioskujemy o prawdziwości implikacji alternatyw obu jej członów z nowym zdaniem, (p ⇒ q) ⇒ ((p ∨ r) ⇒ (q ∨ r)).
• Prawo prostego dylematu konstrukcyjnego: jeśli r wynika z dwóch innych zdań, z których co najmniej jedno jest prawdziwe, to r też jest prawdziwe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ∧ (p ∨ q)) ⇒ r.
• Prawo złożonego dylematu konstrukcyjnego: jeśli r wynika z p, zaś s wynika z q, i choć jeden z poprzedników jest prawdziwy, to r lub s jest prawdziwe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s) ∧ (p ∨ q)) ⇒ (r ∨ s).
• Prawo prostego dylematu destrukcyjnego: jeśli z p wynikają q i r, i wiemy, że jedno z nich jest fałszywe, to p też jest fałszywe, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) ∧ (~q ∨ ~r)) ⇒ ~p.
• Prawo złożonego dylematu destrukcyjnego: jeśli z p wynika z r, zaś z q wynika s, i choć jeden z następników jest fałszywy, to p lub q jest fałszywe, ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s) ∧ (~r ∨ ~s)) ⇒ (~p ∨ ~q).
• Prawo addycji koniunkcji (prawo dołączania koniunkcji): prawdziwa jest koniunkcja dwóch zdań prawdziwych, ((p) ∧ (q)) ⇒ (p ∧ q).
• Prawo symplifikacji koniunkcji (prawo opuszczania koniunkcji, prawo pochłaniania dla koniunkcji): z prawdziwości koniunkcji badanego zdania z dowolnym innym należy wnioskować o jego prawdziwości, (p ∧ q) ⇒ p.
• Prawo addycji alternatywy (prawo dołączania alternatywy, prawo pochłaniania dla alternatywy): prawdziwa jest alternatywa zdania prawdziwego i dowolnego innego, p ⇒ (p ∨ q).
• Prawo symplifikacji alternatywy (prawo opuszczania alternatywy): z prawdziwości alternatywy badanego zdania z dowolnym zdaniem nieprawdziwym należy wnioskować o jego prawdziwości, ((p ∨ q) ∧ ~q) ⇒ p.
• Prawo pełnego pochłaniania dla koniunkcji: (p ∨ (p ∧ q)) ≡ p.
• Prawo pełnego pochłaniania dla alternatywy: (p ∧ (p ∨ q)) ≡ p.
• Prawo Claviusa: zdanie wynikające ze swej negacji jest prawdziwe, (~p ⇒ p) ⇒ p (formułowane także w postaci: jeśli ze zdania wynika jego negacja, to jest ono prawdziwe, (p ⇒ ~p) ⇒ p).
• Prawo symplifikacji implikacji (prawo charakterystyki prawdy, prawo poprzedzania): zdanie prawdziwe wynika z każdego innego zdania, p ⇒ (q ⇒ p).
• Prawo przepełnienia: ze zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie, p ⇒ (~p ⇒ q).
• Pierwsze prawo Dunsa Szkota (prawo charakterystyki fałszu): ze zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie, ~p ⇒ (p ⇒ q).
• Drugie prawo Dunsa Szkota: z koniunkcji dowolnego zdania i jego zaprzeczenia wynika dowolne inne zdanie, (p ∧ ~p) ⇒ q.
• Prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum): jeżeli ze zdania p wynika zarówno zdanie q, jak i jego zaprzeczenie, to p jest fałszywe, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇒ ~q)) ⇒ ~p.
• Alternatywy rozłączne danego zdania z dwoma innymi zdaniami mają różną wartość logiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jedno z tych zdań jest prawdziwe, a drugie fałszywe: ((p ⊻ r) ⊻ (q ⊻ r)) ≡ (p ⊻ q), zwykle zapisywana w postaci ((p ⊻ r) ≠ (q ⊻ r)) = (p ⊻ q).
• Alternatywa rozłączna odpowiada alternatywie zaprzeczeń implikacji prostej i odwrotnej. Właściwość tę można to zapisać rozmaicie, np. (p ⊻ q) ≡ ((~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)) ≡ (~(p ⇒ q) ∨ ~(p ⇐ q)) ≡ ((p ⇏ q) ∨ (p ⇍ q)).
• Prawo symetrii równoważności: prawdziwość równoważności nie zależy od kolejności obu zdań nią połączonych, (p ⇔ q) ≡ (q ⇔ p).
• Prawo addycji (dołączania) równoważności: prawdziwość jednocześnie implikacji prostej i odwrotnej oznacza, że zachodzi równoważność, ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)) ≡ (p ⇔ q).
• Pierwsze prawo zastępowania (eliminacji) równoważności (prawo symplifikacji równoważności, prawo opuszczania równoważności): równoważność można wyrazić w postaci koniunkcji implikacji prostej i odwrotnej, (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)).
• Drugie prawo zastępowania (eliminacji) równoważności: równoważność jest prawdziwa, gdy oba zdania są jednocześnie prawdziwe lub jednocześnie fałszywe: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)).
• Prawo negacji równoważności: zdania nie są równoważne, gdy mają różną wartość logiczną (jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe), ~(p ⇔ q) ≡ ((p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)).

Uwaga. Odczytywanie praw logiki może sprawiać poważne trudności początkującym. I tak, niektóre przedstawione wyżej zapisy symboliczne wydają się z pozoru kłócić z ich sformułowaniem słownym. Tak jednak nie jest. Należy zwłaszcza zwrócić uwagę na sposób odczytywania implikacji stanowiącej esencję danego prawa. Odczytując taką implikację, orzekamy o prawdziwości zarówno poprzednika, jak i następnika, a następnie upraszczamy nasze sformułowanie. Np. zapis p ⇒ (q ⇒ p) należy odczytać początkowo: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to jest prawdą, że z dowolnego zdania q wynika zdanie p. Język naturalny pozwala na przestawienie zdań składowych implikacji pod warunkiem zachowania spójnika jeżeli we właściwym miejscu lub przy wyraźnym zaznaczeniu, co wynika z czego, dlatego powiemy: jeżeli zdanie p jest prawdziwe, to zdanie p wynika ze zdania q. Kolejne uproszczenie to zastąpienie zdania warunkowego przydawką: zdanie prawdziwe p wynika z dowolnego zdania q. Na końcu pozbywamy się literowych oznaczeń zdań, nazywając zdanie p po prostu zdaniem prawdziwym, zaś zdanie q innym zdaniem: zdanie prawdziwe wynika z każdego innego zdania.

Prawa logiczne i właściwości związków logicznych są tautologiami. Termin ten oznacza, że pozostają one zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznej zdań składowych (p, q, r).