Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2023-03-22
Zdanie w logice oznacza stwierdzenie, że jest tak a tak, bądź że nie jest tak a tak. Zdanie w sensie logicznym to zawsze tylko zdanie oznajmujące, którym można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Weźmy jako przykład dwa zdania:
p = Kowalski jest lekarzem
q = Malinowski jest lekarzem
Zdania mogą być połączone spójnikami i mogą dzięki temu tworzyć związki logiczne. Warto sięgnąć do dobrych podręczników logiki po szczegóły (np. Kraszewski Z., Logika, PWN, Warszawa 1984, lub Ziembiński Z., Logika praktyczna, PWN, Warszawa 1994, lub Widła T., Zienkiewicz D., Logika, Wydawnictwo C.H.Beck, Warszawa 2018). Poniżej przedstawiono listę tych związków.
Oznaczenie: p ∧ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli obaj są lekarzami. Fałsz, gdy choć jeden z nich nie jest lekarzem.
Koniunkcja jest więc prawdziwa tylko wtedy, gdy oba jej człony są (jednocześnie) prawdziwe. Na określenie koniunkcji używa się także terminów współprawdziwość lub iloczyn logiczny. W języku naturalnym oprócz spójnika i często koniunkcję wyrażają także a, oraz, lecz, ale, chociaż, mimo że, zaś. Spójniki te nie są w pełni zamienne, gdyż język naturalny wyraża nie tylko związki prawdziwościowe, ale i treściowe (które logika nie interesują). W informatyce i elektronice koniunkcję wyraża spójnik And. Niekiedy koniunkcję oznacza się p · q.
Oznaczenie: p ↓ q
Przykład: Ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli żaden z nich nie jest lekarzem. Fałsz, gdy choć jeden z nich jest lekarzem.
Binegacja (lub binegacja Peirce’a, żargonowo znana też jako strzałka Peirce’a od oznaczającego ją symbolu) jest koniunkcją negacji. Współczesny język polski wymaga tu zmiany formy czasownika na przeczącą, wyrażenia z formą twierdzącą czasownika są dziś wyraźnie przestarzałe (jak cytowane w WSPP zdanie ani chcę, ani umiem odejść od ciebie). W analizie logicznej nie wolno zapominać, że partykuła nie nie jest częścią zdania składowego. Jeśli więc p = Kowalski jest lekarzem, a q = Malinowski jest lekarzem, wówczas p ↓ q = ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Czasami występują inne konstrukcje, jak nie… ani…, np. nie umiał śpiewać ani tańczyć (błędne byłoby nie… i…, np. ! nie umiał śpiewać i tańczyć), albo nie… ale też nie…, np. nie był dziś zbyt wesoły, ale też się nie smucił. Na określenie binegacji używa się także terminów współfałszywość lub negacja łączna. W informatyce i elektronice binegację wyraża spójnik Nor. Niekiedy binegację oznacza się p ⊽ q.
Uwaga: systemy logiczne często nie rozpatrują binegacji jako odrębnego związku i zastępują ją negacją alternatywy.
Oznaczenie: p ∨ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, jeśli jeden z nich jest lekarzem lub obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.
Alternatywa łączy dwa zdania kategoryczne szczegółowe o odmiennej jakości. Np. prawdziwe są zdania: w każdej grupie istnieją ludzie będący lekarzami lub ludzie niebędący lekarzami (zdanie to pozostaje prawdziwe, gdy grupa składa się wyłącznie z lekarzy, gdy tylko niektórzy jej członkowie są lekarzami, a także wówczas, gdy nie ma w niej ani jednego lekarza); na określonym obszarze obejmującym rzeki niektóre z nich są spławne lub niektóre nie są spławne; na ilustracji przedstawiającej trójkąty niektóre z nich są równoramienne lub niektóre nie są równoramienne.
W języku naturalnym spójnik lub nie zawsze oznacza rzeczywiście alternatywę. Mówiący czasem chcą tylko zwrócić uwagę, że prawdziwe może być albo zdanie p, albo zdanie q, i nie chcą lub nie mogą wykluczyć prawdziwości obu tych zdań jednocześnie. Dla uniknięcia niejednoznaczności należałoby więc powiedzieć na przykład lekarzem jest Kowalski, Malinowski lub obaj. Zwyczaj pisania lub/i, jak np. lekarzem jest Malinowski lub/i Kowalski nie jest natomiast godny polecenia: po pierwsze jest to wyraz niewolniczego naśladowania tradycji obcej (angielskiej), po drugie zdania takiego nie da się przecież przeczytać. Dla odróżnienia od następnych związków logicznych alternatywę nazywa się także alternatywą zwykłą, niewyłączającą, niewykluczającą lub nierozłączną. Używa się także terminów niewspółfałszywość, podprzeciwieństwo logiczne lub suma logiczna. W informatyce i elektronice alternatywę wyraża spójnik Or. Niekiedy alternatywę oznacza się p + q.
Oznaczenie: p | q
Przykład: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy najwyżej jeden z nich jest lekarzem, to znaczy albo Kowalski, albo Malinowski, albo żaden z nich. Fałsz, gdy obaj są lekarzami
Dysjunkcja łączy dwa zdania kategoryczne ogólne o odmiennej jakości. Np. prawdziwe są zdania: w każdej grupie ludzi co najmniej wszyscy są lekarzami, bądź nikt nie jest lekarzem (oba stwierdzenia nie mogą być jednocześnie prawdziwe, natomiast mogą być oba fałszywe lub jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe); na określonym obszarze obejmującym rzeki co najwyżej wszystkie z nich są spławne, bądź żadne nie są spławne; na ilustracji przedstawiającej trójkąty co najwyżej wszystkie są równoramienne, bądź żadne nie są równoramienne.
Odróżnienie dysjunkcji (zwanej też czasem dysjunkcją Sheffera, a żargonowo także kreską Sheffera) od alternatywy rozłącznej sprawia trudności autorom wielu polskich słowników i encyklopedii. Autorzy ci niesłusznie utożsamiają oba pojęcia. Co gorsza, w źródłach anglojęzycznych (i niekompetentnie tłumaczonych z angielskiego) termin „dysjunkcja” odnosi się nawet do alternatywy zwykłej. Kłopoty leksykografów z dysjunkcją biorą się być może stąd, że trudno ją oddać w języku naturalnym. Niektórzy logicy (jak Z. Kraszewski) proponują tu pojedynczy spójnik albo, inni proponują spójnik złożony co najwyżej… albo…, który jest bardziej wyrazisty i łatwiej zrozumiały. W języku prawniczym dysjunkcję wyraża spójnik bądź… bądź… (także pojedyncze bądź), zrozumiały byłby też spójnik złożony co najwyżej… bądź… Istnieje także możliwość, aby dysjunkcję wyrazić spójnikiem może… (a) może…, np. może Kowalski jest lekarzem, a może Malinowski jest lekarzem; dla jasności odbioru znaczenia dysjunktywnego można dodać a może żaden z nich.
Na określenie dysjunkcji używa się również określeń niewspółprawdziwość lub przeciwieństwo logiczne. W rachunku prawdopodobieństwa używa się terminów rozłączność lub wykluczanie się, podczas gdy przeciwieństwo oznacza alternatywę rozłączną. W informatyce i elektronice dysjunkcję wyraża spójnik Nand. Symbolem tego związku zamiast kreski prostej bywa także ukośnik: p / q. Niekiedy dysjunkcję oznacza się także p ⊼ q.
Uwaga: w wielu systemach logicznych nie rozpatruje się dysjunkcji jako odrębnego związku i zastępuje negacją koniunkcji.
Oznaczenie: p ⊻ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy dokładnie jeden z nich jest lekarzem. Fałsz, gdy obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.
Alternatywa rozłączna łączy dwa zdania kategoryczne o jednocześnie odmiennej jakości (jest – nie jest) i ilości (każdy – niektóry). Np. prawdziwe są zdania: w każdej grupie ludzi albo wszyscy są lekarzami, albo niektórzy nie są lekarzami (oba stwierdzenia nie mogą być jednocześnie prawdziwe ani jednocześnie fałszywe), prawdą jest też, że w każdej grupie ludzi albo niektórzy są lekarzami, albo nikt nie jest lekarzem; na określonym obszarze obejmującym rzeki albo wszystkie z nich są spławne, albo niektóre nie są spławne; na określonym obszarze obejmującym rzeki albo niektóre z nich są spławne, albo żadne nie są spławne; na ilustracji przedstawiającej trójkąty albo wszystkie są równoramienne, albo niektóre nie są równoramienne; na ilustracji przedstawiającej trójkąty albo niektóre są równoramienne, albo żadne nie są równoramienne.
W logice należy dokładnie rozróżniać spójnik lub od spójnika albo i od spójnika bądź. Każdy z nich ma inne znaczenie, a co gorsza, różni logicy proponują różne konwencje. U Ziembińskiego alternatywę rozłączną może wyrazić pojedyncze albo, za to u Kraszewskiego wymagany jest spójnik podwójny albo… albo…, podczas gdy pojedyncze albo wyraża dysjunkcję. Odróżnianie znaczenia spójnika pojedynczego od podwójnego jest jednak zdecydowanie złym pomysłem: najlepiej byłoby przyjąć, że pojedynczy i podwójny spójnik logiczny wyraża ten sam związek. Najsłuszniej zatem przyjąć, że i alternatywę rozłączną może wyrazić pojedynczy spójnik albo lub złożony albo… albo…, i taką wersję tu przyjmujemy.
Na określenie alternatywy rozłącznej używa się także terminów alternatywa wykluczająca, niezgodność logiczna, sprzeczność logiczna, kontrawalencja, różnica symetryczna lub ekskluzja. W rachunku prawdopodobieństwa mówi się o przeciwieństwie, co jest mylące. W informatyce i elektronice alternatywę rozłączną wyraża spójnik Xor, rzadziej Eor, czasem także ExOr. Ponieważ alternatywa rozłączna oznacza różną wartość logiczną zdań składowych, zapisuje się ją też czasem p ≠ q lub p ⊥ q.
A oto na czym w istocie polega różnica między alternatywą rozłączną a dysjunkcją. Alternatywa rozłączna Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem jest fałszywa, jeżeli żaden z wymienionych panów nie jest lekarzem. Natomiast dysjunkcja Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem pozostaje wówczas prawdziwa.
Choć podręczniki logiki z niejasnych powodów milczą na ten temat, alternatywa rozłączna może być nie tylko związkiem prawdziwościowym – zdarzenie opisane w jednym ze zdań składowych może bowiem być warunkiem (koniecznym i wystarczającym) niezajścia zdarzenia wyrażanego w drugim zdaniu. Wówczas zamiast spójnika albo stosuje się chyba że, np. pójdę na spacer, chyba że się rozpada. Sens takiej wypowiedzi jest następujący: albo deszcz spadnie i wówczas nieprawdą jest, że pójdę na spacer, albo też deszcz nie spadnie, ale wówczas na pewno pójdę pospacerować. Mamy tu więc rzeczywiście do czynienia z ekskluzją. Kolejności zdań nie można zmienić (bo choć logicznie oba są równoważne, to jednak nie są równoważne treściowo). Spójnik chyba że może zostać zastąpiony przez o ile nie (choć słownikarze nie słyszeli o takim użyciu tego spójnika) i taka operacja umożliwia przesunięcie zdania warunkowego (wraz ze spójnikiem) na pierwsze miejsce, choć wówczas sens przestaje być już tak przejrzysty, np. o ile się nie rozpada, pójdę na spacer. W angielskim stosuje się w tym znaczeniu spójnik unless, uważany za synonim if not. Polskie jeżeli nie powinno jednak wyrażać nieco inny związek niż o ile nie – implikację z zaprzeczonym poprzednikiem, równoważną alternatywie zwykłej, a nie rozłącznej.
Uwaga: w pewnych systemach logicznych zamiast alternatywy rozłącznej rozpatruje się negację równoważności. Dlatego właśnie używa się zapisu p ⇎ q lub p ≢ q.
Oznaczenie: p ⇔ q
Przykład: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda. gdy obaj są lekarzami lub gdy żaden nie jest lekarzem. Fałsz, gdy lekarzem jest tylko jeden z nich.
Równoważność dwóch zdań oznacza, że mają one tę samą wartość logiczną: albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe. W języku naturalnym dla wyrażenia równoważności używa się form krótszych, np. p [wtedy], gdy q, a także gdy p, [wtedy] q. W logice takich skróceń unika się z uwagi na możliwość pomieszania równoważności z implikacją (można jednak powiedzieć wtedy i tylko, gdy lub zawsze i tylko, gdy).
Gdy jedno ze zdań pozostających w związku równoważności wyraża warunek (konieczny i wystarczający) zajścia zdarzenia podanego w drugim zdaniu, wówczas używa się spójnika o ile. Mimo że takie jego użycie jest powszechne we współczesnym języku polskim, nie słyszeli o nim słownikarze. Na przykład zdanie pomogę, o ile będzie to możliwe wyraża równoważność: jeśli będzie to możliwe, to na pewno pomogę, ale jeśli nie będzie to możliwe, to na pewno nie pomogę. Kolejność zdań można zmienić (wraz ze spójnikiem), ale wówczas sens staje się mniej przejrzysty: o ile będzie to możliwe, pomogę.
Na określenie równoważności używa się także terminów ekwiwalencja, zamienność lub zgodność logiczna. Równoważność wyraża spójnik Iff, w elektronice używa się także ExNor. W źródłach polskojęzycznych używa się czasem form skróconych wtw (= wtedy i tylko wtedy) lub gddy (utworzone od gdy, analogiczne do ang. iff = if and only if). Czasem zapisuje się ją zwykłym znakiem równości p = q lub symbolem równości tożsamościowej p ≡ q.
Znak ≡ na tej witrynie oznacza identyczność logiczną czyli odpowiedniość logiczną, to jest taką samą wartość logiczną po obu stronach dla każdej możliwej wartości zmiennych. W języku naturalnym wyrażać ją może np. spójnik czyli. Choć identyczność często (nie zawsze) jest praktycznie równoznaczna z równoważnością logiczną, nie jest jednak właściwym związkiem logicznym, gdyż nie analizujemy wszystkich jego możliwych wartości w zależności od argumentów. Różnice między tymi pojęciami okażą się w dalszej części artykułu.
Oznaczenie: p ⇒ q
Przykład: Jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem.
Objaśnienie: Prawda, gdy obaj są lekarzami. Prawda, gdy Kowalski nie jest lekarzem, bez względu na to, czy wówczas Malinowski jest lekarzem, czy nie. Fałsz tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest.
Wśród zdań kategorycznych zdanie ogólne implikuje zdanie szczegółowe. Dlatego prawdą są następujące przykładowe zdania: jeżeli w pewnej grupie ludzi wszyscy są lekarzami, to w grupie tej niektórzy są lekarzami (drugie stwierdzenie wynika z pierwszego, w logice „niektórzy” oznacza tylko część grupy lub wszystkich jej członków), prawdą jest też, że jeżeli w pewnej grupie ludzi żaden nie jest lekarzem, to w grupie tej niektórzy nie są lekarzami; jeżeli na określonym obszarze obejmującym rzeki wszystkie z nich są spławne, to niektóre są spławne; jeżeli na określonym obszarze obejmującym rzeki żadne z nich nie są spławne, to niektóre nie są spławne; jeśli na ilustracji przedstawiającej trójkąty wszystkie są równoramienne, to niektóre są równoramienne; jeśli na ilustracji przedstawiającej trójkąty żadne nie są równoramienne, to niektóre nie są równoramienne
Implikacja (inaczej wynikanie lub podporządkowanie logiczne) jest jedynym związkiem logicznym (występującym w różnych odmianach), w którym istotna jest kolejność zdań. Implikacja jest więc związkiem nieprzemiennym, podczas gdy pozostałe związki są przemienne. W języku potocznym często nie uświadamiamy sobie tej własności implikacji, a słowo jeżeli często jest używane w zupełnie innym znaczeniu.
Zdanie następujące po jeżeli nazywa się poprzednikiem (racją), zdanie następujące po to nazywa się następnikiem (następstwem; następnik, czyli zdanie q, jest podporządkowany poprzednikowi, czyli zdaniu p; przy pozostałych związkach logicznych zwykle nie używa się tych pojęć). Implikacja nie jest odwracalna: ze zdania jeżeli p, to q nie wynika wcale, że jeżeli q, to p. Nie wolno więc zamieniać poprzednika z następnikiem. A zatem zdanie jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem nie jest równoważne podanemu przykładowi; jest to oczywiście również implikacja, którą można nazwać implikacją odwrotną względem podanej. Implikację odwrotną q ⇒ p zapisuje się też p ⇐ q. Czasami do oznaczania implikacji używa się pojedynczych strzałek (p → q, p ← q).
W sytuacji, gdy poprzednik jest fałszywy, implikacja jest prawdziwa bez względu na to, co orzeka następnik. Na przykład zdanie jeżeli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer jest prawdziwe w sytuacji, gdy padało, a Irena mimo to poszła się przejść. Byłoby ono także prawdziwe, gdyby Irena w wypadku ulewy pozostała w domu.
Prawdziwe jest także zdanie Jeżeli Polska leży w Azji, to Berlin jest jej stolicą. Ponieważ poprzednik jest tu fałszywy, całe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, mimo że przecież Berlin nie jest stolicą Polski. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy. Ta właściwość implikacji również bywa nieuświadamiana przez mówiących. Symbolicznie można ją zapisać w postaci prawa eliminacji implikacji: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q).
Dodanie tylko przed spójnikiem jeżeli, gdyby, gdy (nie po nim!) zmienia kierunek implikacji. Na przykład zdanie Tylko jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem jest fałszywe, gdy Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski nim jest. W każdym innym wypadku jest to zdanie prawdziwe. W szczególności niczego nie możemy powiedzieć o Kowalskim, jeżeli wiemy, że Malinowski lekarzem nie jest.
Implikacja jest trudnym związkiem logicznym i często kłóci się z intuicją. Gdy następnik wpływa w jakiś sposób na zajście poprzednika (patrz też niżej), używa się zdań o postaci:
Obrazowo można powiedzieć, że strzałka implikacji zaczyna się od zdania składowego poprzedzonego słowem zawsze i jest skierowana w stronę zdania poprzedzonego słowem tylko. Dlatego zdanie Irena pójdzie na spacer tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pozostać w domu niezależnie od pogody, ale jeśli już pójdzie na spacer, to tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (p ⇒ q). To samo wyraża zdanie Tylko jeśli będzie ładna pogoda, Irena pójdzie na spacer (q ⇐ p). Z kolei zdanie Irena pójdzie na spacer na pewno wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pójść na spacer niezależnie od pogody, ale jeśli już będzie ładna pogoda, to na pewno na spacer pójdzie, a zatem implikację odwrotną (p ⇐ q). To samo wyraża nieco sztuczne zdanie Na pewno jeśli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer (q ⇒ p).
Jak łatwo zauważyć, jednoczesną prawdziwość implikacji prostej i odwrotnej wyrazi stwierdzenie Irena pójdzie na spacer zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (równoważność p ⇔ q), rzadko używane w takiej postaci w języku naturalnym. Częściej mówi się po prostu Irena pójdzie na spacer, gdy będzie ładna pogoda. Wynika stąd, że o ile spójnik warunkowy jeśli występować może (i powinien) w implikacji, o tyle spójnik czasowy gdy użyty bez dodatkowych określeń (tylko lub zawsze) wyraża równoważność, a nie implikację.
Implikację utożsamia się ze zdaniem warunkowym, co jednak nie zawsze jest prawdą. Czasem warunek (wystarczający) rzeczywiście wyrażony jest w poprzedniku, np. jeżeli w mieście funkcjonuje port rzeczny, to rzeka przepływająca przez to miasto jest spławna. Czasem warunek (konieczny) wyrażony jest w następniku, np. w organizmie występuje choroba zakaźna tylko jeśli obecny jest drobnoustrój wywołujący tę chorobę. Czasem wreszcie jest tak, że implikacja w ogóle nie zawiera warunku, np. w Poznaniu jest funkcjonujący port rzeczny, z czego wynika, że przepływająca przez miasto rzeka jest spławna.
Jak widać z podanych przykładów, w języku naturalnym jest zupełnie inaczej niż chcieliby logicy, i implikację prostą p ⇒ q wyrażają różne konstrukcje zależnie od istnienia i rodzaju warunku. I tak, implikacje z warunkiem wystarczającym (w poprzedniku) wyrażane są konstrukcjami:
Implikacje z warunkiem koniecznym (w następniku) wyrażane są konstrukcjami:
Implikacje niezawierające warunku wyrażane są konstrukcjami:
Implikację odwrotną p ⇐ q z warunkiem wystarczającym wyrażają konstrukcje:
Implikację odwrotną z warunkiem koniecznym wyrażają konstrukcje:
Implikację odwrotną niezawierającą warunku wyrażają konstrukcje:
Implikacjami są najczęściej obietnice (obiecuję, że jeżeli p, to q), zapewnienia (zapewniam, że jeśli p, to q), jednak wiele innych wypowiedzi typu jeżeli p, to q ma raczej charakter równoważności niż implikacji (słuszne byłoby jednak używać wówczas spójnika o ile zamiast jeżeli). W intuicyjnym rozumieniu implikacja oznacza raczej związek przyczynowo-skutkowy, dlatego zdanie z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji jest (prawdziwą!) implikacją w sensie logicznym, ale nie w sensie intuicyjnym. Domagamy się także niekiedy, aby zaistnienie poprzednika następowało przed zaistnieniem następnika (np. jeżeli Maria przyjedzie, pójdę z nią do parku), lub przynajmniej aby trwanie sytuacji opisanej w poprzedniku zaczęło się wcześniej niż zajście następnika (np. jeżeli będzie ładna pogoda, pójdę z Marią do parku). Jednak dla tzw. implikacji materialnej, a więc w sensie używanym w logice, nie stawia się takich warunków. Dlatego np. zdanie jeżeli pójdę z Marią do parku, to ona przyjedzie jest logicznie zupełnie poprawne, choć sprawia wrażenie językowego absurdu. W języku naturalnym powiedzielibyśmy zapewne jeżeli pójdę z Marią do parku, to będzie oznaczało, że ona przyjechała, albo też pójdę z Marią do parku tylko wtedy, gdy przyjedzie.
Uwaga: oprócz implikacji prostej (p ⇒ q: jeżeli p, to q), zwanej także ekstensywną, oraz implikacji odwrotnej (p ⇐ q: jeżeli q, to p), zwanej także intensywną, rozpatruje się także implikację przeciwną (~p ⇒ ~q: jeżeli nie p, to nie q) oraz implikację przeciwstawną (kontrapozycję, ~p ⇐ ~q: jeżeli nie q, to nie p). Implikacja przeciwna odpowiada implikacji odwrotnej, zaś implikacja przeciwstawna implikacji prostej. O związkach tych będzie mowa poniżej.
| p | q | p ∧ q | p ↓ q | p ∨ q | p | q | p ⊻ q | p ⇔ q | p ⇒ q | p ⇐ q | p ⇏ q | p ⇍ q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
(1 – prawda, 0 – fałsz)
Podane w tabeli związki międzyzdaniowe stanowią 10 spośród 16 możliwych zestawień prawdy i fałszu. Układy te można opisać w postaci liczb binarnych 1000, 0001, 1110, 0111, 0110, 1001, 1011, 1101, 0100 i 0010 (por. z zawartością tabeli). W logice nie rozpatruje się związków, których wartość logiczna nie zależy od wartości zdań składowych p i q (a więc związków 1111 i 0000). Nie rozpatruje się także związków o wartości niezależnej od wartości jednego ze zdań składowych (a więc związków 1100, 0011, 1010, 0101). Tym sposobem z możliwych 16 układów pozostaje tylko 10. O zaprzeczeniu implikacji prostej (p ⇏ q) i odwrotnej (p ⇍ q) będzie mowa poniżej.
Pani Maria jest osobą niezwykle prawdomówną, ponadto wypowiada zdania, ściśle przestrzegając znaczenia spójników. Właśnie wracała do domu, gdy została zagadnięta przez swojego sąsiada, pana Jana. Pan Jan zadał jej pytanie, skąd wraca. Czego dowiedział się pan Jan w sytuacji, gdy pani Maria odpowiedziała:
Częstym zjawiskiem w języku naturalnym jest elipsa – pominięcie powtarzających się lub domyślnych fragmentów wypowiedzi. Przykłady widzieliśmy w wypowiedziach pani Marii. Na przykład jej stwierdzenie odwiedziłam Marka albo Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła.
W języku naturalnym spory problem stwarzają implikacje i równoważności, które często miesza się ze sobą, co oczywiście nie jest dopuszczalne w logice. Zwróćmy w szczególności uwagę, że umieszczenie zdania warunkowego na drugim miejscu nadaje całości inne znaczenie: wypowiedź odwiedziłam Pawła, jeżeli odwiedziłam Marka byłaby zapewne zrozumiana tak, że albo pani Maria była u obu tych panów, albo u żadnego z nich (czyli jako równoważność, a nie implikacja). W rzeczywistości różnica między oboma związkami jest zachowana: na implikację wskazuje konstrukcja jeżeli… to…, natomiast na równoważność sam spójnik jeżeli. Dla logika różnica ta jest za mała i grozi omyłką. Dlatego oba człony równoważności łączy się przy pomocy nienaturalnego wtedy i tylko wtedy, gdy. Język naturalny jest bardziej zwięzły, ale też możliwość nieporozumienia jest większa.
Na przykład, zdanie jeżeli będzie padać, to zostanę w domu informuje tylko, co się stanie w razie niepogody. Nie wiadomo natomiast, co się wydarzy, jeśli będzie ładna pogoda. Zdanie to jest zatem implikacją, choć w praktyce okazuje się, że wielu ludzi i tak nada mu znaczenie równoważności. Za to zdanie zostanę w domu, jeżeli będzie padać jest już powszechnie rozumiane jako równoważność: ładna pogoda oznaczać będzie pójście na spacer, a deszcz – pozostanie w domu.
Często jest też tak, że równoważność logiczna pozbawiona jest w języku naturalnym jakiegokolwiek spójnika. Dzieje się tak często w tzw. stwierdzeniach ogólnych, także jeśli dotyczą one obszaru nauki. Na przykład zdanie ciało, na które działa stała siła, porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym rozumiane jest jako równoważność, choć nie ma tu ani ścisłego „wtedy i tylko wtedy”, ani nawet potocznego „jeżeli”.
wystarczający ⇒ konieczny
Zależność między związkiem przyczynowo-skutkowym a związkiem warunkowym może być rozmaita. Czasami bywa tak, że zaistnienie faktu p powoduje automatycznie zaistnienie faktu q. Zdarzenie, które miało miejsce wcześniej, lub też stwierdzony wcześniej fakt, jest warunkiem wystarczającym albo dostatecznym zdarzenia późniejszego, albo faktu dotąd wprost niestwierdzonego. Używając terminów logicznych powiemy w tym wypadku, że poprzednik p jest warunkiem wystarczającym następnika q: p ⇒ q (implikacja prosta czyli implikacja ekstensywna). Zauważmy też, że z faktu niezajścia zdarzenia q możemy wnioskować o niezajściu zdarzenia będącego jego warunkiem wystarczającym (prawo kontrapozycji lub transpozycji): ~p ⇐ ~q (implikacja przeciwstawna). Związek zawierający warunek wystarczający (krótko: związek wystarczający) jest więc szczególnym przypadkiem implikacji. Przykłady warunków wystarczających:
Zauważmy, że warunek wystarczający p nie zawsze musi być spełniony, a mimo to zdarzenie q i tak zajdzie. Rzeka może być spławna mimo braku portu rzecznego. Samolot może nie wykonać swojej misji także wskutek wielu innych zdarzeń, choćby złych warunków pogodowych. Walenie są ssakami, a mimo to są bezwłose. Istnieją chiralne obiekty, posiadające dwukrotną oś symetrii (zob. tutaj). Liczba 15 jest podzielna przez 5, ale nie przez 10. Istnienie maksimum funkcji w danym punkcie nie oznacza jeszcze, że funkcja w ogóle ma w tym punkcie pierwszą i drugą pochodną.
konieczny ⇐ wystarczający
Czasami bywa jednak tak, że zaistnienie faktu p nie powoduje wcale automatycznego zaistnienia faktu q, jednak fakt p jest warunkiem koniecznym albo niezbędnym (warunkiem sine qua non) faktu q. Gdyby bowiem fakt p nie zaszedł, fakt q również na pewno nie zajdzie: ~p ⇒ ~q (implikacja przeciwna). To samo możemy także zapisać w innej postaci: p ⇐ q (implikacja odwrotna czyli implikacja intensywna). Zwróćmy uwagę, że warunek konieczny p poprzedzający w czasie zajście zdarzenia q jest następnikiem implikacji. Przykłady warunków koniecznych:
Zauważmy, że zajście warunku koniecznego p nie musi powodować zajścia zdarzenia q. Sama obecność drobnoustroju nie zawsze musi powodować rozwój choroby. Współczucie wcale nie musi zrodzić miłosierdzia. Pomimo zdania matury można przecież nie pójść na studia. Bywa czasem, że pomimo udostępnienia kodu źródłowego autor zabrania rozpowszechniania napisanego przez siebie programu bez ograniczeń – takiego oprogramowania nie uważa się za wolne. Kręgosłup występuje nie tylko u ssaków, ale również u ptaków, gadów, płazów czy ryb. Liczba 20 ma cyfrę 0 na ostatniej pozycji, a mimo to nie jest podzielna przez 15. Zerowa wartość pochodnej może wystąpić także w punkcie przegięcia.
Zależność implikacji prostej, przeciwstawnej, przeciwnej i odwrotnej pokazuje kwadrat logiczny implikacji:
Źródło: Wikipedia, zmodyfikowane
konieczny i wystarczający ⇔ konieczny i wystarczający
Wreszcie trzecia i ostatnia możliwość jest wówczas, gdy zaistnienie faktu p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym faktu q. Na przykład cecha krytyczna stanowi warunek konieczny i wystarczający do zaliczenia jakiegoś pojęcia do danej kategorii. O warunku wystarczającym i koniecznym mówimy także, gdy zajście zdarzenia p pociągnie za sobą zajście zdarzenia q, a zajście zdarzenia q musiało być spowodowane uprzednim zajściem zdarzenia p. Używając terminów logicznych powiemy, że zachodzi równoważność p ⇔ q.
Zdania typu x jest X zwane są zdaniami atomowymi. W zdaniu takim x jest zwane podmiotem, natomiast X jest zwane orzecznikiem. Funkcje podmiotu i orzecznika pełnią nazwy. Nazwy mają swoje zakresy. Zakres nazwy N tworzą wszystkie obiekty n, o których można powiedzieć, że n jest N. Np. zakresem nazwy „pies” są wszystkie psy.
Między zakresami nazw A i B może wystąpić siedem różnych stosunków (zamienność, nadrzędność, podrzędność, sprzeczność, przeciwieństwo, podprzeciwieństwo i niezależność), które można zebrać w trzy stosunki nadrzędne (zawieranie się, wykluczanie się, krzyżowanie się):
Relacje nadrzędności i podrzędności są niesymetryczne (asymetryczne, przeciwsymetryczne) i zachodzą jednocześnie. Jeśli nazwa A jest nadrzędna względem nazwy B, to nazwa B jest podrzędna względem nazwy A.
Uwaga: niekiedy dopełnianie się rozumie się inaczej, jako sytuację, w której każdy możliwy obiekt należy do A lub do B, przy czym mogą lub nie mogą być takie, które należą do obu zbiorów. Mówi się wówczas, że:
Przy takim rozumieniu dopełnianie się nie jest równoważne niezgodności (sprzeczności zakresowej, kontrawalencji), ale obejmuje sprzeczność i podprzeciwieństwo.
Przykłady:
W podanych przykładach zakładamy, że „niemały” = „duży lub średni” oraz „nieduży” = „mały lub średni”.
Koniunkcja zdań nie jest reprezentowana w stosunkach między zakresami, oznaczałaby bowiem, że dowolny obiekt musi należeć do zakresu A i do zakresu B. I odwrotnie, niezależności nie można przedstawić przy pomocy omówionych relacji logicznych, ponieważ każda z czterech możliwości należenia obiektów do zakresów nazw A i B jest prawdziwa. Niezależność oznacza więc brak relacji logicznej między zakresami nazw.
Zdania atomowe odnoszą się z reguły do wszystkich obiektów określonej klasy, ewentualnie do wskazanych obiektów. Są one więc niejednokrotnie nie dość precyzyjne. W przeciwieństwie do tego zdania kategoryczne to zdania typu zdań atomowych, które zawierają kwantyfikatory: każde, niektóre, żadne. Kwantyfikatory wskazują, czy twierdzenie odnosi się do wszystkich obiektów danej klasy, czy tylko do niektórych (przy czym wtedy mogą odnosić się także do wszystkich). Wyróżniamy wśród nich zdania:
Symbol S oznacza subjectum, czyli podmiot, P to praedicatum, czyli orzecznik. Małe litery między nimi pochodzą od affirmo = twierdzę oraz nego = przeczę.
Porównując zdania twierdzące (są) i przeczące (nie są) mówimy, że są różnej jakości. Porównując zdania ogólne (każde, wszystkie, żadne) i szczegółowe (niektóre) mówimy, że dzieli je różnica ilości. Kwantyfikator niektóre rozumieć należy jako przynajmniej niektóre. Inaczej mówiąc, wszystkie to też niektóre.
Zdania kategoryczne mogą być różnie reprezentowane w języku naturalnym, przy czym często zdania bez kwantyfikatora mają znaczenie zdań kategorycznych ogólnych, a zdania zawierające wyrazy istnieją, bywają, miewają mają znaczenie zdań kategorycznych szczegółowych, np.:
Niektórzy logicy (jak T. Widła) uważają zdania typu nie ma róży bez kolców za ogólno-twierdzące mimo ich przeczącej formy. Nie można zgodzić się z takim stanowiskiem. W rzeczywistości zdanie nie ma róży bez kolców można wyrazić formalnie jako żadna róża nie jest niepokryta kolcami, jest to zatem zdanie ogólno-przeczące. Forma każda róża ma kolce jest w rzeczywistości obwersją zdania pierwotnego, o czym będzie mowa nieco niżej. Przyczyną zamieszania jest zapewne fakt, że w zdaniu żadna róża nie jest niepokryta kolcami występuje negatywna forma orzecznika (niepokryta kolcami), co jednak wynika tylko z ograniczeń języka naturalnego. Jeśli umówimy się, że gładki znaczy tyle, co niepokryty kolcami, zdanie nie ma róży bez kolców można będzie formalnie przedstawić w postaci żadna róża nie jest gładka, co usunie wszystkie wątpliwości co do tego przykładu.
Istnieją dwa typy zdań ogólno-twierdzących. W pierwszym, częściej spotykanym typie zakres podmiotu jest podrzędny wobec zakresu orzecznika. Tu należą np. zdania każdy sędzia jest prawnikiem (wiadomo, że prawnikami są nie tylko sędziowie), każdy człowiek jest ssakiem (ssakami są nie tylko ludzie) czy każdy kwadrat jest prostokątem (istnieją też prostokąty, które nie są kwadratami). W drugim, rzadszym typie zakresy podmiotu i orzecznika są zamienne, np. każdy człowiek jest istotą myślącą, każdy prostokąt o bokach równej długości jest kwadratem. Tylko w zdaniach drugiego typu można zamienić miejscami podmiot i orzecznik, otrzymując zdanie równoważne (np. każdy kwadrat jest prostokątem o bokach równej długości).
Istnieją dwa typy zdań ogólno-przeczących. W pierwszym, zwykłym typie zakresy podmiotu i orzecznika są przeciwne, np. żaden student nie jest analfabetą (istnieją też osoby umiejące czytać i pisać, które nie są studentami), żaden ssak nie jest opierzony (istnieją zwierzęta także niemające piór, które nie są ssakami), żaden kwadrat nie jest trójkątem (jest mnóstwo figur, które nie są ani kwadratami, ani trójkątami, np. koła). W drugim, rzadszym typie zakresy podmiotu i orzecznika są sprzeczne, a zdanie brzmi nienaturalnie, np. żaden prawnik nie jest nie-prawnikiem, żaden niewysoki człowiek nie jest wysoki.
Istnieje pięć typów zdań szczegółowo-twierdzących.
Istnieje pięć typów zdań szczegółowo-przeczących.
Poszczególne rodzaje zdań kategorycznych odnoszące się do tego samego podmiotu P i orzecznika P powiązane są ze sobą określonymi relacjami logicznymi. Występują tutaj :
Przykłady:
Relacje te uwidacznia następujący kwadrat logiczny:
Źródło: Wikipedia, zmodyfikowane
Zdania kategoryczne można poddawać pewnym przekształceniom tak, że ich wartość logiczna nie zmienia się (czyli tak, że otrzymujemy zdanie równoważne początkowemu). Są to obwersja, konwersja, kontrapozycja i inwersja.
Obwersja polega na zmianie jakości zdania połączonej z jednoczesnym zaprzeczeniem orzecznika (zapisywanym P′), tzn. z zamianą postaci pozytywnej na negatywną (np. są owłosione – nie są nieowłosione) lub odwrotnie (np. są nieowłosione – nie są owłosione). Obwersji podlega każdy z 4 klasycznych typów zdań kategorycznych:
Konwersja w sensie używanym w logice polega na zamianie miejscami podmiotu i orzecznika, i nie zawsze jest możliwa lub w pełni możliwa. Bez ograniczeń można ją stosować w wypadku zdań ogólno-przeczących i szczegółowo-twierdzących. Mówimy wówczas o konwersji wprost, w wyniku której otrzymujemy zdanie równoważne początkowemu:
Zdanie ogólno-twierdzące można poddać na ogół tylko konwersji z ograniczeniem. Ma ona charakter implikacji, a nie równoważności, i towarzyszy jej zmiana ilościowa, bowiem otrzymujemy zdanie szczegółowo-twierdzące:
Na ogół z otrzymanego zdania wcale nie wynika zdanie początkowe, np. z faktu, że niektóre zwierzęta jajorodne to ptaki wcale nie wynika, że wszystkie ptaki są jajorodne. Stosując konwersję z ograniczeniem tracimy zatem część pierwotnej informacji. Tylko w niektórych przypadkach zdanie ogólno-twierdzące można poddać konwersji wprost, otrzymując zdanie równoważne bez zmiany ilościowej. Dzieje się tak w zdaniach ogólno-twierdzących drugiego typu, czyli tylko wtedy, gdy podmiot i orzecznik mają taki sam zakres (gdy ich zakresy są zamienne), np. prawdą jest zarówno, że każdy człowiek jest rozumny, jak też że każda istota rozumna jest człowiekiem. A przynajmniej na to wskazuje obecny stan nauki. Gdy potwierdzimy istnienie kosmitów lub gdy uznamy cyborgi za istoty rozumne, konwersja wprost stanie się tu logicznie niepoprawna.
Uwaga: termin „konwersja” jest wieloznaczny i oznacza między innymi przeliczenie jednostek, zmianę właściwości produktu procesów chemicznych lub zmianę wyznania.
Pomiędzy dwoma zdaniami zachodzą (są prawdziwe) następujące relacje, jeśli spełnione są podane warunki:
Zwyczajowo wymienionych pojęć używa się tylko w określonych kontekstach, np. o pokrywaniu się mówimy, analizując nazwy, natomiast o równoważności, gdy mamy na myśli zdania. O negacjach będzie dokładniej w kolejnym podrozdziale.
Pojedynczy spójnik musi stać pomiędzy obu zdaniami.