Wersja z 2019–12–18

Grzegorz Jagodziński

Liczby magiczne

W szkole podstawowej uczymy się tabliczki mnożenia. W dalszej nauce matematyki warto rozszerzyć pamięciową znajomość niektórych innych ciekawych liczb naturalnych. W tym zestawieniu liczby te są nazwane magicznymi. Są to niewielkie potęgi (kwadraty, sześciany, itd.) kolejnych liczb naturalnych większych od `1` (np. `2^2, 3^2, 4^2, ...`), kolejne potęgi niewielkich liczb naturalnych (np. `3^2, 3^3, 3^4, ...`), a także ich silnie. Dodatkowo (w osobnej tabeli) zebrano bisilnie, o których niżej, i iloczyny liczb pierwszych większych od 5. W poniższych zestawieniach podajemy wszystkie takie liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe, i zakończymy na liczbie `2^10 = 1024`.

Silnią liczby `n`, oznaczaną `n!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych od `1` do `n`. Możemy zatem zapisać: `n! = 1 * 2 * 3 * ... * n`. W obliczeniach praktycznych dobrze jest zacząć od największej liczby, co jest bez różnicy, bo mnożenie jest przemienne: `n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1`. A jeśli ktoś nie boi się bardziej zaawansowanych zapisów, może też przyjąć, że `n! = prod_(k = 1)^n k`, gdzie `n ge 1`. Przyjmujemy dodatkowo, że `0! = 1`.

Bisilnią lub silnią podwójną liczby `n`, oznaczaną `n!!`, nazywamy iloczyn liczb naturalnych dodatnich z krokiem `2`: `n!! = n * (n - 2) * (n - 4) * ...`, przy czym ostatnią mnożoną liczbą jest `2` (dla `n` parzystych) lub `1` (dla `n` nieparzystych). Np. `5!! = 5 * 3 * 1 = 15`, `8!! = 8 * 6 * 4 * 2 = 384`.

    `n^2` `n^3` `n^4` `n^5`   `2^n` `3^n` `4^n` `5^n`   `n!`
4   `2^2`         `2^2`          
6                       `3!`
8     `2^3`       `2^3`          
9   `3^2`           `3^2`        
16   `4^2`   `2^4`     `2^4`   `4^2`      
24                       `4!`
25   `5^2`               `5^2`    
27     `3^3`         `3^3`        
32         `2^5`   `2^5`          
36   `6^2`                    
49   `7^2`                    
64   `8^2` `4^3`       `2^6`   `4^3`      
81   `9^2`   `3^4`       `3^4`        
100   `10^2`                    
120                       `5!`
121   `11^2`                    
125     `5^3`             `5^3`    
128             `2^7`          
144   `12^2`                    
169   `13^2`                    
196   `14^2`                    
216     `6^3`                  
225   `15^2`                    
243         `3^5`     `3^5`        
256   `16^2`   `4^4`     `2^8`   `4^4`      
289   `17^2`                    
324   `18^2`                    
343     `7^3`                  
361   `19^2`                    
400   `20^2`                    
441   `21^2`                    
484   `22^2`                    
512     `8^3`       `2^9`          
529   `23^2`                    
576   `24^2`                    
625   `25^2`   `5^4`           `5^4`    
676   `26^2`                    
720                       `6!`
729   `27^2` `9^3`         `3^6`        
784   `28^2`                    
841   `29^2`                    
900   `30^2`                    
961   `31^2`                    
1000     `10^3`                  
1024   `32^2`     `4^5`   `2^10`   `4^5`      

    `n^2` `n^3` `n^4` `n^5`   `2^n` `3^n`   `n!` `n!!`   `7k` `11k` `13k` `17k` `19k` `23k` `29k`
4   `2^2`         `2^2`                        
6                   `3!`                  
8     `2^3`       `2^3`       `4!!`                
9   `3^2`           `3^2`                      
15                     `5!!`                
16   `4^2`   `2^4`     `2^4`                        
21                         `7*3`            
24                   `4!`                  
25   `5^2`                                  
27     `3^3`         `3^3`                      
32         `2^5`   `2^5`                        
33                           `11*3`          
35                         `7*5`            
36   `6^2`                                  
39                             `13*3`        
48                     `6!!`                
49   `7^2`                     `7*7`            
51                               `17*3`      
55                           `11*5`          
57                                 `19*3`    
64   `8^2` `4^3`       `2^6`                        
65                             `13*5`        
69                                   `23*3`  
77                         `7*11` `11*7`          
81   `9^2`   `3^4`       `3^4`                      
85                               `17*5`      
87                                     `29*3`
91                         `7*13`   `13*7`        
95                                 `19*5`    
100   `10^2`                                  
105                     `7!!`                
115                                   `23*5`  
119                         `7*17`     `17*7`      
120                   `5!`                  
121   `11^2`                       `11*11`          
125     `5^3`                                
128             `2^7`                        
133                         `7*19`       `19*7`    
143                           `11*13` `13*11`        
144   `12^2`                                  
145                                     `29*5`
161                         `7*23`         `23*7`  
169   `13^2`                         `13*13`        
187                           `11*17`   `17*11`      
196   `14^2`                                  
203                         `7*29`           `29*7`
209                           `11*19`     `19*11`    
216     `6^3`                                
217                         `7*31`            
221                             `13*17` `17*13`      
225   `15^2`                                  
243         `3^5`     `3^5`                      
247                             `13*19`   `19*13`    
253                           `11*23`       `23*11`  
256   `16^2`   `4^4`     `2^8`                        
259                         `7*37`            
287                         `7*41`            
289   `17^2`                           `17*17`      
299                             `13*23`     `23*13`  
301                         `7*43`            
319                           `11*29`         `29*11`
323                               `17*19` `19*17`    
324   `18^2`                                  
329                         `7*47`            
341                           `11*31`          
343     `7^3`                   `7*7*7`            
361   `19^2`                             `19*19`    
371                         `7*53`            
377                             `13*29`       `29*13`
384                     `8!!`                
391                               `17*23`   `23*17`  
400   `20^2`                                  
403                             `13*31`        
407                           `11*37`          
413                         `7*59`            
427                         `7*61`            
437                                 `19*23` `23*19`  
441   `21^2`                                  
451                           `11*41`          
469                         `7*67`            
473                           `11*43`          
481                             `13*37`        
484   `22^2`                                  
493                               `17*29`     `29*17`
497                         `7*71`            
511                         `7*73`            
512     `8^3`       `2^9`                        
517                           `11*47`          
527                               `17*31`      
529   `23^2`                               `23*23`  
533                             `13*41`        
539                         `7*7*11` `11*7*7`          
551                                 `19*29`   `29*19`
553                         `7*79`            
559                             `13*43`        
576   `24^2`                                  
581                         `7*83`            
583                           `11*53`          
589                                 `19*31`    
611                             `13*47`        
623                         `7*89`            
625   `25^2`   `5^4`                              
629                               `17*37`      
637                         `7*7*13`   `13*7*7`        
649                           `11*59`          
667                                   `23*29` `29*23`
671                           `11*61`          
676   `26^2`                                  
679                         `7*97`            
689                             `13*53`        
697                               `17*41`      
703                                 `19*37`    
707                         `7*101`            
713                                   `23*31`  
720                   `6!`                  
721                         `7*103`            
729   `27^2` `9^3`         `3^6`                      
731                               `17*43`      
737                           `11*67`          
749                         `7*107`            
763                         `7*109`            
767                             `13*59`        
779                                 `19*41`    
781                           `11*71`          
784   `28^2`                                  
791                         `7*113`            
793                             `13*61`        
799                               `17*47`      
803                           `11*73`          
817                                 `19*43`    
841   `29^2`                                 `29*29`
847                         `7*11*11` `11*7*11`          
851                                   `23*37`  
869                           `11*79`          
871                             `13*67`        
889                         `7*127`            
893                                 `19*47`    
899                                     `29*31`
900   `30^2`                                  
901                               `17*53`      
913                           `11*83`          
917                         `7*131`            
923                             `13*71`        
931                         `7*7*19`            
943                                   `23*41`  
945                     `9!!`                
949                             `13*73`        
959                         `7*137`            
961   `31^2`                                  
973                         `7*139`            
979                           `11*89`          
989                                   `23*43`  
1000     `10^3`                                
1001                         `7*11*13` `11*7*13` `13*7*11`        
1003                               `17*59`      
1007                                 `19*53`    
1024   `32^2`     `4^5`   `2^10`                        

Przypisy

  1. Alfred F. Majewicz, Języki świata i ich klasyfikowanie, PWN, Warszawa 1989, str. 227.