Wersja z 2021-05-30

Pozycyjne systemy liczbowe

System liczbowy można rozumieć jako system liczebników, czyli system nazywania liczb. O różnych systemach liczebników mowa w innym artykule.

Zasadniczo jednak system liczbowy to system zapisywania liczb przy pomocy skończonej liczby znaków, zwanych cyframi. Istnieją systemy liczbowe pozycyjne i addytywne. Przykładem addytywnego systemu liczbowego jest rzymski system zapisu liczb. Systemami takimi nie będziemy się tu zajmować.

W pozycyjnym systemie liczbowym istnieje liczba zwana bazą, której naturalne potęgi zapisuje się przy pomocy cyfry 1 oraz tylu zer, ile wynosi potęga. System pozycyjny wymaga tylu różnych cyfr, ile wynosi baza. Wyjaśnimy to poniżej.

Baza: 2 3 4 5 6 7 8 10 16 20 24 60

System dziesiętny

Na co dzień liczymy, posługując się systemem o bazie „10”, zwanym systemem dziesiętnym, a określanym też jako decymalny. Oznacza to, że liczbę „dziesięć” zapisujemy „10”. Piszemy cyfrę „1” oraz jedno zero, ponieważ „dziesięć” to baza w pierwszej potędze. Liczbę „sto” zapisujemy przy pomocy jedynki i dwóch zer, ponieważ „sto” jest to „dziesięć” podniesione do drugiej potęgi, `100 = 10^2`. Z kolei „tysiąc” to jedynka i trzy zera, ponieważ `1000 = 10^3`.

Zaważmy, że ilość cyfr danej liczby w zapisie dziesiętnym jest większa o jeden od najwyższej użytej potęgi dziesiątki, ponieważ ostatnia pozycja ma numer zero. Stąd liczba opisująca trzecią potęgę bazy ma cztery cyfry, odpowiadające pozycjom 3, 2, 1 i 0. Mówimy też, że liczba `1000` ma cyfrę `1` na pozycji tysięcy (tj. na pozycji `10^3` lub na pozycji 3), cyfrę `0` na pozycji setek (tj. na pozycji `10^2` lub na pozycji 2), cyfrę `0` na pozycji dziesiątek (tj. na pozycji `10^1` lub na pozycji 1) i wreszcie cyfrę `0` na pozycji jedności (tj. na pozycji `10^0` lub na pozycji 0). Do problemu wrócimy, analizując inne systemy liczbowe.

W systemie dziesiętnym istnieje dziesięć cyfr, czyli tyle, ile wynosi baza. Są to kolejno `0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9`. Jest to system dziś zdecydowanie dominujący wśród ludzi różnych kultur i języków, a jego rozpowszechnienie wynika z faktu, że mamy dziesięć palców u rąk. System dziesiętny jest podstawą liczenia w językach najważniejszych rodzinach językowych, w tym indoeuropejskich, semickich, ałtajskich i chińsko-tybetańskich.

Systemy na bazie potęg dwójki

System dwójkowy

System o bazie „2”, czyli system dwójkowy, zwany też binarnym, używa tylko dwóch cyfr, `0` i `1`. Występuje sporadycznie w językach naturalnych. Według Alfreda F. Majewicza występuje w językach khoisan, w niektórych językach indiańskich, papuaskich i australijskich, w tym aranda.

System binarny używany jest natomiast w urządzeniach elektronicznych, ponieważ bazuje na dwóch tylko stanach: włączony (`1`) i wyłączony czyli zgaszony (`0`), co jest łatwe do odczytu i zapisu. Ponieważ bazą tego systemu jest „dwa”, liczba ta w zapisie dwójkowym ma postać `10`. Jeśli z kontekstu nie wynika, w jakim systemie zapisano liczbę, używamy po nim zapisu bazy (w systemie dziesiętnym), podanego w dolnej linii pisma. Możemy więc zapisać `2_10 = 10_2`, co oznacza, że liczbie `2` zapisanej w systemie dziesiętnym odpowiada zapis `10` (czytany „jeden zero”, a nie „dziesięć”!) w systemie dwójkowym.

Aby zapisać daną liczbę w dowolnym systemie, trzeba pamiętać wartości kolejnych potęg bazy. Chcąc zatem posługiwać się np. systemem dwójkowym, można zapamiętać wartości kolejnych potęg dwójki: `2^0 = 1`, `2^1 = 2 = 10_2`, `2^2 = 4 = 100_2`, `2^3 = 8 = 1000_2`, `2^4 = 16 = 10000_2`, `2^5 = 32 = 100000_2`, `2^6 = 64 = 1000000_2` itd. W systemie dwójkowym zamiast pozycji jedności, dziesiątek, setek itd. mamy więc pozycję jedności, dwójek, czwórek, ósemek, szesnastek itd.

Liczby niebędące potęgami dwójki zapisujemy jako sumy odpowiednich potęg. Jeśli w sumie występuje dana potęga, w zapisie dwójkowym występuje jedynka, jeśli jej nie ma, występuje zero. Np. dziesiętne `10` możemy zapisać w postaci sumy potęg dwójki `8 + 2`, co daje `2^3 + 2^1`. Zatem zapis dwójkowy będzie miał 4 pozycje (odpowiadające potęgom dwójki od 3 do 0), przy czym na pozycjach 3 i 1 będą jedynki, a na pozycjach 2 i 0 będą zera: `1010`. Cały rachunek można zapisać tak:

`10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1 = 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2^0 = 1010_2`

Możemy też liczyć, dodając potęgi bazy zapisane w systemie dwójkowym:

`10 = 8 + 2 = 2^3 + 2^1 = 1000_2 + 10_2 = 1010_2`

Istnieje też druga, wygodniejsza metoda zamiany, niewymagająca pamiętania wartości potęg danej liczby. W metodzie tej dzielimy daną liczbę przez bazę bez znajdowania cyfr po przecinku i zapisujemy resztę. Powtarzamy procedurę, dzieląc całkowitoliczbową część uprzednio otrzymanego wyniku. Postępujemy w ten sposób tak długo, aż otrzymamy w wyniku zero. Kolejne reszty zapisujemy od prawej do lewej.

Poddajmy tej procedurze liczbę `10`, zamieniając ją na zapis dwójkowy. Mamy zatem `10 : 2 = 5` bez reszty, z czego wnioskujemy, że ostatnią cyfrą w zapisie dwójkowym jest `0`. Teraz poddajemy operacji wynik `5` i wykonujemy dzielenie: `5 : 2 = 2` i reszta `1`, którą dopisujemy z lewej strony, otrzymując `10`. W trzecim kroku dzielimy wynik `2` (bez uwzględnienia reszty), otrzymując `2 : 2 = 1` z resztą `0`, które dopisujemy z lewej strony: `010`. Musimy jeszcze podzielić `1 : 2 = 0` z resztą `1`, którą znów dopisujemy z lewej, dostając `1010`. A ponieważ całkowitoliczbowym wynikiem dzielenia jest zero, kończymy procedurę, co pozwala nam zapisać `10_10 = 1010_2`.

Spróbujmy w podobny sposób zapisać w systemie dwójkowym liczbę `1000`. Pierwsza metoda prowadzi do następującego rozkładu:

Druga metoda prowadzi do następujących dzieleń:

z czego po odczytaniu reszt od dołu ku górze wynika, że `1000_10 = 1111101000_2`.

Odczytanie liczby zapisanej w systemie dwójkowym (krótko: liczby dwójkowej lub liczby binarnej), to znaczy jej zamiana na doskonale nam znany system dziesiętny, jest dość proste, ale wymaga znajomości potęg bazy, czyli dwójki. Np. liczba dwójkowa `1010_2` ma jedynkę na pozycji ósemek, zero na pozycji czwórek, jedynkę na pozycji dwójek, i zero na pozycji jedności, przedstawia więc liczbę dziesiętną `1 * 8 + 0 * 4 + 2 * 2 + 0 * 1 = 8 + 2 = 10`.

Jedenastocyfrowa liczba binarna `10110111001_2` oznacza z kolei liczbę dziesiętną:

`1 * 2^10 + 1 * 2^8 + 1 * 2^7 + 1 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^0 = 1024 + 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 1 = 1465`

(w rachunku pomijamy te potęgi, na pozycjach których występują zera).

Liczby binarne oznacza się odpowiednim indeksem dolnym, ale w informatyce stosuje się także inne sposoby, np. dopisanie prefiksu % lub 0b, albo sufiksu b. Zatem np. dziesiętne `4143` można przestawić jako `1000000101111_2`, `"%"1000000101111`, `0"b"1000000101111` lub `1000000101111"b"`.

Z uwagi na stosowanie w informatyce systemu dwójkowego przyjmuje się, że wielokrotności jednostki ilości informacji lub pojemności pamięci, bajta, nie są potęgami tysiąca, czyli `10^3`, ale `1024`, czyli `2^10`. Stąd kilobajt ma `1024` bajty, a nie `1000` bajtów, megabajt to `2^20 = 1 048 576` bajtów, gigabajt to `2^30 = 1 073 741 824` bajty, a terabajt to `2^40 = 1 099 511 627 776` bajtów.

Producenci twardych dysków ze względów marketingowych (tzn. chcąc oszukać klientów) nie stosują się do tej konwencji, i zamiast przedrostków binarnych, stosują zwykłe, dziesiętne. Dysk o pojemności `1` gigabajta ma zatem w rzeczywistości zaledwie `953`,`67` megabajtów pojemności. Podobnie podając szybkość transferu danych (w bodach czyli bitach na sekundę) używa się przedrostków dziesiętnych.

Aby uporządkować ten niewątpliwy bałagan, przyjmuje się zapis `1` KB dla kilobajta binarnego (liczącego `1024` bajty), a `1` kB dla kilobajta dziesiętnego (liczącego `1000` bajtów). Jednak megabajtów, gigabajtów czy terabajtów w ten sposób odróżnić się nie da. Dlatego zaproponowano, by kilobajty binarne oznaczać skrótem KiB, podobnie megabajty binarne skrótem MiB, gigabajty binarne skrótem GiB itd. Propozycja ta z wolna znajduje uznanie. Znacznie oporniej przyjmują się propozycje nazw jednostek binarnych: kibibajt, mebibajt, gibibajt, tebibajt.

A oto jak przeliczać jednostki binarne i decymalne:

System czwórkowy

Liczby zapisane w systemie dwójkowym są długie i dlatego niepraktyczne w stosowaniu. Dość szybko pojawiły się więc inne systemy, które dawały się łatwo przekształcić do zapisu dwójkowego, ale miały krótsze zapisy.

System czwórkowy czyli kwaternalny pozwala na uproszczenie zapisu binarnego przez zastąpienie dwóch cyfr jedną. Używa czterech cyfr: `0, 1, 2, 3`, które zastępują grupy cyfr dwójkowych `00, 01, 10, 11`, zaczynając od prawej.

Np. `10110111001_2 = 1` `01` `10` `11` `10` `01_2 = 112321_4`.

System ten nie znalazł szerszego zastosowania w technice. Choć nie wszyscy ludzie liczą w systemie dziesiętnym, w językach naturalnych system czwórkowy jest dziś skrajnie rzadki i można go potkać jeszcze tylko w niektórych językach Nowej Gwinei i Celebesu. Oparty jest zapewne na ilości nóg zwierząt lub ilości palców jednej dłoni innych niż kciuk; w Indonezji do dziś używa się terminu aso lub asu, normalnie znaczącego ‘pies’, w zastępstwie liczebnika ‘4’, w podobny sposób, jak u nas używa się terminu ‘tuzin’ w zastępstwie liczebnika ‘12’. Tego typu zwyczaje są powszechne w Melanezji.

Baza `4` lub ślad jej używania zwykle występuje obok innych baz. Spośród rodziny transnowogwinejskiej, język kakoli z grupy hagen używa baz `4` i `24`, kewa z grupy engan zna kilka sposobów liczenia, w tym oparty na bazie `4` (p. Majewicz), a mbowamb z grupy hagen używa baz `2`, `4` i `8`. Bazy `4`, `12` i `24` opisano w języku skou (rodzina sko), a bazy `4` i `24` w austronezyjskim języku tobati.

Ślady liczenia w systemie czwórkowym odnajdziemy też w Afryce. W języku nyali (rodzina bantu) używano różnych baz, stąd liczebniki mają następującą budowę: `8 = 2*4, 9 = 2*4 + 1, 13 = 12 + 1, 14 = 12+ 2, 16 = 2*8, 17 = 2*8+1, 20 = 2*10`. Bazy `4`, `24`, `32` występują w językach ngiti i lendu z grupy centralnosudańskiej. W wielu innych językach bantu i centralnosudańskich obserwujemy ślady systemu czwórkowego zmieszane z bazami `10` lub `20`. W języku afúdu system czwórkowy używany jest do liczebnika 10, powyżej używa się systemu dziesiętnego.

Zachodnioczadyjski język yiwom z rodziny afroazjatyckiej wyraża liczebniki od 7 do 9 jako `4 + 3`, `4 + 4`, `4 + 5`, poza tym nie znaleziono innych śladów systemu czwórkowego.

Baza `4` była obecna w językach chińsko-tybetańskich. Jej ślady występują w używanych w Indiach językach bodo i deuri (grupa bodo-garo). W języku bai jest udokumentowany system oparty na bazach `4`, `16` i `80` używany przy liczeniu pieniędzy w średniowieczu.

System czwórkowy istniał też pierwotnie w niektórych wymarłych kalifornijskich językach czumaszańskich (czumaskich, Majewicz), m.in. Ventureño, gdzie podstawą liczenia były liczebniki ‘4’ i ‘16’. Bazy `4`, obok `8`, używał też język juki. W Ameryce Południowej izolowany język lule używał systemu czwórkowego aż do `10`, po czym przechodził na bazy `5`, `10` i `20`. Podobnie w systemie czwórkowym do `10` liczono w dawnym języku guaraní (tylko w dawnych zapisach), a ślady analogicznego systemu znaleziono w językach mocovi i toba z rodziny guaicuruańskiej oraz w izolowanym języku payaguá. Bazę `4` (obok `2`) raportowano w XIX w. w języku apinayé z rodziny jê z Brazylii bez podania konkretnych form.

Wreszcie ślady systemu czwórkowego znajdujemy w językach indoeuropejskich. W piśmie kharoṣti cyfry (do 10) oparte były na bazie ‘4’. Na związki z systemem czwórkowym wskazuje też praindoeuropejski liczebnik ‘8’, *oḱtō(u), mający postać liczby podwójnej. Jego liczba pojedyncza się nie zachowała, ale zbliżony do niej jest kartwelski liczebnik `4` (gruz. ოთხი otʰxi).

Zasady konwersji tego systemu są analogiczne jak systemu dwójkowego. Najlepiej wcześniej zamienić zapis czwórkowy na dwójkowy, o czym niżej.

System ósemkowy

Łączenie cyfr binarnych po dwie jest wciąż niewygodne, dlatego programiści zwrócili uwagę na inne możliwości, wzorując się na językach naturalnych. Dziś w Europie stosują one na ogół tysięczno-dziesiętny system liczebników, co oznacza, że czwarta potęga bazy bywa nazywana złożonym terminem „dziesięć tysięcy”. W ślad za tą właściwością języka matematyka europejska stosuje zapisy w rodzaju `10` `000`, dzieląc liczby na trzycyfrowe grupy, począwszy od prawej strony, i oddzielając te grupy przerwami. Podobną procedurę zaczęto stosować dla systemu dwójkowego, pisząc `1` `111` `101` `000` zamiast `1111101000` (co oznacza `1000` w zapisie dziesiętnym). Dla wygody i oszczędzenia miejsca postanowiono pójść jeszcze dalej, i zamiast trzech cyfr binarnych stanowiących grupę zaczęto pisać jedną cyfrę, teoretycznie dziesiętny odpowiednik danej trzycyfrowej liczby dwójkowej. Stąd zamiast `1` `111` `101` `000` otrzymalibyśmy `1750` (gdzie `1` to binarne `1`, `7` to binarne `111` czyli `4 + 2 + 1`, dalej `5` to binarne `101`, wreszcie `0` odpowiada grupie `000`.

Zauważmy, że pisząc w ten sposób, będziemy wykorzystywać jedynie cyfry od `0` do `7`, a liczbę (dziesiętną) `8` zapiszemy jako `10`. Rzeczywiście, `8_10 = 1000_2`, co po oddzieleniu trzech zer i zastąpieniu ich jednym da `10`. Zastosowany przez nas system będzie więc w istocie ósemkowy, czyli oktalny. W systemie tym `8_10 = 10_8`, a na przykład `10_10 = 12_8`. Rzeczywiście tak jest, skoro `10_10 = 1010_2`, a ponieważ dwójkowe `010` odpowiada dziesiętnej cyfrze `2`, to `1010_2 = 12_8`.

Przeliczanie odwrotne, z systemu ósemkowego na dwójkowy, nie wymaga żadnych obliczeń, a jedynie zastępowania jedna po drugiej cyfr ósemkowych ich odpowiednikami dwójkowymi. Na przykład `144_8 = 1` `100` `100_2` (chodzi oczywiście o `100_10`). Więcej na ten temat niżej.

Natomiast algorytm przejścia z systemu dziesiętnego na ósemkowy jest analogiczny do tego używanego dla otrzymania zapisu binarnego. Pokażemy to, posługując się metodą drugą (dzielenia z resztą).

Znajdźmy zapis liczby (dziesiętnej) `100` w systemie ósemkowym. W tym celu dzielimy `100 : 8 = 12` r `4`, i zapisujemy tę resztę na ostatniej pozycji (najbardziej prawej) szukanej liczby oktalnej. Dzielimy teraz wynik: `12 : 8 = 1` r `4`. Zapisujemy więc kolejną cyfrę `4`, na lewo od poprzednio zapisanej. Na końcu dzielimy `1 : 8 = 0` r `1`, i tym sposobem otrzymujemy ostatecznie, że `100_10 = 144_8`.

Wreszcie „odczytanie” liczby oktalnej, tj. jej konwersja na system dziesiętny, wymaga znajomości potęg ósemki (albo ich każdorazowego obliczania). Np. `220_8 = 2 * 8^2 + 2 * 8^1 + 0 * 8^0 = 2 * 64 + 2 * 8 = 128 + 16 = 144`.

Liczby ósemkowe oznacza się odpowiednim indeksem dolnym, ale w informatyce stosuje się także inne sposoby, np. dopisanie prefiksu 0, o, q, 0o, \, & lub sufiksu o. Zatem np. dziesiętne `4143` można przestawić jako `10057_8`, `010057`, `"o"10057`, `"q"10057`, `0"o"10057`, `"\"10057`, `&10057` lub `10057"o"`.

Znane są kultury, w których funkcjonuje system oparty na bazie 8, biorący się zapewne z liczenia na palcach obu rąk z wyjątkiem kciuków, albo też na przerwach między palcami, choć dziś jest on skrajnie rzadki. Odnotowano go wśród plemion wiodących tradycyjny styl życia, mieszkających na Nowej Gwinei. System ósemkowy (a przynajmniej system z pomocniczą bazą `8` obok `4`) istniał w kalifornijskim języku juki i mógł też kiedyś istnieć w językach indoeuropejskich. Dowodzić tego ma postać liczebnika `9`, *(H₁)neum̥, mającego mieć związek z przymiotnikiem *newos, ‘nowy’ (czyli ‘następujący po bazie 8’).

System szesnastkowy

System liczebników tysięczno-dziesiętny panuje w cywilizacji zachodniej, ale nie w Chinach. Tam bowiem liczba „dziesięć tysięcy” ma swoją własną, prostą nazwę. Można by ją przetłumaczyć jako „miriada”. „Sto tysięcy” to w konsekwencji „dziesięć miriad”.

Liczby w kręgu cywilizacji chińskiej zapisuje się stosownie do ich nazw, a zatem oddzielając przerwami cztery, a nie trzy kolejne cyfry. Dlatego „milion” (`10^6`) zapiszemy po chińsku nie jako `1` `000` `000`, ale jako `100` `0000`, co odzwierciedla nazwę tej liczby: „sto miriad”.

Oddzielanie od siebie cyfr binarnych co cztery zamiast co trzy pozycje, zbieżne z chińskim zapisem wielkich liczb, doprowadziło do przyjęcia systemu szesnastkowego, zwanego też heksadecymalnym. Obecnie system ten wyparł niemal zupełnie ósemkowy i panuje niepodzielnie w informatyce. System ten podobnie łatwo jak ósemkowy daje się konwertować na binarny, a zapis liczb jest jeszcze bardziej zwięzły. Wymaga jednak aż 16 cyfr. Innymi słowy, takie liczby jak 10, 13 czy 15 są w nim zapisywane pojedynczymi symbolami. W tym celu wykorzystuje się kolejne liczby alfabetu (małe lub duże), używane w funkcji cyfr szesnastkowych: `"a"_16 = 10_10`, `"b"_16 = 11_10`, `"c"_16 = 12_10`, `"d"_16 = 13_10`, `"e"_16 = 14_10`, `"f"_16 = 15_10`. Oczywiście „szesnaście”, będące bazą systemu, zapisywane jest jako `10`.

Liczby szesnastkowe oznacza się odpowiednim indeksem dolnym, ale w informatyce stosuje się także inne sposoby, m.in. dopisanie prefiksów 0x, \x, $ lub sufiksu h. Zatem np. dziesiętne `4143` można przestawić jako `102"f"_16`, `0"x"102"f"`, `"\x"102"f"`, `$102"f"` lub `102"fh"`.

Duże liczby w systemie szesnastkowym zapisuje się, oddzielając cyfry po cztery, licząc od prawej strony, jak liczby decymalne w zapisie chińskim. Np. `131 328_10 = 2 0100_16`, lub `3 805 184_10 = 3"a" 1000_16`.

Konwersja między systemami opartymi na bazach 2, 4, 8, 16

Między systemami dwójkowym, czwórkowym, ósemkowym i szesnastkowym można dokonywać łatwych konwersji. Zamianę najlepiej prowadzić przez system dwójkowy (jeśli liczba już nie jest w nim podana): zapis źródłowy zastępujemy dwójkowym, a ten następnie konwertujemy do żądanego. Możliwa jest też bezpośrednia konwersja między systemami czwórkowym a szesnastkowym. Pomocne może okazać się poniższe zestawienie.

Np.:

`132331_4 = 1` `11` `10` `11` `11` `01_2 = 11110111101_2`

`11110111101_2` = `11` `110` `111` `101_2 = 3675_8`

`11110111101_2` = `111` `1011` `1101_2 = 7"bd"_16`

Niestety nie da się w podobnie łatwy sposób przekonwertować danej liczby na system dziesiętny; konwertowana liczba w tym systemie to `1981`.

Wynik ten otrzymamy, konwertując np. zapis szesnastkowy: `7*16^2 + 11*16 + 13 = 1792 + 176 + 13 = 1981`.

Systemy mniej typowe

W teorii można rozpatrywać systemy oparte na różnych bazach, np. 3 czy 11. Zasady ich przeliczania są analogiczne, jak w wypadku systemu dwójkowego, czwórkowego, ósemkowego i szesnastkowego. Poniżej wymienimy jedynie systemy, które służą do liczenia w językach naturalnych, stąd brak np. systemu trójkowego, który znajduje jedynie sztuczne zastosowanie w logice (Majewicz twierdzi, że system trójkowy czyli ternarny używany jest w niektórych językach indiańskich, jak coroado z Brazylii).

System piątkowy czyli kwinarny występuje dość rzadko wśród różnych kultur i języków mimo faktu, że ludzka dłoń zawiera pięć palców. Być może dawne centra rozpowszechnienia systemu piątkowego zostały dziś wyparte przez dominujący system dziesiętny. Skromne pozostałości znajdziemy wśród różnych plemion w Afryce i Oceanii. Majewicz wśród języków używających systemu piątkowego wymienia wschodnioindonezyjskie (rodzina austronezyjska) języki mamban (mambai?) i tukudede oraz afrykańskie: wolof i języki sudańskie. W językach Epi z Vanuatu liczebnik 5 brzmi luna, czyli ‘dłoń’, 10 – lua-luna ‘dwie dłonie’, 11 – lua-luna tai ‘dwie dłonie jeden’, 15 – tolu-luna ‘trzy dłonie’, 17 – tolu-luna lua ‘trzy dłonie dwa’.

Elementy systemu piątkowego znajdziemy w wielu językach Australii (np. gumatj, nunggubuyu, kuurn kopan noot) i niektórych językach obu Ameryk (kalifornijski luiseño i arawacki saraveca), przy czym prawdziwie piątkowy system opisano tylko w gumatj, gdzie używa się prostego liczebnika `25`.

Baza `5` jako pomocnicza obok głównej bazy `20` występuje w azteckim. Jeśli obok bazy `5` występują także `2` i `10`, system nazywamy bikwinarnym. Sytuacja taka występuje w wolof i khmerskim. Bikwinarne są też cyfry rzymskie, oznaczające `1`, `5`, `10`, `50`, `100`, `500` i `1000`. Podobny system występował w większości wersji abaka, w cyfrach kultury popielnicowej i w nacięciach używanych np. do liczenia dni przez więźniów. Także wiele systemów monetarnych używa systemu bikwinarnego.

System dwudziestkowy lub wigesimalny był kiedyś dość rozpowszechniony wśród ludzkich kultur, szczególnie tam, gdzie liczono, posługując się palcami u rąk i nóg. Na przykład cywilizacja Majów używała rozwiniętego systemu dwudziestkowego z pomocniczymi bazami `4` i `5`. Podobne systemy występują w nahuatl i kaktovik inupiaq.

System sześćdziesiątkowy lub seksagesimalny znany był w kulturze Sumerów, którym zawdzięczamy podział godziny na 60 minut i minuty na 60 sekund.

Konwersja między systemami opartymi na bazach 5, 8, 10, 12, 16, 20 i 60

W poniższej tabeli zebrano liczby, które są „okrągłe” (tzn. mają tylko jedną cyfrę znaczącą) w jednym z analizowanych systemów liczbowych, wraz z ich odpowiednikami w pozostałych systemach.

Systemy nietypowe

System szóstkowy lub senarny obecnie występuje bardzo rzadko. Zakłada się, że podstawa „sześć” oznaczała coś, co znajduje się poza pięcioma palcami, a więc całość, dłoń, pięść. Majewicz jako używające takiego systemu podaje afrykańskie języki (niger-kongo), jak balante (lub balanta, używany w Senegalu i Gwinei Bissau), bola, papel, niektóre języki papuaskie, jak kimaghama, kanum, kati, a także kalifornijskie wintu, nomlaki, patwin, maidu. Inne źródła podają także inne języki morehead-maro z południowej Nowej Gwinei, np. nambu, ndom lub kómnzo. W tym ostatnim system szóstkowy używany jest do rytualnego liczenia bulw jamu. Istnieją w nim odrębne nazwy dla potęg szóstki, aż do 6⁶ (= 46 656). Jako używający systemu szóstkowego wspomina się też izolowany język tiwi z Australii, gdzie liczebniki 7–10 tworzone są od 6. Istnieje domniemanie, że system szóstkowy używany był w języku prauralskim, gdyż w języku tym można zrekonstruować tylko liczebniki 1–6. Wyższe zostały zapożyczone lub utworzone później w poszczególnych językach potomnych.

System siódemkowy lub septenarny prawdopodobnie nigdzie nie jest wykorzystywany samodzielnie, a jedynie w układzie mieszanym, najczęściej z systemem czwórkowym. Sugerowano, że system siódemkowy był wykorzystywany w arawackim języku palikúr, ale obecnie wydaje się to wątpliwe. Podobnie literatura nie potwierdza informacji Majewicza, że system siódemkowy występuje w czadyjskim języku somrai. Elementy systemu siódemkowego występują natomiast w niektórych systemach miar. Do dziś używamy tygodni, składających się z siedmiu dni. Starożytni Egipcjanie mierzyli długość w łokciach; jeden łokieć (52,35 cm) składał się z siedmiu dłoni, i dalej dłoń dzieliła się na cztery palce. Baskowie używali jednostki długości o nazwie cordel, liczącej 163,8362 m, która dzieliła się na 12 jednostek o nazwie gorapilla, a ta jednostka dzieliła się na 7 mniejszych, gizabete, zwanych też toesa lub estado (ok. 1,95 m). Z kolei jedna taka jednostka składała się z 7 stóp (bask. oin; 1 stopa baskijska to 27,8633 cm).

System dwudziestkowy czwórkowy z podsystemem szóstkowym opisano w językach sko z północnego wybrzeża Nowej Gwinei.

Przypisy