Wersja z 2015-05-03

Grzegorz Jagodziński

Wielomiany, wyrażenia wymierne i niewymierne

1 2 3

Wielomiany

Jednomian

Jednomian to iloczyn:

• współczynnika czyli dowolnej liczby (całkowitej, ułamka, pierwiastka, sumy pierwiastków, logarytmu itd.), np. `5`, `2/7`, `sqrt(3)`, `root(3)(2)`, `1/4(sqrt(6) - sqrt(2))`, `log_2 5`;
• jednej lub większej ilości zmiennej, z których każda może podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej (0, 1, 2, …), np. `x`, `xy`, `x^2`, `u^2v`.

Jednomianami są więc wyrażenia typu `15`, `x^3`, `3xy`, `-2z^3`, `-sqrt(2)t`, `5root(4)(10)`, `(3 + 2sqrt(5))x`, `(xz)/8`, `y/(2sqrt(2))`.

Jednomianami nie są sumy ani różnice zmiennych czy zmiennych i liczb, np. `x - y`, `5 - x^2`, wyrażenia ze zmienną w mianowniku, np. `2/x`, `x/(y + 1)`, w wykładniku, np. `2^x`, ujemne i niecałkowite potęgi zmiennej, np. `x^(-1)`, `y^(1/2)`, pierwiastki ze zmiennej, np. `sqrt(x)`, logarytmy ani funkcje trygonometryczne ze zmiennej, np. `log (5x)`, `"tg" (pi/6x)`.

Suma liczby i zmiennej nie jest jednomianem, ale sumą dwóch jednomianów. Podobnie suma zmiennych to suma jednomianów, a nie jednomian.

Można założyć, że każdy jednomian zawiera współczynnik i zmienną (lub iloczyn zmiennych). Współczynnikiem jednomianów `x`, `xy`, `x^3` jest niewidoczne `1`. Współczynnikiem jednomianów `-y`, `-yz` jest `-1`. Jednomiany o postaci liczby (np. `3`, `-10`, `sqrt(5)`) zawierają zmienną podniesioną do potęgi zerowej i dlatego niewidoczną (zapis `3` oznacza `3x^0`).

Stopień jednomianu to suma potęg wszystkich zmiennych tego jednomianu. Jednomian `-10` jest stopnia 0 (co objaśniono wyżej). Jednomian `x` jest stopnia pierwszego (wykładnik `1` jest niewidoczny, zapis `x` oznacza `x^1`). Jednomian `5x^2` jest stopnia 2 (wspólczynnik `5` nie ma żadnego znaczenia dla ustalenia stopnia, liczy się tylko wykładnik potęgi, do której podnosimy zmienną). Jednomian `xy` jest stopnia drugiego (dodajemy stopień zmiennej `x` i stopień zmiennej `y`). Jednomian `sqrt(2)x^2y^3` jest stopnia piątego.

Pojęcie wielomianu

Wielomian to suma jednomianów o różnych stopniach lub różnym składzie zmiennych. Wielomiany złożone z dwóch składników to dwumiany, z trzech – trójmiany, z czterech – czwórmiany itd. Dowolny jednomian jest także szczególnym przypadkiem wielomianu. Zauważmy, że nie każda suma jednomianów jest wielomianem, np. jednomiany `5x` i `-4x` można dodać do siebie tak, że pozostanie jednomian `x`. Jednomianów różnych stopni (np. `x^2 + x`) lub zawierających różne zmienne (np. `x + y`) nie da się dodać do siebie. Uporządkowana postać wielomianu to taka, w której każdy jednomian ma inny stopień lub skład zmiennych, i jednomiany te ułożono po kolei, według rosnących lub (częściej) malejących stopni.

Wielomian nie powinien być więc traktowany jako dowolna suma jednomianów. Możemy na przykład utworzyć sumę 6 jednomianów: `2`, `x^2`, `3x`, `- sqrt(3)x`, `2sqrt(3)x`, `- 6x^2` w następujący sposób: `2 + x^2 + 3x - sqrt(3)x + 2sqrt(3)x - 6x^2`, ale taki zapis nie przedstawia jeszcze wielomianu w sposób prosty. W szczególności nie otrzymamy sześciomianu (wielomianu złożonego z sześciu jednomianów), ale trójmian kwadratowy `-5x^2 + (3 + sqrt(3))x + 2`. Sześć wyjściowych jednomianów udało się zredukować do trzech jednomianów postaci uporządkowanej, które zwane są także wyrazami wielomianu. Wyraz najwyższego stopnia (tutaj: stopnia drugiego, `-5x^2`) wyznacza stopień wielomianu (w naszym przypadku powiemy więc, że wielomian jest stopnia drugiego). Wyraz stopnia zerowego (w naszym przypadku `2`) zwany jest wyrazem wolnym wielomianu.

Wielomian zawierający wszystkie wyrazy niższego stopnia niż stopień wielomianu (np. dla wielomianu stopnia trzeciego będą to wyrazy stopnia drugiego, pierwszego i zerowego) zwany jest pełnym. W sytuacji, gdy brak wyrazu choć jednego stopnia, mówi się o wielomianie zdegenerowanym. Np. `5x^3 - 3x^2 + 8x - 1` jest wielomianem pełnym, zaś wielomian `2x^3 - 3x + 4` jest zdegenerowany, ponieważ brak w nim wyrazu stopnia drugiego. Możemy także uznać, że współczynnikiem wyrazu stopnia drugiego w tym wielomianie jest zero.

O wyrazach mówimy także wtedy, gdy wielomian nie jest jeszcze uporządkowany, i gdy wciąż zawiera jednomiany tego samego stopnia. Jednomiany, które można dodać do siebie, nazywamy wyrazami podobnymi. Dodawanie takich jednomianów w celu uporządkowania wielomianu nazywamy redukcją wyrazów podobnych. Wyrazy podobne mają te same zmienne w odpowiednio tych samych potęgach.

Weźmy na przykład wyrażenie `3x^2 + 2xy + 1 - 5y^2 - 3xy - 8`. Wyrazy pierwszy, drugi, czwarty i piąty są drugiego stopnia, ale tylko drugi i piąty są podobne, bo mają ten sam zestaw zmiennych `xy`. Wyrazy trzeci i szósty są stopnia zerowego (nie mają żadnej zmiennej) i również są podobne. Redukcja wyrazów podobnych doprowadzi nas w tym wypadku do postaci `3x^2 - xy - 5y^2 - 7`. Jest to czwórmian stopnia drugiego dwóch zmiennych.

Wielomianem zerowym nazywamy taki, którego wszystkie wyrazy mają zerowe współczynniki. Wystarczy wówczas podać tylko wyraz wolny równy zero. Faktycznie więc liczbę zero możemy traktować jako bardzo szczególnego rodzaju wielomian. Dowolna liczba różna od zera może być traktowana natomiast jako wielomian stopnia zerowego. Pojęć wielomianu zerowego i wielomianu stopnia zerowego nie wolno mieszać.

Wielomiany zawierające jednomiany co najwyżej stopnia pierwszego (np. `4x - 8`, `7 - (3x)/2`, `x + 2y - 3z`) to wielomiany stopnia pierwszego czyli wielomiany liniowe. Gdy maksymalnym stopniem wyrazów wchodzących w skład wielomianu jest stopień drugi (np. `xy`, `x^2 + 2y - 1`), mamy do czynienia z wielomianem stopnia drugiego lub wielomianem kwadratowym. Wielomiany stopnia trzeciego (np. `3x^3 + 2x - 1`, `x^y + 2`) nazywane bywają wielomianami sześciennymi.

Wielomiany można dodawać, odejmować, mnożyć przez liczbę lub przez siebie, a wówczas wynik także jest wielomianem (wielomiany można też dzielić, ale wówczas wynik często nie jest wielomianem, ale wyrażeniem wymiernym). Mnożenie wielomianu przez zero prowadzi do otrzymania wielomianu zerowego, np. `w = 0 * u`, `u = 2x + 1`, `w = 0*(2x + 1) = 0` (litery `w`, `u` i inne symbolizują całe wielomiany). Mnożenie wielomianu przez liczbę różną od zera prowadzi do otrzymania wielomianu tego samego stopnia (mnożenie wielomianu przez liczbę różną od zera nie zmienia jego stopnia). Działanie to wykonujemy, mnożąc liczbę przez każdy z wyrazów wielomianu, np. `w = -2 * u`, `u = 2x + 1`, `w = -2*(2x + 1) = -4x - 2`.

Wyrażenie postaci `w = m*u + n*v`, gdzie `m, n` są dowolnymi liczbami, a `u, v, w` wielomianami, nazywa się kombinacją liniową wielomianów i jest uogólnieniem arytmetycznej sumy i różnicy wielomianów. Oznacza przemnożenie wielomianów przez jakieś liczby i zsumowanie wyników. Jeśli dodawane (odejmowane, ogólniej: kombinowane) wielomiany miały różne stopnie, wynikiem tego działania jest wielomian, którego stopień jest taki sam jak wyższy ze stopni kombinowanych wielomianów. Np. `w = m*u + n*v`, `u = 2x + 1` (stopień 1), `v = x^2 - 1` (stopień 2), `m = 1`, `n = -1` (przy takich wartościach współczynników wykonujemy odejmowanie wielomianów). Mamy: `w = 1*(2x + 1) + (-1)*(x^2 - 1) = 2x + 1 - x^2 + 1 = -x^2 + 2x + 2`; otrzymaliśmy wielomian stopnia drugiego, czyli takiego samego jak drugi z wielomianów, na których wykonywaliśmy operację (był to wielomian o wyższym stopniu).

Jeśli jednak dodajemy (odejmujemy, kombinujemy) wielomiany tych samych stopni, wynik może mieć stopień niższy niż stopień wielomianów wyjściowych (a w szczególności może być wielomianem zerowym). Np. `w = m*u + n*v`, `u = -x^2 - 2x + 1` (stopień 2), `v = x^2 - 1` (stopień 2), `m = 1`, `n = 1` (przy takich wartościach współczynników wykonujemy dodawanie wielomianów). Mamy: `w = 1*(-x^2 - 2x + 1) + 1*(x^2 - 1) = -x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 = -2x`; otrzymaliśmy wielomian stopnia pierwszego, czyli niższego niż stopień każdego z dodawanych wielomianów.

Rozpatrzmy jednak inny przykład: `w = m*u + n*v`, `u = -x^2 - 2x + 1` (stopień 2), `v = -x^2 - 1` (stopień 2), `m = 1`, `n = 1`. Mamy: `w = 1*(-x^2 - 2x + 1) + 1*(-x^2 - 1) = -x^2 - 2x + 1 - x^2 - 1 = -2x^2 - 2x`; otrzymaliśmy wielomian stopnia drugiego, czyli takiego samego jak stopień każdego z dodawanych wielomianów. W uproszczeniu powiemy zatem: stopień sumy lub różnicy wielomianów nie może być wyższy niż najwyższy ze stopni dodawanych lub odejmowanych wielomianów.

Wielomiany mnożymy, mnożąc każdy z wyrazów pierwszego wielomianu przez każdy z wyrazów drugiego wielomianu (i sumując otrzymane jednomiany). Stopień otrzymanego wielomianu jest równy sumie stopni wielomianów mnożonych. Np. `w = u*v`, `u = x + 1` (wielomian stopnia pierwszego), `v = x^2 - x + 1` (wielomian stopnia drugiego), `w = (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1` (wielomian stopnia trzeciego).

Wielomian jako funkcja

Wielomian jest zasadniczo wyrażeniem algebraicznym, ale można go także traktować jako funkcję. Na określenie wielomianu zawierających tylko jedną zmienną często używamy oznaczenia w rodzaju `w(x)`. Przykładem niech będzie `w(x) = x^3 - 2x^2 - x - 1`. Wielomian dwóch zmiennych jest oznaczany `w(x,y)`, np. `w(x, y) = 5x^2 + 2xy - 3y + 8`. Wielomian trzech zmiennych to np. `w(x, y, z) = 2x^2 + 3xy - xz + 2yz + 1` itd. Zmienne występujące w wielomianie mogą przyjmować dowolną wartość (rzeczywistą, a nawet zespoloną), tzn. zbędne są jakiekolwiek założenia. Dalej będziemy zajmować się wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, których dziedziną wielomianu jest `RR`. Bada się także wielomiany, których dziedzina została celowo ograniczona do jakiegoś podzbioru liczb rzeczywistych (wtedy w istocie rozpatrujemy wielomian tylko w określonym przedziale lub badając tylko wybrane wartości argumentów).

Po podstawieniu określonych wartości zmiennych możemy także wyliczyć wartość wielomianu. O ile dziedziną wielomianu jest normalnie (tj. bez dodatkowych ograniczeń) zbiór liczb rzeczywistych, o tyle zbiór wartości wielomianu (o współczynnikach rzeczywistych) może mieć wartość najmniejszą albo największą (tylko jedną z nich). Wielomiany stopnia zerowego (np. `w(x) = 3`, `w(x) = - sqrt(2)`, także wielomian zerowy `w(x) = 0`) mają natomiast jedną, stałą wartość, niezależną od wartości zmiennych niezależnych (nieobecnych w ciele funkcji).

Zajmiemy się teraz głównie wielomianami jednej zmiennej niezależnej (a więc wielomiany postaci `w(x)`) o współczynnikach rzeczywistych (czyli typowymi wielomianami szkolnymi). Przykładem takiego wielomianu może być trójmian kwadratowy `w(x) = x^2 + 2x + 1`. Wartość wielomianu traktujemy często także jako zmienną zależną `y`; wówczas piszemy `y = x^2 + 2x + 1`. Faktycznie symbole `w(x)` oraz `y` są niemal w pełni wymienne, tzn. w zależności od potrzeby możemy jeden zastąpić drugim.

Gdy zmienna niezależna `x` wielomianu stopnia co najmniej pierwszego zmierza do nieskończoności (dodatniej lub ujemnej), również wartość wielomianu `w(x)` (czyli zmienna zależna `y`) zmierza do nieskończoności. Używają symbolu granicy, napiszemy, że `lim_(x->+-oo) w(x) = +-oo`. Mówimy też, że ramiona wykresu takiego wielomianu skierowane zawsze skierowane są ku nieskończoności – w górę lub w dół.

Znak granicy wielomianu w dodatniej nieskończoności (czyli wartość, do której dąży wartość wielomianu stopnia co najmniej pierwszego wraz ze wzrostem wartości `x`) jest taki sam, jak znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej niezależnej (będziemy go tu krótko określać współczynnikiem `a`). Z uwagi na tę bardzo prostą zależność, szkic wykresu wielomianu (potrzebny np. przy rozwiązywaniu nierówności) zaczynamy od prawej strony. Prawe ramię wykresu skierowane jest w górę, gdy znak przy najwyższej potędze jest dodatni, a w dół, gdy jest ujemny. Wraz ze wzrostem `x` (do dodatniej nieskończoności), wartości wielomianów `w(x) = x + 1`, `w(x) = 2x^2 + 3x - 2`, `w(x) = x^3 - 10x^2 - 100x - 200` rosną do nieskończoności, a wartości wielomianów `w(x) = -3x`, `w(x) = -x^2 + 2x +1`, `w(x) = -x^3 + 900x^2 + 99x + 8` maleją do nieskończoności.

Znak granicy wielomianu w ujemnej nieskończoności (czyli wartość, do której dąży wartość wielomianu wraz ze zmniejszaniem się wartości `x`) zależy nie tylko od znaku współczynnika `a`, ale także od stopnia wielomianu. Jeśli wielomian jest stopnia parzystego (dodatniego, tzn. większego niż zero), wówczas znak jest taki sam jak znak nieskończoności, do której dąży wielomian przy wzroście `x`. Jeśli jednak wielomian jest stopnia nieparzystego, wówczas znak ten jest przeciwny. Z tego względu ze zmniejszaniem się wartości zmiennej niezależnej `x` wartości wielomianów `w(x) = -3x`, `w(x) = 2x^2 + 3x - 2`, `w(x) = -x^3 + 900x^2 + 99x + 8` rosną do nieskończoności, a wartości wielomianów `w(x) = x + 1`, `w(x) = -x^2 + 2x +1`, `w(x) = x^3 - 10x^2 - 100x - 200` maleją do nieskończoności. Najłatwiej ustalić to, szkicując wykres (od strony prawej do lewej). Wielomiany stopnia nieparzystego przechodzą od jednej nieskończoności do drugiej (od dodatniej do ujemnej lub odwrotnie), zatem ich ramiona skierowane są w przeciwne strony. Natomiast wielomiany stopnia parzystego dążą z obu stron do tej samej nieskończoności (tj. zawracają), zatem oba ich ramiona skierowane są w tę samą stronę – albo w górę, albo w dół.

Wynika stąd, że wielomiany stopnia nieparzystego (np. `w(x) = x - 2`, `w(x) = 3x^3 + 2x^2 - 3`) nie mają wartości najmiejszej ani największej, tzn. ich zbiorem wartości jest `RR`. Wielomiany stopnia parzystego większego niż zerowy mają natomiast taką wartość. Jeśli przy tym znak współczynnika `a` jest dodatni (np. `w(x) = x^2`, `w(x) = 2x^4 + 3x^2 - 3`), wielomian ma wartość najmniejszą (a oba ramiona jego wykresu skierowane są w górę). A gdy znak współczynnika `a` jest ujemny (np. `w(x) = -x^2`, `w(x) = -2x^4 + 3x^2 - 3`), wielomian ma wartość największą (ramiona skierowane są w dół).

Miejsca przecięcia wykresu wielomianu z osiami układu współrzędnych

Bardzo łatwo jest wyznaczyć miejsce przecięcia wykresu wielomianu z osią `Y`. Jest to punkt, którego odcięta czyli pierwsza współrzędna (`x`) wynosi zero (jak wszystkich punktów osi `Y`), a rzędna czyli druga współrzędna (`y`) jest taka sama, jak wyraz wolny wielomianu. Bez żadnych obliczeń odczytujemy więc z postaci wielomianu punkt przecięcia z osią `Y`:

• dla `w(x) = 5` będzie to punkt `(0; 5)`,
• dla `w(x) = -3x + 3` będzie to punkt `(0; 3)`,
• dla `w(x) = -x^2 + 2x - 1` będzie to punkt `(0; -1)`,
• dla `w(x) = -x^3 + 900x^2 + 99x` będzie to punkt `(0; 0)` – wielomian ten nie ma widocznego wyrazu wolnego, to znaczy że wyraz wolny równa się 0.

Rzędna punktu przecięcia z osią `Y` jest równa wartości wyrazu wolnego wielomianu

Mówimy, że wielomiany bez wyrazu wolnego (lub z wyrazem wolnym równym zero, oznacza to dokładnie to samo) przechodzą przez początek układu. Oznacza to, że ich wykres przecina obie osie w punkcie ich przecięcia. Wielomiany takie przecinają także oś `X` w punkcie `(0; 0)`.

Punkty przecięcia z osią `X` wyznaczamy, przyrównując wielomian do zera i rozwiązując równanie `w(x) = 0` (co nie zawsze jest proste, a czasem jest niemożliwe, i wówczas odcięte punktów przecięcia możemy wyznaczyć tylko w przybliżeniu). Rozwiązania takiego równania nazywamy pierwiastkami wielomianu. Uwaga: pierwiastki wielomianu nie zawsze mają postać pierwiastków typu `sqrt(2)` czy `root(3)(4)`! Są to po prostu dwa całkiem różne pojęcia, choć określane podobnym terminem. Pierwiastki wielomianu traktować możemy także jako odcięte (współrzędne `x`) punktów przecięcia wykresu wielomianu z osią `X` – wówczas nazywamy je miejscami zerowymi wielomianu.

Mówimy, że wielomian `w(x) = x^2 - x - 2` przecina oś `X` w punktach `(-1; 0)` oraz `(2; 0)`. Mówimy też, że miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby `-1` i `2`, wyznaczamy też zbiór miejsc zerowych `Mz = {-1; 2}`. Mówimy wreszcie, że pierwiastkami równania `x^2 - x - 2 = 0` są liczby `x = -1` oraz `x = 2`, albo że zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór `{-1; 2}`. Chodzi w gruncie rzeczy o sprawy bardzo podobne, trzeba jednak bardzo uważać na sformułowania. Nie wolno zwłaszcza utożsamiać miejsc zerowych (wartości `x`) z punktami (które mają dwie współrzędne)!

Miejsca zerowe wielomianu i pierwiastki równań wielomianowych

Warto zapamiętać następujące fakty związane z miejscami zerowymi wielomianów:

• dowolny wielomian (z wyjątkiem zerowego) ma co najwyżej tyle miejsc zerowych, ile wynosi jego stopień,
• wielomian zerowy ma nieskończenie wiele miejsc zerowych (każda wartość `x` jest miejscem zerowym),
• wielomiany stopnia zerowego inne niż `w(x) = 0` (czyli wielomiany niezerowe stopnia zerowego, np. `w(x) = 1`) nie mają miejsc zerowych,
• wielomian stopnia nieparzystego musi mieć co najmniej jedno miejsce zerowe,
• tylko wielomiany stopnia parzystego mogą nie mieć w ogóle miejsc zerowych

Wielomian stopnia pierwszego ma zawsze jedno miejsce zerowe. Wielomian stopnia drugiego ma dwa lub jedno miejsce zerowe lub nie ma miejsc zerowych. Wielomian stopnia trzeciego może mieć jedno, dwa lub trzy miejsca zerowe. Wielomian stopnia czwartego może mieć zero, jedno, dwa, trzy lub cztery miejsca zerowe.

Bardzo podobne reguły rządzą ilością rzeczywistych rozwiązań równań wielomianowych postaci `w(x) = 0`. Gdy jednak dopuścimy także rozwiązania zespolone, okaże się wówczas, że liczba wszystkich rozwiązań jest równa stopniowi wielomianu.

Aby rozwiązać rówanie `w(x) = 0`, musimy wielomian rozłożyć do postaci iloczynowej

Postać iloczynowa wielomianu to wyrażenie postaci `a(x - x_1)(x - x_2) …`, w którym `a` oraz `x_1`, `x_2` oznaczają konkretne liczby będące miejscami zerowymi wielomianu, natomiast `x` jest symbolem zmiennej. Zamiast o postaci iloczynowej mówimy też o rozkładzie wielomianu na czynniki. Każdy z czynników (z wyjątkiem `a`) jest wielomianem szczególnego rodzaju. W rozkładzie na czynniki obok czynników liniowych (dwumianów postaci `x - x_i`) mogą występować także czynniki kwadratowe, tj. trójmiany stopnia drugiego (postaci `x^2 + bx + c`), których nie można rozłożyć na czynniki liniowe. Czynniki liniowe mogą też nie występować wcale (a jedynie czynniki kwadratowe i stopni wyższych). Wynika stąd, że każdy wielomian stopnia co najmniej trzeciego można rozłożyć na czynniki (liniowe lub kwadratowe nierozkładalne).

Rozkład na czynniki nie zawsze jest prosty. Istnieje wiele metod takiego rozkładu. Metody te się uzupełniaja, tj. w ogólności trzeba znać wszystkie (w typowych zadaniach wystarcza znajomość kilku podstawowych). Mimo to rozkład na czynniki bywa niewykonalny. W zadaniach szkolnych z rozkładem wielomianów podaje się rzecz jasna wyłącznie takie przykłady, które udaje się rozłożyć, i to przy pomocy poznanych metod.

Współczynnik `a` występujący w postaci iloczynowej równy jest współczynnikowi wyrazu przy najwyższej potędze wielomianu

Wielomian `w(x) = 3x^3 - 6x^2 - 3x + 6` daje się rozłożyć (poniżej powiemy, w jaki sposób) do postaci iloczynowej `w(x) = 3(x-2)(x-1)(x+1)`. Zauważmy, że współczynnik `a = 3` występuje w obu podanych postaciach tego wielomianu. Liczby `-1`, `1`, `2` są pierwiastkami wielomianu lub jego miejscami zerowymi (co oznacza w praktyce to samo). Zwróćmy uwagę, że w postaci iloczynowej miejsca zerowe występują z przeciwnym znakiem. Wynika to wprost z podanego wyżej określenia postaci iloczynowej wielomianu, w którym występują wyrażenia postaci `x - x_i`.

Wielomian `w(x) = -x^3 + 4x^2 - 5x + 2` daje się rozłożyć do postaci `w(x) = - (x - 1)^2 (x - 2)`. Zapis ten oznacza to samo, co `w(x) = - (x - 1) (x - 1) (x - 2)`. Z uwagi na to, że czynnik `(x - 1)` powtarza się dwukrotnie, zapisujemy go normalnie w postaci kwadratu. Wielomian ten ma współczynnik `a = -1` (dlatego przed pierwszym czynnikiem stoi znak minus!). Pierwiastkami badanego wielomianu są `1` i `2`, przy czym `1` jest pierwiastkiem podwójnym.

Wielomian `w(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1` daje się rozłożyć do postaci `w(x) = (x - 1)^3`. Ma on tylko jeden pierwiastek `1` i jest to pierwiastek potrójny. Współczynnik `a` równa się tutaj `1`.

Istnieją wielomiany, w których rozkładzie występują czynniki liniowe podniesione do potęgi czwartej, piątej itd. Mówimy wówczas o pierwiastkach poczwórnych, pięciokrotnych itd.

Nierozkładalne czynniki kwadratowe nie wyznaczają pierwiastków wielomianu. Jeśli w rozkładzie występują tylko takie czynniki, to wielomian nie ma miejsc zerowych (a co za tym idzie, nie ma pierwiastków rzeczywistych).

Na przykład wielomian `w(x) = x^5 - 2x^3 - 2x^2 - 3x - 2` udaje się rozłożyć do postaci `w(x) = (x + 1)^2(x - 2)(x^2 + 1)`. Z postaci tej wnioskujemy, że wielomian ten ma dwa pierwiastki (`-1` i `2`), z czego jeden (`-1`) podwójny. Czynnik `(x^2 + 1)` nie wyznacza żadnego pierwiastka.

Jeśli wiemy, że w rozkładzie pewnego wielomianu stopnia szóstego na pierwiastki występuje tylko jeden nierozkładalny czynnik kwadratowy podniesiony do kwadratu (czyli `(x^2 + bx + c)^2`), to wnioskujemy, że wielomian ten ma dwa pierwiaski rzeczywiste różne (może to być na przykład `w(x) = x^6 + 3x^5 + 3x^4 + x^3 - 3x^2 - 3x - 2`, którego postać iloczynowa to `w(x) = (x + 2)(x - 1)(x^2 + x + 1)^2`) lub jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (np. `w(x) = x^6 - 2x^3 + 1` czyli `w(x) = (x - 1)^2(x^2 + x + 1)^2`).