Wersja z 2015-05-16

Grzegorz Jagodziński

Wielomiany, wyrażenia wymierne i niewymierne

1 2 3

Wielomiany

Rozwiązywanie równań wielomianowych
i znajdowanie miejsc zerowych wielomianu

Pierwszymi etapami rozwiązywania równania wielomianowego są uporządkowanie i rozkład wielomianu na czynniki, co omówiono szczegółowo w poprzednim rozdziale. Kolejnym etapem jest właściwe rozwiązanie równania, przez co w wersji szkolnej rozumiemy podanie miejsc zerowych, a w wersji nieco bardziej zaawansowanej także podanie rozwiązań zespolonych.

Równania wielomianowe stopnia pierwszego zwane równaniami liniowymi mogą zostać zawsze rozwiązane z podaniem jednej dokładnej wartości niewiadomej `x`, która równanie spełnia, lub też ze wskazaniem, że równanie jest spełnione dla dowolnych `x` (równanie jest tożsamością), albo wreszcie że nie istnieje żadne `x` spełniające równanie (równanie jest sprzeczne). Próba uporządkowania równania tożsamościowego kończy się otrzymaniem wyrażenia postaci `x = x` lub `0 = 0` (prawdziwego dla dowolnego `x` lub w ogóle od `x` niezależnego). Próba uporządkowania równania sprzecznego prowadzi do wyrażenia typu `0 = 1` (czyli fałszu widocznego w wyrażeniu arytmetycznym). Np. równanie `3x = 2x + x` uporządkuje się do postaci `3x = 3x` i dalej `0 = 0`, jest więc tożsamością. Z kolei równanie `x + 2 = x + 1` może zostać przekształcone do postaci `x - x = 1 - 2`, skąd `0 = -1`, jest więc równaniem sprzecznym. Równaniami tożsamościowymi i sprzecznymi dalej zajmować się nie będziemy. Zakładamy więc, że równanie wielomianowe udało się wstępnie uporządkować. Jeśli równanie jest stopnia pierwszego, przyjmuje ono postać `ax + b = 0`, i wówczas jego rozwiązaniem jest `x = -b/a`. Chcąc osiągnąć biegłość w postępowaniu z wielomianami, rozwiązanie to trzeba zapamiętać, i następnie stosować już bez etapów pośrednich typu `ax = -b` lub `a(x + b/a) = 0`.

Każde (nietożsamościowe i niesprzeczne) równanie wielomianowe stopnia większego niż dwa usiłujemy rozwiązać, rozkładając wielomian na czynniki (choć w wypadku równań stopnia drugiego często posługujemy się gotowymi wzorami). Wśród czynników tych bywają liniowe lub kwadratowe nierozkładalne do liniowych. Rozkład taki, jak już się przekonaliśmy, nie zawsze jest prosty, a w wypadku wielu wielomianów w ogóle jest niewykonalny (jeśli interesują nas tylko rozwiązania rzeczywiste, to począwszy od stopnia 3., a jeśli dopuszczamy także rozwiązania zespolone lub zapisane z użyciem liczb zespolonych, to od stopnia 5.), i wówczas pozostają jedynie metody pozwalające wyznaczyć rozwiązanie w przybliżeniu (choć z dowolną dokładnością).

Istnieje twierdzenie mówiące, że ilość rozwiązań rzeczywistych (oznaczonego) równania wielomianowego jest co najwyżej równa stopniowi wielomianu. Jeśli w równaniu stopnia nieparzystego występują tylko współczynniki rzeczywiste, to ma ono zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Wynika stąd, że równania stopnia parzystego mogą nie mieć w ogóle rozwiązań rzeczywistych.

W rozkładzie wielomianów mogą występować czynniki wielokrotne, np. `x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x - 3)^3`. Równanie, w którym występuje taki wielomian, ma wielokrotne rozwiązania. W zależności od sytuacji powiemy wówczas, że np. równanie `x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0` ma jedno rozwiązanie `x = 3`, lub też trzy jednakowe rozwiązania `x_1 = x_2 = x_3 = 3`. Przyjmijmy teraz to drugie rozwiązanie, czyli dopuśćmy istnienie odrębnych, choć jednakowych rozwiązań równania wielomianowego, ograniczmy też rozważania do wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas ilość rozwiązań rzeczywistych równa jest stopniowi wielomianu lub też jest od niego mniejsza o liczbę parzystą. Zatem np. równanie stopnia szóstego może mieć sześć, cztery, dwa lub zero rozwiązań, przy czym wśród nich mogą być rozwiązania jednakowe.

Do tej pory ograniczaliśmy rozważania do znanych z nauki szkolnej liczb rzeczywistych. Każdy student mający matematykę w programie studiów, a także każdy, kto interesuje się matematyką nieco tylko bardziej zaawansowaną niż matematyka szkolna, wie, że oprócz liczb rzeczywistych istnieje także wiele innych rodzajów liczb. Najbardziej znane są wśród nich liczby zespolone.

Liczby zespolone to koncepcja matematyczna, która ukształtowała się w czasie prób znalezienia wzorów na rozwiązania równań stopnia trzeciego, analogicznych do wzorów pozwalających rozwiązywać równania kwadratowe. Okazało się mianowicie, że wyrażenia na dokładne wartości niektórych rozwiązań zawierają pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, które według nauki szkolnej „nie istnieją”. Mimo to końcową wartość można umieścić na osi liczbowej (również doskonale znanej ze szkoły). W niektórych wypadkach można przy pomocy różnych sprytnych wybiegów pozbyć się owych „nieistniejących” pierwiastków, ale w wielu innych wypadkach okazuje się to niemożliwe.

Np. gdy będziemy rozwiązywać równanie `x^3 - 21x + 20 = 0` omówioną poniżej metodą Cardana, nie przejmując się pierwiastkami kwadratowymi z liczb ujemnych, uzyskamy jako jedno z rozwiązań `x = root(3)(-10 - 9sqrt(-3)) + root(3)(-10 + 9sqrt(-3))`. W tym wypadku różne triki pozwolą nam uprościć to dziwne wyrażenie – okaże się wówczas, że oznacza ono po prostu liczbę `4`.

Jednak rozwiązując równanie `x^3 - 21x + 10 = 0` uzyskamy `x = root(3)(-5 - sqrt(-318)) + root(3)(-5 + sqrt(-318))`, i tego wyrażenia już nie uprościmy. Przedstawia ono jednak liczbę rzeczywistą, równą około `4,32281`. Liczby tej nie można wyrazić dokładnie, używając tylko czterech działań arytmetycznych oraz operacji pierwiastkowania, jeśli zgodnie z nauką szkolną powstrzymamy się od pierwiastkowania liczb ujemnych.

Pierwiastki z liczb ujemnych nazwano liczbami urojonymi. Jeśli przyjmiemy, że `sqrt(-1) = i` i liczbę tę nazwiemy jednostką urojoną, wówczas np. `sqrt(-3)` możemy zapisać jako `i sqrt(3)`. Oczywiście wtedy `sqrt(-9) = 3i`.

W nauce szkolnej liczby, na których operujemy, czyli liczby rzeczywiste, przedstawia się na osi liczbowej. Jednostką na tej osi jest liczba `1`. Liczby urojone leżą na całkiem innej osi, zwanej osią urojoną, i na tej osi jednostką jest `i`. Zauważmy, że z praw mnożenia wynika, że `0i = 0`, zatem zero jest jedyną liczbą, która jest jednocześnie rzeczywista i urojona. Najrozsądniej byłoby zatem przyjąć, że osie rzeczywista i urojona przecinają się tak, że rzeczywista liczba `0` i równa jej urojona liczba `0i` znajdują się w punkcie przecięcia.

Dodatkowo wyobraźmy sobie, że osie rzeczywista i urojona przecinają się pod kątem prostym, tworząc swoisty układ współrzędnych i wyznaczając szczególnego rodzaju płaszczyznę liczb, zwaną płaszczyzną zespoloną. Liczby zespolone można przedstawić jako punkty na tej płaszczyźnie. Oprócz liczb rzeczywistych leżących na osi rzeczywistej, oraz liczb urojonych leżących na osi urojonej, mamy jeszcze liczby, które leżą poza osiami. Teoretycznie można je zapisać tak, jak współrzędne punktu: `(a, b)`. Jednak postać taka jest mało wygodna w rachunkach, dlatego opracowano cały szereg innych przedstawień liczb zespolonych. Najbardziej znana jest postać `a + bi`.

Wyżej mieliśmy do czynienia z liczbą zespoloną `-10 - 9sqrt(-3)`, którą można zapisać jako `-10 - 9i sqrt(3)` lub też w postaci mniej dogodnej dla obliczeń jako `(-10, -9sqrt(3))`. Wystąpiła też liczba `-10 + 9i sqrt(3)`, którą nazwiemy liczbą sprzężoną z poprzednią (co oznacza, że obie różnią się tylko znakiem przy części urojonej). Z tych liczb zespolonych wyciągaliśmy pierwiastki sześcienne (`root(3)(-10 - 9i sqrt(3))` oraz `root(3)(-10 + 9i sqrt(3))`), które także były liczbami zespolonymi (nierzeczywistymi). Jednak już ich suma okazała się zwykłą liczbą rzeczywistą, którą w dodatku można dokładnie wyznaczyć.

W wypadku drugiego z równań mieliśmy także sumę pierwiastków sześciennych z liczb zespolonych, i również suma ta okazała się liczbą rzeczywistą, ale tym razem liczby tej nie udało nam się zapisać bez odwoływania się do liczb zespolonych. Jej rzeczywistą wartość możemy więc wyznaczyć tylko w przybliżeniu.

Zdarza się także, że rozwiązaniami równań wielomianowych są liczby zespolone (nierzeczywiste). W nauce szkolnej takie rozwiązania się pomija, ponieważ zadania polegają na znajdowaniu tylko rozwiązań rzeczywistych. Nas jednak rozwiązania te również zainteresują, tym bardziej, że do ich znalezienia nie potrzeba wcale opanowania ezoterycznej wiedzy.

Skoro zamierzamy poruszać się po domenie liczb zespolonych, a zatem po całej płaszczyźnie, a nie tylko po osi liczb rzeczywistych, która stanowi zaledwie cząstkę tej płaszczyzny, to nie będzie nam trudno wyobrazić sobie wielomiany, których współczynniki są liczbami zespolonymi nierzeczywistymi. Rozwiązywanie równań wielomianowych, w których występują współczynniki nierzeczywiste, nie różni się zbytnio od rozwiązywania równań, w których występują tylko liczby rzeczywiste. Trzeba jedynie posiąść sztukę działań na liczbach zespolonych, w tym ich pierwiastkowania, które na początku wydawać się może trochę kłopotliwe. Problem ten wymagałby jednak szerszego omówienia, i dlatego nie będziemy się nim zajmować w tym artykule.

Jeśli uwzględnimy wszystkie rozwiązania równania wielomianowego, a więc także zespolone nierzeczywiste, i do tego każde z ewentualnych jednakowych rozwiązań policzymy osobno, to wówczas powiemy, że każde (oznaczone) równanie `n`-tego stopnia ma dokładnie `n` rozwiązań (twierdzenie to jest znane jako jedno ze sformułowań tzw. Zasadniczego Twierdzenia Algebry). Ponadto jeśli współczynniki wielomianu są rzeczywiste, wówczas liczba rozwiązań zespolonych nierzeczywistych jest zawsze parzysta (zero, dwa, cztery itd.). W wypadku wielomianów o współczynnikach nierzeczywistych takie ograniczenie nie obowiązuje.

Znajdowanie pierwiastków wielomianu stopnia drugiego

Równanie wielomianowe stopnia drugiego (krótko: równanie stopnia drugiego lub równanie kwadratowe) `ax^2 + bx + c = 0` może mieć dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie, lub też może nie mieć rozwiązań rzeczywistych (co nie znaczy, że jest sprzeczne! – takie równania już wykluczyliśmy z rozważań). Jak pamiętamy, zależy to od znaku wyróżnika `Delta = b^2 - 4ac`.

Skąd bierze się ów wyróżnik? Rozwiązanie tego problemu zaspokoi jedynie ciekawość, nie wpłynie natomiast na rozwiązywanie równań wielomianowych. Uwaga: zob. też wzory Viète’a.

Zacznijmy od wyłączenia przed nawias współczynnika `a` w równaniu `ax^2 + bx + c = 0`: `a(x^2 + b/ax + c/a) = 0`. Uzupełnijmy teraz dwa pierwsze człony tak, by otrzymać pełny kwadrat. Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że `(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2`. Naszym `m` jest oczywiście `x`. Skoro `2mn` to `b/ax`, to `2n = b/a`, a co za tym idzie `n = b/(2a)`. Wobec tego `n^2 = b^2/(4a^2)`, i taki właśnie składnik musimy dopisać ze znakiem plus i ze znakiem minus, by równanie się nie zmieniło: `a(x^2 + b/ax + b^2/(4a^2) - b^2/(4a^2) + c/a) = 0`. Stosujemy wzór skróconego mnożenia: `a((x + b/(2a))^2 - b^2/(4a^2) + c/a) = 0`. Włączmy `a` do dwóch końcowych składników równania: `a(x + b/(2a))^2 - b^2/(4a) + c = 0`, a następnie sprowadźmy je do wspólnego mianownika: `a(x + b/(2a))^2 - b^2/(4a) + (4ac)/(4a) = 0` czyli `a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a) = 0`. Właśnie otrzymaliśmy wyrażenie, które znamy jako wyróżnik!

Nasze równanie przybrało więc postać `a(x + b/(2a))^2 - Delta/(4a) = 0`. Jeśli teraz oznaczymy `p = -b/(2a)` oraz `q = -Delta/(4a)`, otrzymamy równanie kwadratowe w postaci kanonicznej: `a(x - p)^2 + q = 0`. Postać kanoniczna odgrywa kluczową rolę w analizie matematycznej funkcji kwadratowej, my jednak nie będziemy się nią zajmować, ponieważ interesuje nas rozwiązania równania, a nie badanie funkcji.

Wracamy więc do postaci `a(x + b/(2a))^2 - Delta/(4a) = 0`. W zasadzie równanie takie powinien rozwiązać każdy uczeń szkoły średniej, nie korzystając z żadnych gotowych wzorów. Zamiast używać gotowców, podzielimy obie strony przez `a` (które z założenia nie może być zerem, inaczej równanie nie byłoby kwadratowe): `(x + b/(2a))^2 - Delta/(4a^2) = 0`. Oznaczmy sobie dla wygody `x + b/(2a) = t`, mamy wówczas `t^2 - Delta/(4a^2) = 0`.

Szkolna metoda rozwiązywania równań tej postaci polega na rozłożeniu dwumianu kwadratowego na czynniki zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia `m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)` (kolejność czynników ze znakiem plus i minus nie jest istotna). Naszym `m` jest tu oczywiście `t`. Co jednak jest naszym `n`? No właśnie… jest to pierwiastek z wyrażenia `Delta/(4a^2)`. Nie ma problemu ze spierwiastkowaniem mianownika (otrzymamy `2a`), co jednak z licznikiem? Przecież zgodnie ze szkolną matematyką pierwiastkowanie liczb ujemnych jest niewykonalne (rzeczywiście to prawda, ale pod warunkiem, że poruszamy sie wyłącznie w zbiorze liczb rzeczywistych). Musimy więc rozpatrzeć… dobrze znane nam już przypadki!

`Delta > 0`

Jeśli `Delta > 0`, nie ma problemu ze znalezieniem pierwiastka. Wówczas rozkładamy `t^2 - Delta/(4a^2) = 0` do postaci `(t + sqrt(Delta)/(2a))(t - sqrt(Delta)/(2a)) = 0`. Powróćmy teraz do zmiennej `x`: `(x + b/(2a) + sqrt(Delta)/(2a))(x + b/(2a) - sqrt(Delta)/(2a)) = 0`. Sprowadźmy dwa składniki do wspólnego mianownika, a przed ułamkiem postawmy minus, gdyż to ułatwi końcowe obliczenie rozwiązań: `(x - (-b - sqrt(Delta))/(2a))(x - (-b + sqrt(Delta))/(2a)) = 0`.

Gdy iloczyn dwóch wyrażeń równy jest zeru, to albo pierwsze wyrażenie jest równe zeru, albo drugie. Zatem albo `x - (-b - sqrt(Delta))/(2a) = 0` i wówczas `x = (-b - sqrt(Delta))/(2a)` (przydał się znak minus przed ułamkiem!), albo też `x - (-b + sqrt(Delta))/(2a) = 0` i wówczas `x = (-b + sqrt(Delta))/(2a)`. Zwyczajowo rozwiązania te oznaczamy odpowiednio `x_1` i `x_2`.

Jak widać, jeśli `Delta > 0`, to wielomian ma dwa różne miejsca zerowe i daje się przedstawić w postaci iloczynowej `a(x - x_1)(x - x_2)`. Zwróćmy jeszcze raz uwagę, że w rozkładzie występują pierwiastki `x_1` i `x_2` ze znakiem minus. Jeśli więc mamy rozwiązać równanie np. `5(x - 1/2)(x + 7) = 0`, to niczego nie wymnażamy, a z jego postaci od razu odczytujemy rozwiązania: `x_1 = -7`, `x_2 = 1/2`. W odpowiedzi do zadania piszemy często `x = -7 vv x = 1/2`, albo też `x in {-7; 1/2}`.

`Delta = 0`

Jeśli `Delta = 0`, wówczas nasze równanie `t^2 - Delta/(4a^2) = 0` upraszcza się do `t^2 = 0`, a więc do `(x + b/(2a))^2 = 0`. Nietrudno obliczyć, że wówczas `x = -b/(2a)`; takie dobrze znane nam z nauki szkolnej rozwiązanie zwyczajowo oznaczamy `x_0`. Wielomian daje się zaś przedstawić w postaci iloczynowej `a(x - x_0)^2`. Zauważmy, że w tym wypadku wzory na `x_1` i `x_2` pozostają prawdziwe, jedynie obie te liczby są sobie równe.

`Delta < 0`

Jeśli `Delta < 0`, wówczas przyjmujemy w nauce szkolnej, że równanie `t^2 - Delta/(4a^2) = 0` nie ma rozwiązań (słusznie byłoby przy tym pisać `x !in RR`). Gdybyśmy jednak dopuścili pierwiastkowanie liczb ujemnych, wówczas otrzymalibyśmy dwa rozwiązania, przy czym byłyby to rozwiązania zespolone nierzeczywiste (i dlatego nauczyciele mówiący, że równanie kwadratowe z ujemnym wyróżnikiem nie ma rozwiązań rzeczywistych mają całkowitą rację!). Od strony rachunkowej ich wyznaczanie nie różni się niczym od wyliczania rozwiązań w wypadku dodatniego wyróżnika, możemy jedynie usunąć minus spod pierwiastka i wprowadzić symbol jednostki urojonej `i`.

Rozwiążmy zatem na przykład równanie `x^2 + x + 1 = 0`. Możemy posłużyć się opisaną wyżej metodą uzupełniania do kwadratu (do czego zachęca się Czytelnika) lub skorzystać z gotowych wzorów. Obliczamy wyróżnik: `Delta = 1^2 - 4*1*1 = 1 - 4 = -3`. W szkole w tym miejscu piszemy `Delta < 0` i dodajemy (prawdziwy) wniosek, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. My jednak znajdziemy tutaj rozwiązania zespolone. Jest to zupełnie proste, musimy tylko pamiętać, że `sqrt(Delta)` jest liczbą urojoną, którą zapiszemy `sqrt(-3)` lub `i sqrt(3)` (wbrew niepoważnym zastrzeżeniom niektórych matematyków oba zapisy należy uznać za w pełni równoważne). Wówczas rozwiązaniami zespolonymi będą `x_1 = (-1 - i sqrt(3))/2` oraz `x_2 = (-1 + i sqrt(3))/2`.

Znajdowanie pierwiastków wielomianu stopnia trzeciego

Metoda Cardana

Wszystkie równania stopnia 2. dają się rozwiązać przy pomocy wyróżnika lub innych metod. Równania stopnia 5. i wyższych stopni dają się rozwiązać tylko w szczególnych przypadkach. Można wręcz udowodnić, że rozwiązania większości z nich da się ustalić jedynie w przybliżeniu. Jednak dla równań stopni 3. i 4. opracowano metody znajdowania miejsc zerowych, które mają jednak kilka poważnych wad, i dlatego na ogół nie omawia się ich w szkołach na lekcjach matematyki.

Po pierwsze, metody te wymagają dość żmudnych obliczeń. Jeśli miejsca zerowe wielomianu są liczbami wymiernymi, można je znaleźć przy pomocy innych metod, najczęściej grupowania lub dzielenia przez dwumian. Jeśli miejsca zerowe wielomianu nie są wymierne, i tak w praktyce interesują nas często ich wartości przybliżone, które można znaleźć z dowolną dokładnością przy użyciu metod, których nie będziemy tu omawiać. Zdarza się także, że w wyniku zastosowania metody omawianej w tym rozdziale dochodzimy do pierwiastków z liczb ujemnych, które nie są liczbami rzeczywistymi (ale zespolonymi), a mimo to ostateczny wynik okazuje się liczbą rzeczywistą. Jej wartości nie można jednak wyrazić w sposób dokładny, używając tylko liczb rzeczywistych. W praktyce w większości takich wypadków jesteśmy i tak zmuszeni do poprzestania na wartościach przybliżonych (które często znajduje się metodami bazującymi na funkcjach trygonometrycznych). Wszystko to sprawia, że ogólne metody rozkładu wielomianów stopnia 3. i 4. pozostają bardziej ciekawostką niż praktycznym sposobem obliczeń.

Mimo tych wszystkich zastrzeżeń istnieją równania stopnia 3., które można próbować rozwiązywać metodą, którą udoskonalił i opublikował Girolamo Cardano, włoski matematyk żyjący w XVI wieku (1501–1576), a której pomysłodawcami byli wcześniej Scipione del Ferro (1465–1526) i Niccolò Fontana Tartaglia (1499/1500–1557). Niekiedy otrzymujemy bowiem wyrażenia dość skomplikowane, ale jednak złożone wyłącznie z liczb rzeczywistych. Wartości tych nie można otrzymać w inny, podobnie względnie prosty sposób.

Po sprawdzeniu, że wielomianu nie da się rozłożyć w inny sposób, pozbywamy się wyrazu stopnia drugiego. W tym celu w równaniu `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0` wprowadzamy nową zmienną, podstawiając `x = y - b/(3a)` (dokonujemy transformacji Tschirnhausa). Redukcja wyrazów podobnych doprowadza do równania postaci `y^3 + py + q = 0`.

Skąd taka idea? Otóż wynika ona z zamiaru utworzenia w naszym równaniu pełnego sześcianu z wyrazów stopnia trzeciego i drugiego (analogicznie, jak było to w wypadku równania stopnia drugiego). Znów zatem zacznijmy od wyciągnięcia przed nawias współczynnika przy najwyższej potędze: `a(x^3 + b/ax^2 + c/ax + d/a) = 0`. Z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia wiemy, że `(m + n)^3 = m^3 + 3m^2n + 3mn^2 + n^3`. Naszym `m` jest jak poprzednio `x`. Skoro `b/ax^2 = 3m^2n`, to `b/a = 3n`, skąd `n = b/(3a)`. Potrzebne człony to `3mn^2 = 3x*(b/(3a))^2 = b^2/(3a^2)x` oraz `n^3 = b^3/(27a^3)`. Dodajemy je i odejmujemy, a następnie tworzymy pełny sześcian i dzielimy obie strony przez `a` (które musi być różne od zera):

`a(x^3 + b/ax^2 + b^2/(3a^2)x + b^3/(27a^3) - b^2/(3a^2)x - b^3/(27a^3) + c/ax + d/a) = 0`,

`a((x + b/(3a))^3 + (c/a - b^2/(3a^2))x + d/a - b^3/(27a^3)) = 0`,

`(x + b/(3a))^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))x + (27a^2d - b^3)/(27a^3) = 0`.

Podstawmy teraz `x = y - b/(3a)` i dokonajmy niezbędnych redukcji:

`(y - b/(3a) + b/(3a))^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))(y - b/(3a)) + (27a^2d - b^3)/(27a^3) = 0`,

`y^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))y - ((3ac - b^2)/(3a^2))*b/(3a) + (27a^2d - b^3)/(27a^3) = 0`,

`y^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))y - (3(3ac - b^2)b)/(27a^3) + (27a^2d - b^3)/(27a^3) = 0`,

`y^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))y + (27a^2d - b^3 - 9abc + 3b^3)/(27a^3) = 0`,

`y^3 + ((3ac - b^2)/(3a^2))y + (27a^2d - 9abc + 2b^3)/(27a^3) = 0`.

Oznaczmy teraz `(3ac - b^2)/(3a^2) = p` oraz `(27a^2d - 9abc + 2b^3)/(27a^3) = q`. Istotnie, otrzymamy wówczas `y^3 + py + q = 0`.

W dalszym ciągu założymy, że `p != 0` i `q != 0` (z czego wynika także `y != 0`); w przeciwnym wypadku równanie daje się rozwiązać w zupełnie trywialny sposób. Teraz z kolei podstawiamy `y = u + v`, przy czym nowe zmienne są na razie niezdefiniowane (założymy jedynie, że `u != 0 ^^ v != 0`). Otrzymujemy kolejno:

`(u + v)^3 + p(u + v) + q = 0`,

`u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + p(u + v) + q = 0`,

`u^3 + v^3 + q + 3uv(u + v) + p(u + v) = 0`,

`u^3 + v^3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0`.

Ponieważ `u` i `v` obraliśmy dowolnie, możemy narzucić teraz jeden warunek `u^3 + v^3 + q = 0`; wówczas druga część sumy też musi być zerem:

`{(u^3 + v^3 + q = 0),((3uv + p)(u + v) = 0):}`

Wiemy, że `u + v = y != 0`, zatem drugi warunek dzielimy stronami przez `u + v` i upraszczamy do postaci `3uv + p = 0`. Stąd `v = (- p)/(3u)`, co podstawiamy do pierwszego warunku, i otrzymujemy:

`u^3 + v^3 + q = 0`,

`u^3 + ((- p)/(3u))^3 + q = 0`,

`u^6 + qu^3 - (p/3)^3 = 0`.

Otrzymane równanie szóstego stopnia nazywane bywa rezolwentą Lagrange’a. Po podstawieniu `u^3 = t` i otrzymujemy równanie kwadratowe `t^2 + qt - (p/3)^3 = 0`. Wyróżnikiem tego równania jest `Delta = q^2 - 4*1*(-p/3)^3/27` czyli `Delta = q^2 + 4(p/3)^3`. Jego pierwiastkami są natomiast `t_1 = (-q - sqrt(q^2 + 4(p/3)^3))/2` oraz `t_2 = (-q + sqrt(q^2 + 4(p/3)^3))/2`. Można się łatwo przekonać, że `u` i `v` równają się odpowiednio pierwiastkom sześciennym z `t_1` i `t_2` (wystarczy zauważyć, że `t_1 + t_2 = -q`, a przecież także `u^3 + v^3 = -q`). Innymi słowy, pierwsze z rozwiązań naszego równania będzie miało postać:

`y_1 = root(3)((-q - sqrt(q^2 + 4(p/3)^3))/2) + root(3)((-q + sqrt(q^2 + 4(p/3)^3))/2)`.

Zwyczajowo definiujemy wyróżnik trójmianu sześciennego jako `Delta = (p/3)^3 + (q/2)^2` (czyli wartość czterokrotnie mniejszą od podanej). Wówczas jednym z pierwiastków równania `y^3 + py + q = 0` jest `y_1 = root(3)(-q/2 - sqrt(Delta)) + root(3)(-q/2 + sqrt(Delta))`. Wyrażenie to zawiera wyłącznie liczby rzeczywiste, jeśli `Delta geq 0`. Jeśli `Delta > 0`, wówczas nie ma innych rozwiązań rzeczywistych. W rozkładzie wielomianu wystąpi nierozkładalny trójmian kwadratowy, który możemy znaleźć innymi metodami (dzieleniem lub dopisywaniem składników). Jeśli `Delta = 0`, trójmian sześcienny ma jeszcze pierwiastek rzeczywisty podwójny, który znajdziemy łatwo (wystarczy uwzględnić fakt, że suma wszystkich trzech pierwiastków jest równa zero).

Jeśli jednak `Delta < 0` (tzw. przypadek nieprzywiedlny), obliczony pierwiastek jest rzeczywisty, ale wyrażony działaniami na liczbach zespolonych. Znalezienie jego wartości dokładnej wyrażonej wyłącznie liczbami rzeczywistymi może się okazać trudne lub niemożliwe. Metoda Cardana nie sprawdza się wówczas na ogół jako sposób rozkładu wielomianu stopnia trzeciego, a do obliczenia jego miejsc zerowych trzeba posłużyć się metodami przybliżonymi.

Niekiedy przyjmuje się, że równanie ze zredukowanym wyrazem stopnia drugiego ma postać `y^3 + 3py + 2q = 0` – tak oznaczone `p` jest trzy razy mniejsze niż poprzednio, zaś `q` jest dwa razy mniejsze. Wówczas wyróżnik przyjmuje prostą postać: `Delta = p^3 + q^2` (znaczenie symboli `p` i `q` jest tu inne niż poprzednio, zatem wartość wyróżnika jest identyczna jak w sposobie omówionym wyżej). Przy takich oznaczeniach wzór na pierwiastek nie zawiera ułamków: `y_1 = root(3)(-q - sqrt(Delta)) + root(3)(-q + sqrt(Delta))`.

Do tej pory zakładaliśmy, że dana liczba ma tylko jeden pierwiastek sześcienny. Jest to prawdą, ale tylko pod warunkiem, że pozostajemy cały czas w zbiorze liczb rzeczywistych. Tymczasem jak zobaczyliśmy, nawet rzeczywiste rozwiązania równania stopnia trzeciego nie mogą się niekiedy obyć bez liczb zespolonych.

Wiemy też, że każdy wielomian `n`-tego stopnia ma `n` pierwiastków zespolonych (wśród których mogą być pierwiastki jednakowe). A przecież poszukiwanie pierwiastka sześciennego to nic innego jak rozwiązywanie pewnego rówanania wielomianowego! Powinniśmy więc założyć, że albo pierwiastek sześcienny jest w rzeczywistości pierwiastkiem trzykrotnym odpowiedniego wielomianu, albo oprócz niego istnieją dwa inne rozwiązania.

Sprawdźmy to na przykładzie najprostszej możliwej liczby rzeczywistej, `1`. Niech `z` oznacza każdy z jej pierwiastków sześciennych. Zapiszemy wówczas `z^3 = 1`. Właśnie utworzyliśmy równanie stopnia trzeciego, i postaramy się znaleźć wszystkie jego rozwiązania.

Nasze równanie porządkujemy do postaci `z^3 - 1 = 0`. Następnie wielomian rozkładamy, posługując się odpowiednim wzorem skróconego mnożenia: `(z - 1)(z^2 + z + 1) = 0`. Drugi czynnik jest nierozkładalny, co oznacza, że jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest `z_1 = 1` (wynika ono z przyrównania do zera pierwszego czynnika: `z - 1 = 0`). Zbadajmy jednak sytuację, gdy `z^2 + z + 1 = 0`. Oczywiście nie jest to możliwe dla żadnego `z in RR`, ale my przecież nie chcemy ograniczać się do liczb rzeczywistych. Rozwiązujemy więc to równanie w liczbach zespolonych (p. wyżej), i otrzymujemy szukane dwie wartości `z_2 = (-1 - i sqrt(3))/2` oraz `z_3 = (-1 + i sqrt(3))/2`.

Uważny adept matematyki zauważy ciekawą właściwość tych liczb. Są one rozwiązaniami równania `z^2 + z + 1 = 0`, z czego wynika, że `z^2 = -z - 1`. Sprawdźmy, ile wyniesie `z_2^2`, korzystając z tej zależności: `z_2^2 = -((-1 - i sqrt(3))/2) - 1 = 1/2 + (i sqrt(3))/2 - 1 = -1/2 + (i sqrt(3))/2 = (-1 + i sqrt(3))/2`, czyli niespodziewanie `z_2^2 = z_3`.

Możemy to samo policzyć wprost, podnosząc `z_2` do kwadratu. Musimy przy tym jedynie pamiętać, że `i^2 = -1`. W obliczeniach pomoże wzór skróconego mnożenia:

`z_2^2 = ((-1 - i sqrt(3))/2)^2`,

`z_2^2 = (-(1 + i sqrt(3))/2)^2`,

`z_2^2 = ((1 + i sqrt(3))/2)^2`,

`z_2^2 = (1^2 + 2*1*i sqrt(3) + (i sqrt(3))^2)/4`,

`z_2^2 = (1 + 2i sqrt(3) + (-1*3))/4`,

`z_2^2 = (-2 + 2i sqrt(3))/4`,

`z_2^2 = (-1 + i sqrt(3))/2`.

Całkiem podobnie sprawdzimy także, że `z_3^2 = z_2`. Z uwagi na tę ciekawą zależność stosujemy często oznaczenia `epsilon = z_2 = (-1 - i sqrt(3))/2` oraz `epsilon^2 = z_3 = (-1 + i sqrt(3))/2`. Posługując się tymi symbolami, stwierdzamy ostatecznie, że równanie `z^3 - 1 = 0` ma 3 rozwiązania: jedno rzeczywiste `1` oraz dwa zespolone `epsilon` i `epsilon^2`.

Można uzasadnić, że każde równanie `z^3 - w = 0` ma także trzy rozwiązania. Jeden z nich jest rzeczywisty: `root(3)(w)`. Ponieważ `w = 1*w`, więc obok tego istnieją dwa rozwiązania zespolone: `epsilon root(3)(w)` i `epsilon^2 root(3)(w)`.

Wróćmy teraz do naszego ogólnego rozwiązania równania stopnia trzeciego. Stwierdziliśmy wyżej, że `u` i `v` równają się odpowiednio pierwiastkom sześciennym z `t_1` i `t_2`. W istocie jednak każda z niewiadomych `u` i `v` może przybierać aż trzy wartości: `root(3)(t_i)`, `epsilon root(3)(t_i)` oraz `epsilon^2 root(3)(t_i)`.

Co w takim razie z rozwiązaniami `y_i`? Czy jest ich dziewięć? Nie, ponieważ `u` i `v` są ze sobą związane zależnością `uv = -p/3`, zatem rozwiązania nie mogą być wybierane niezależnie. Łatwo można wykazać, że poprawnymi rozwiązaniami są tylko:

`y_1 = root(3)(-q - sqrt(Delta)) + root(3)(-q + sqrt(Delta))`,

`y_2 = epsilon root(3)(-q - sqrt(Delta)) + epsilon^2 root(3)(-q + sqrt(Delta))`,

`y_3 = epsilon^2 root(3)(-q - sqrt(Delta)) + epsilon root(3)(-q + sqrt(Delta))`.

Metodę Cardano pokażemy od podstaw (bez stosowania podanych wyżej gotowych wzorów) na przykładzie równania `x^3 - x^2 - x - 1 = 0`. Sprawdzamy najpierw, że ani `1`, ani `-1` (dzielniki wyrazu wolnego) nie są jego rozwiązaniami, w związku z czym na pewno nie pomoże nam ani grupowanie wyrazów, ani próba dzielenia przez dwumian.

Zaczynamy od pozbycia się wyrazu stopnia drugiego.

Tą metodą obliczyliśmy jeden z pierwiastków wielomianu. Obliczenie dwóch pozostałych wymaga użycia liczb zespolonych (w tym zespolonych pierwiastków sześciennych z jedności `epsilon` i `epsilon^2`). Możemy więc na tym etapie zapisać jedynie, że `x^3 - x^2 - x - 1 = w(x)*(x - 1/3(1 + root(3)(19 - 3sqrt(33)) + root(3)(19 + 3sqrt(33))))`. Obliczenie `w(x)` jest żmudne z uwagi na skomplikowaną postać wyliczonego pierwiastka rzeczywistego i wymaga zastosowania innych metod, np. dzielenia wielomianów lub dopisywania składników.

Uwaga: liczba `1/3(1 + root(3)(19 - 3sqrt(33)) + root(3)(19 + 3sqrt(33)))` znana jest jako stała „Tribonacciego” i występuje m.in. w rozważaniach na temat wielościanów półforemnych.

Znajdowanie pierwiastków wielomianu stopnia czwartego

Istnieje kilka metod rozwiązywania równań stopnia czwartego. Są dość żmudne i w praktyce stosuje się je tylko w przypadkach, gdy wielomianu nie uda się rozłożyć na czynniki.

Metoda Ferrariego

Metodę rozwiązywania dowolnego równiania stopnia 4. jako pierwszy opracował Lodovico Ferrari (1522–1565), uczeń Cardana. Jest to właściwie modyfikacja metody stosowanej dla równań stopnia trzeciego. Podobnie jak w ich przypadku, po sprawdzeniu, że wielomianu czwartego stopnia nie da się rozłożyć w inny sposób, pozbywamy się wyrazu stopnia trzeciego. W tym celu w równaniu `ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0` wprowadzamy nową zmienną, podstawiając `x = y - b/(4a)` (dokonujemy transformacji Tschirnhausa). Redukcja wyrazów podobnych doprowadza do równania postaci `y^4 + py^2 + qy + r = 0`.

Podobnie jak poprzednio, pokażemy, dlaczego właściwie dokonujemy owej transformacji. Podzielmy równanie `ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0` obustronnie przez `a`, otrzymując `x^4 + b/ax^3 + c/ax^2 + d/ax + e/a = 0`. Wykorzystamy teraz wzór skróconego mnożenia `(m + n)^4 = m^4 + 4m^3n + 6m^2n^2 + 4mn^3 + n^4`. Z porównania dwóch pierwszych wyrazów naszego równania z prawą stroną wzoru otrzymamy `m = x`, `4m^3n = b/ax^3`, skąd `4n = b/a` i `n = b/(4a)`, następnie `6m^2n^2 = 6b^2/(16a^2)x^2`, `4mn^3 = 4b^3/(64a^3)x` i `n^4 = b^4/(256a^4)`. W dalszej kolejności podstawimy `x = y - b/(4a)`. Równanie przybierze kolejno postać:

`x^4 + b/ax^3 + 6b^2/(16a^2)x^2 + 4b^3/(64a^3)x + b^4/(256a^4) + c/ax^2 - 6b^2/(16a^2)x^2 + d/ax - 4b^3/(64a^3)x + e/a - b^4/(256a^4) = 0`,

`(x + b/(4a))^4 + (c/a - 6b^2/(16a^2))x^2 + (d/a - 4b^3/(64a^3))x + e/a - b^4/(256a^4) = 0`,

`(y - b/(4a) + b/(4a))^4 + (16ac - 6b^2)/(16a^2)(y - b/(4a))^2 + (64a^2d - 4b^3)/(64a^3)(y - b/(4a)) + (256a^3e - b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)(y^2 - 2b/(4a)y + (b/(4a))^2) + (16a^2d - b^3)/(16a^3)y - (16a^2d - b^3)/(16a^3)(b/(4a)) + (256a^3e - b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)y^2 - (8ac - 3b^2)/(8a^2)(2b)/(4a)y + (16a^2d - b^3)/(16a^3)y + (8ac - 3b^2)/(8a^2)(b/(4a))^2 - ((16a^2d - b^3)b)/(64a^4) + (256a^3e - b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)y^2 - (2b(8ac - 3b^2))/(32a^3)y + (32a^2d - 2b^3)/(32a^3)y + (2(8ac - 3b^2)b^2)/(256a^4) - (64a^2bd - 4b^4)/(256a^4) + (256a^3e - b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)y^2 + (32a^2d - 2b^3 - 16abc + 6b^3)/(32a^3)y + (16ab^2c - 6b^4 - 64a^2bd + 4b^4 + 256a^3e - b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)y^2 + (32a^2d - 16abc + 4b^3)/(32a^3)y + (16ab^2c - 64a^2bd + 256a^3e - 3b^4)/(256a^4) = 0`,

`y^4 + (8ac - 3b^2)/(8a^2)y^2 + (8a^2d - 4abc + b^3)/(8a^3)y + (256a^3e - 64a^2bd + 16ab^2c - 3b^4)/(256a^4) = 0`.

Wprowadźmy teraz oznaczenia: `(8ac - 3b^2)/(8a^2) = p`, `(8a^2d - 4abc + b^3)/(8a^3) = q`, `(256a^3e - 64a^2bd + 16ab^2c - 3b^4)/(256a^4) = r`. Wówczas równanie przybiera postać `y^4 + py^2 + qy + r = 0`.

Naszym celem będzie teraz zapisanie tej zależności jako równości dwóch kwadratów. W tym celu najpierw dodamy do obu stron `py^2 + p^2`, otrzymując `y^4 + 2py^2 + p^2 + qy + r = py^2 + p^2`. Trzy pierwsze wyrazy po stronie lewej utworzą pełny kwadrat, pozostałe dwa przeniesiemy na stronę prawą: `(y^2 + p)^2 = py^2 + p^2 - qy - r`.

Aby także prawą stronę zapisać jako kwadrat, potrzebować będziemy nowej zmiennej `z`. Gdyby po prawej stronie występowało wyrażenie `(y^2 + p + z)^2`, można by je także zapisać jako `(y^2 + p)^2 + 2(y^2 + p)z + z^2`. Jeśli zatem do obu stron nierówności dopiszemy `2(y^2 + p)z + z^2`, będziemy rzeczywiście w stanie dodać `z` do kwadratu po lewej:

`(y^2 + p)^2 + 2(y^2 + p)z + z^2 = py^2 + p^2 - qy - r + 2(y^2 + p)z + z^2`,

`(y^2 + p + z)^2 = (p + 2z)y^2 - qy + p^2 - r + 2pz + z^2`.

Po prawej stronie mamy teraz wielomian drugiego stopnia zmiennej `y`, który jest pełnym kwadratem wówczas, gdy jego wyróżnik jest równy zeru:

`Delta = 0 ⇔ (- q)^2 - 4(p + 2z)(p^2 - r + 2pz + z^2) = 0`,

`q^2 - 4p^3 + 4pr - 8p^2z - 4pz^2 - 8p^2z + 8rz - 16pz^2 - 8z^3 = 0`,

`q^2 - 4p^3 + 4pr - 16p^2z + 8rz - 20pz^2 - 8z^3 = 0`,

`8z^3 + 20pz^2 + 8(2p^2 - r)z + 4p^3 - 4pr - q^2 = 0`.

Równanie to, zwane równaniem rozwiązującym (lub rezolwentą), należy rozwiązać dowolną metodą, znajdując `z`. Wystarczy wziąć jedno z trzech możliwych rozwiązań.

Dla równania `ax^2 + bx + c = 0`, gdy `Delta = 0`, postacią iloczynową jest `a(x - x_0)^2 = 0`, przy czym `x_0 = -b/(2a)`. Jeśli prawa strona naszego równania `(p + 2z)y^2 - qy + p^2 - r + 2pz + z^2` jest pełnym kwadratem, to wówczas odpowiednikiem `a` jest `p + 2z`, odpowiednikiem `b` jest `-q`, zatem odpowiednikiem `x_0` jest `q/(2(p + 2z))`. Wówczas prawą stronę można zapisać jako `(p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z)))^2`, czyli całe równanie przybierze postać:

`(y^2 + p + z)^2 = (p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z)))^2`.

Przerzućmy całość na lewą stronę: `(y^2 + p + z)^2 - (p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z)))^2 = 0`, i zastosujmy odpowiedni wzór skróconego mnożenia:

`((y^2 + p + z) - sqrt(p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z))))((y^2 + p + z) + sqrt(p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z)))) = 0`,

`y^2 + p + z - sqrt(p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z))) = 0 vv y^2 + p + z + sqrt(p + 2z)(y - (-q)/(2(p + 2z))) = 0`,

`y^2 - sqrt(p + 2z)y + p + z - (q sqrt(p + 2z))/(2(p + 2z)) = 0 vv y^2 + sqrt(p + 2z)y + p + z + (q sqrt(p + 2z))/(2(p + 2z)) = 0`.

Mamy tu dwa równania kwadratowe względem `y`, które rozwiązujemy przy pomocy wyróżnika. Otrzymujemy więc łącznie cztery rozwiązania zespolone, które pozostają rzeczywiste tylko wówczas, gdy wyrażenia pod pierwiastkami są nieujemne:

`y_1 = 1/2 (sqrt(p + 2z) - sqrt(-3p - 2z + (2q)/sqrt(p + 2z)))`,

`y_2 = 1/2 (sqrt(p + 2z) + sqrt(-3p - 2z + (2q)/sqrt(p + 2z)))`,

`y_3 = 1/2 (-sqrt(p + 2z) - sqrt(-3p - 2z - (2q)/sqrt(p + 2z)))`,

`y_4 = 1/2 (-sqrt(p + 2z) + sqrt(-3p - 2z - (2q)/sqrt(p + 2z)))`.

Pamiętajmy, że rozwiązanie początkowego równania wymaga jeszcze powrotu do niewiadomej `x = y - b/(4a)`.

Metoda Kartezjusza-Eulera

Metoda ta jest kolejną modyfikacją metody Cardana, dostosowaną do równań stopnia czwartego. Podobnie jak w metodzie Ferrariego, w równaniu `a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0` wprowadzamy nową zmienną, podstawiając `x = y - b/(4a)` (dokonujemy transformacji Tschirnhausa). Redukcja wyrazów podobnych doprowadza do równania postaci `y^4 + p y^2 + q y + r = 0`. Zakładamy przy tym, że przynajmniej `q != 0 ^^ r != 0`, bowiem w przeciwnym wypadku równanie da się rozwiązać prostszymi metodami.

Dokonujemy teraz podstawienia `y = (u + v + w)/2` (tzn. rozbijamy niewiadomą na sumę trzech nowych, dla wygody dalszych obliczeń podzielonych przez dwa). Przemnożenie stronami przez 16 i dalsza redukcja doprowadzi równanie kolejno do postaci:

`u^4 + v^4 + w^4 + 4 (u^3 v + u v^3 + u^3 w + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 6 (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) +`
`+ 12 (u^2 v w + u v^2 w + u v w^2) + p (4 u^2 + 8 u v + 4 v^2 + 8 u w + 8 v w + 4 w^2) + q (8 u + 8 v + 8 w) + 16 r = 0`,

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 - 2 (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 4 (u^3 v + u v^3 + u^3 w + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 6 (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) +`
`+ 12 (u^2 v w + u v^2 w + u v w^2) + 4 p (u^2 + v^2 + w^2) + 8 p (u v + u w + v w) + 8 q (u + v + w) + 16 r = 0`,

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 p (u^2 + v^2 + w^2) + 8 p (u v + u w + v w) + 4 (u^3 v + u v^3 + u^3 w + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 4 u v w (u + v + w) +`
`+ 4 (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8 u v w (u + v + w) + 8 q (u + v + w) + 16 r = 0`,

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4p(u^2 + v^2 + w^2) + 8p(u v + u w + v w) + 4((u^2 + v^2 + w^2)u v + (u^2 + v^2 + w^2)u w + (u^2 + v^2 + w^2)v w) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8(u v w + q)(u + v + w) + 16r = 0`,

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4p(u^2 + v^2 + w^2) + 8p(u v + u w + v w) + 4(u^2 + v^2 + w^2)(u v + u w + v w) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8(u v w + q)(u + v + w) + 16r = 0`,

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4p(u^2 + v^2 + w^2) + 4(u^2 + v^2 + w^2 + 2p)(u v + u w + v w) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8(u v w + q)(u + v + w) + 16r = 0`.

Z uwagi na swobodę doboru `u`, `v`, `w` możemy teraz narzucić dwa warunki. Niech pierwszym będzie, że `8(u v w + q)(u + v + w) = 0`. Ponieważ `u + v + w = y`, a wykluczamy rozwiązanie `y = 0`, możemy zapisać warunek `u v w + q = 0`.

Pozostała część równania też musi być równa zero:

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4p(u^2 + v^2 + w^2) + 4(u^2 + v^2 + w^2 + 2p)(u v + u w + v w) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 16r = 0`.

Wykorzystajmy teraz możliwość narzucenia kolejnego warunku, i zażądajmy teraz, by `u^2 + v^2 + w^2 + 2p = 0`. Wówczas oczywiście zeruje się cały składnik `4(u^2 + v^2 + w^2 + 2p)(u v + u w + v w) = 0`, ale także pozostała część równania musi być równa zeru:

`(u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4p(u^2 + v^2 + w^2) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 16r = 0`

Z warunku `u^2 + v^2 + w^2 + 2p = 0` otrzymujemy, że `u^2 + v^2 + w^2 = - 2p`; podstawmy to do równania i dokonajmy redukcji:

`(-2p)^2 + 4p(-2p) + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 16r = 0`,

`4p^2 - 8p^2 + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 16r = 0`,

`-4p^2 + 4(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 16r = 0`,

`-p^2 + u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 + 4r = 0`,

`u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 = p^2 - 4r`.

Otrzymaliśmy więc układ warunków:

`{(u v w + q = 0),(u^2 + v^2 + w^2 + 2p = 0),(u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 = p^2 - 4r):}`

Układ ten porównamy ze wzorami Viète’a dla równania stopnia trzeciego `a z^3 + b z^2 + c z + d = 0`:

`{(z_1 + z_2 + z_3 = -b/a),(z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3 = c/a),(z_1 z_2 z_3 = -d/a):}`

Przyjmijmy `a = 1`, wówczas `b = -(u^2 + v^2 + w^2) = 2p`, `c = u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2 = p^2 - 4r` oraz `d = - u^2 v^2 w^2 = - q^2` (warunek `u v w + q = 0` czyli `u v w = -q` musimy podnieść do kwadratu, minus wynika z wzoru Viète’a). Ostatecznie zatem otrzymujemy następujące równanie rozwiązujące:

`z^3 + 2p z^2 + (p^2 - 4r)z - q^2 = 0`,

z którego możemy wyznaczyć (dowolną metodą) 3 rozwiązania `z_1`, `z_2` i `z_3`. Następnie rozwiązujemy układ równań:

`{(u^2 = z_1),(v^2 = z_2),(w^2 = z_3):}`

w taki sposób, że za `u` i `v` przyjmujemy dowolny z pierwiastków, zaś `w` dobierając tak, by był spełniony warunek `u v w = -q`. W końcu uzyskujemy pierwsze rozwiązanie równania stopnia czwartego, biorąc `y_1 = (u + v + w)/2`. Zmiana znaku dokładnie dwóch zmiennych spośród `u`, `v`, `w` nie naruszy warunku `u v w = -q`, dlatego rozwiązaniami równania stopnia czwartego będą także: `y_2 = (u - v - w)/2`, `y_3 = (-u + v - w)/2`, oraz `y_4 = (-u - v + w)/2`.

Metoda Kartezjusza-Eulera dla pełnej postaci równania stopnia czwartego

Metodę podstawienia trzech parametrów `u`, `v`, `w` możemy zastosować także do pełnej postaci równania (bez transformacji Tschirnhausa): `a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0`. Konieczna okaże się przy tym znajomość wzorów Viète’a. Pomnóżmy najpierw obie strony przez 16 dla uniknięcia ułamków, a następnie podstawmy `x = (u + v + w)/2`. Otrzymamy wówczas sumę wyrazów, którą możemy pogrupować w zależności od stopnia i współczynnika:

• wyrazy stopnia czwartego: `a (u^4 + v^4 + w^4) + 4 a (u^3 v + u v^3 + u^3 w + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 6 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2)`,
• wyrazy stopnia trzeciego: `12 a u v w (u + v + w) + 2 b (u + v + w)^3`,
• wyrazy stopnia drugiego: `8 c (u v + u w + v w) + 4 c (u^2 + v^2 + w^2)`,
• wyrazy stopnia pierwszego: `8 d (u + v + w)`,
• wyraz stopnia zerowego: `16 e`.

Korzystając z tożsamości `(u^2 + v^2 + w^2)^2 = u^4 + v^4 + w^4 + 2 u^2 v^2 + 2 u^2 w^2 + 2 v^2 w^2` zastępujemy pierwszy składnik przez `a (u^2 + v^2 + w^2)^2 - 2 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2)`, otrzymując po redukcji równanie w postaci:

`a (u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8 a u v w (u + v + w) + 4 a (u^3 v + u^3 w + u v^3 + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 4 a u v w (u + v + w) +`
`+ 2 b (u + v + w)^3 + 8 c (u v + u w + v w) + 4 c (u^2 + v^2 + w^2) + 8 d (u + v + w) + 16 e = 0`,

`a (u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 c (u^2 + v^2 + w^2) + 8 c (u v + u w + v w) + 4 a (u^3 v + u^3 w + u v^3 + v^3 w + u w^3 + v w^3) + 4 a u v w (u + v + w) +`
`+ 4 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 12 b u v w + 6 b (u^2 v + u v^2 + u^2 w + v^2 w + u w^2 + v w^2) + 2 b (u^3 + v^3 + w^3) + 8 a u v w (u + v + w) + 8 d (u + v + w) + 16 e = 0`,

`a (u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 c (u^2 + v^2 + w^2) + 4 a (u v (u^2 + v^2 + w^2) + u w (u^2 + v^2 + w^2) + v w (u^2 + v^2 + w^2)) + 8 c (u v + u w + v w) +`
`+ 4 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8 (u + v + w)(a u v w + d) + 2 b (u^3 + v^3 + w^3 + u^2 v + u v^2 + u^2 w + v^2 w + u w^2 + v w^2) - 2 b (u^2 v + u v^2 + u^2 w + v^2 w + u w^2 + v w^2) +`
`+ 6 b (u^2 v + u v^2 + u^2 w + v^2 w + u w^2 + v w^2) + 12 b u v w + 16 e = 0`,

`a (u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 c (u^2 + v^2 + w^2) + 4 (u v + u w + v w) (2 c + a u^2 + a v^2 + a w^2) +`
`+ 4 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8 (u + v + w)(a u v w + d) + 2 b (u + v + w) (u^2 + v^2 + w^2) +`
`+ 4 b (u^2 v + u v^2 + u^2 w + v^2 w + u w^2 + v w^2 + 3 u v w) + 16 e = 0`,

`a (u^2 + v^2 + w^2)^2 + 4 c (u^2 + v^2 + w^2) + 4 (u v + u w + v w) (2 c + a (u^2 + v^2 + w^2)) +`
`+ 4 a (u^2 v^2 + u^2 w^2 + v^2 w^2) + 8 (u + v + w)(a u v w + d) + 2 b (u + v + w) (u^2 + v^2 + w^2) + 4 b (u + v + w) (u v + u w + v w) + 16 e = 0`.

Metoda porównywania współczynników

W tej metodzie rozkładamy wielomian stopnia czwartego (lewą stronę równania) na dwa trójmiany kwadratowe. Może to być celem zadania, może też stanowić wstęp do rozwiązania równania czwartego stopnia.

Zaczynamy od podzielenia równania przez współczynnik a. Po lewej stronie pozostaje wówczas wielomian o postaci `x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e`, który chcemy przedstawić jako iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych: `(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)`. Po wymnożeniu czynników otrzymujemy `x^4 + (p + r)x^3 + (q + pr + s)x^2 + (ps + qr)x + qs`, i przyrównujemy odpowiednie współczynniki ze współczynnikami wielomianu, który chcemy rozłożyć. Odpowiedni układ równań pozwala nam znaleźć współczynniki obu czynników.

Rachunki znacznie się uproszczą, gdy w równaniu `ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0` dokonamy transformacji Tschirnhausa, podstawiając `x = y - b/(3a)`. Uzyskamy wówczas równanie postaci `y^4 + ky^2 + ly + m = 0`. Przedstawimy je w postaci `(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)`, która po wymnożeniu daje `x^4 + (p + r)x^3 + (q + pr + s)x^2 + (ps + qr)x + qs`. Otrzymamy następujący układ równań:

`{(p + r = 0),(q + pr + s = k),(ps + qr = l),(qs = m):}`

Pozbywamy się zmiennej `r`:

`{(r = -p),(q - p^2 + s = k),(ps - pq = l),(qs = m):}`

Zajmijmy się tylko dwoma środkowymi równaniami, zakładając `p != 0` i nieco je przekształcając:

`{(s + q = k + p^2),(s - q = l/p):}`

Teraz dodajmy je i odejmijmy stronami:

`{(2s = k + p^2 + l/p),(2q = k + p^2 - l/p):}`

Kolejnym krokiem będzie przemnożenie równań przez siebie:

`4qs = (k + p^2 + l/p)(k + p^2 - l/p)`.

Wiemy jednak (z czwartego równania), że `qs = m`. Napiszemy zatem:

`4m = (k + p^2)^2 - (l/p)^2`,

`4m = k^2 + 2kp^2 + p^4 - (l/p)^2`.

Pozbywamy się ułamka:

`4mp^2 = k^2p^2 + 2kp^4 + p^6 - l^2`.

Podstawmy `p^2 = t`, mamy wówczas:

`4mt = k^2t + 2kt^2 + t^3 - l^2`,

`t^3 + 2kt^2 + (k^2 - 4m)t - l^2 = 0`.

Otrzymaliśmy równanie stopnia trzeciego, które rozwiązujemy dowolną metodą. Po obliczeniu `t` wyznaczamy `p = root(3)(t)` i pozostałe współczynniki: `q = 1/2(k + p^2 - l/p)`, `r = -p`, `s = 1/2(k + p^2 + l/p)`. Do rozwiązania pierwotnego równania wystarczy teraz rozwiązać dwa równania kwadratowe: `x^2 + px + q = 0` oraz `x^2 + rx + s = 0`.

Metoda funkcji symetrycznych

Aby rozwiązać równanie czwartego stopnia tą metodą, podzielmy najpierw obie strony przez współczynnik `a` przy najwyższej potędze zmiennej. Otrzymamy wówczas równanie `x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0`, które ma zawsze cztery rozwiązania zespolone. Zamiast odnajdować je bezpośrednio, poszukamy sześciu sum wszystkich możliwych par rozwiązań: `y_1 = x_1 + x_2`, `y_2 = x_1 + x_3`, `y_3 = x_1 + x_4`, `y_4 = x_2 + x_3`, `y_5 = x_2 + x_4`, `y_6 = x_3 + x_4`.

Będziemy teraz rozwiązywać równanie `(x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5)(x - y_6) = 0`. Zauważmy, że `(x - y_1)(x - y_6) = x^2 - (y_1 + y_6)x + y_1 y_6 = x^2 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x + y_1 y_6`. Ze wzorów Viète’a wiemy, że `x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -b` (gdyż `a = 1`). Otrzymujemy więc `(x - y_1)(x - y_6) = x^2 + b x + y_1 y_6`. Analogicznie otrzymamy także `(x - y_2)(x - y_5) = x^2 + b x + y_2 y_5` i `(x - y_3)(x - y_4) = x^2 + b x + y_3 y_4`. Zatem równanie przybiera postać `(x^2 + b x + y_1 y_6)(x^2 + b x + y_2 y_5)(x^2 + b x + y_3 y_4) = 0`.

Podstawmy `x = t - b/2`, otrzymując:

`((t - b/2)^2 + b(t - b/2) + y_1 y_6)((t - b/2)^2 + b(t - b/2) + y_2 y_5)((t - b/2)^2 + b(t - b/2) + y_3 y_4) = 0`,

`(t^2 - b t + b^2/4 + b t - b^2/2 + y_1 y_6)(t^2 - b t + b^2/4 + b t - b^2/2 + y_2 y_5)(t^2 - b t + b^2/4 + b t - b^2/2 + y_3 y_4) = 0`,

`(t^2 - b^2/4 + y_1 y_6)(t^2 - b^2/4 + y_2 y_5)(t^2 - b^2/4 + y_3 y_4) = 0`.

Zauważmy, że `y_1 y_6 = (x_1 + x_2)(x_3 + x_4) = (x_1 + x_2)(-b - x_1 - x_2) = -b(x_1 + x_2) - (x_1 + x_2)^2 = -b y_1 - y_1^2`. Podobnie `y_2 y_5 = -b y_2 - y_2^2` i `y_3 y_4 = -b y_3 - y_3^2`, zatem równanie można zapisać jako:

`(t^2 - b^2/4 - b y_1 - y_1^2)(t^2 - b^2/4 - b y_2 - y_2^2)(t^2 - b^2/4 - b y_3 - y_3^2) = 0`,

`(t^2 - (b/2 + y_1)^2)(t^2 - (b/2 + y_2)^2)(t^2 - (b/2 + y_3)^2) = 0`.

Otrzymaliśmy równanie, w którym zmienna `t` występuje tylko w parzystych potęgach, możemy więc dokonać kolejnego podstawienia `s = t^2` i otrzymując równanie stopnia 3 względem `s`:

`(s - (b/2 + y_1)^2)(s - (b/2 + y_2)^2)(s - (b/2 + y_3)^2) = 0`.

xxx

Przykłady

A. Weźmy wielomian `x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 5x + 3` i niech naszym celem będzie rozłożenie go na czynniki kwadratowe `(x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)`. Otrzymujemy następujący układ równań:

`{(p + r = 3),(q + pr + s = 6),(ps + qr = 5),(qs = 3):}`

Wyliczamy `r` z pierwszego równania: `r = 3 - p`, i podstawiamy do dwóch następnych:

`{(q + p(3 - p) + s = 6),(ps + q(3 - p) = 5),(qs = 3):}`

Wyznaczamy zmienne `q` i `s` przy pomocy `p`:

`{(pq + p^2(3 - p) + ps = 6p),(ps = 5 - q(3 - p)),(qs = 3):}`, `{(pq + p^2(3 - p) + 5 - q(3 - p) = 6p),(ps = 5 - q(3 - p)),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q + p^2(3 - p) + 5 = 6p),(ps = 5 - q(3 - p)),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q(3 - p) = 6p(3 - p) - p^2(3 - p)^2 - 5(3 - p)),(ps(2p - 3) = 5(2p - 3) - (2p - 3)q(3 - p)),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q(3 - p) = 6p(3 - p) - p^2(3 - p)^2 - 5(3 - p)),(ps(2p - 3) = 5(2p - 3) - (6p(3 - p) - p^2(3 - p)^2 - 5(3 - p))),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q = 6p - p^2(3 - p) - 5),(ps(2p - 3) = 5(2p - 3) - (6p(3 - p) - p^2(3 - p)^2 - 5(3 - p))),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q = p^3 - 3p^2 + 6p - 5),(ps(2p - 3) = 10p - 15 - 18p + 6p^2 + p^2(9 - 6p + p^2) + 15 - 5p),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q = p^3 - 3p^2 + 6p - 5),(ps(2p - 3) = - 8p + 6p^2 + 9p^2 - 6p^3 + p^4 - 5p),(qs = 3):}`, `{((2p - 3)q = p^3 - 3p^2 + 6p - 5),(s(2p - 3) = p^3 - 6p^2 + 15p - 13),(qs = 3):}`, `{(q = (p^3 - 3p^2 + 6p - 5)/(2p - 3)),(s = (p^3 - 6p^2 + 15p - 13)/(2p - 3)),((p^3 - 3p^2 + 6p - 5)/(2p - 3)*(p^3 - 6p^2 + 15p - 13)/(2p - 3) = 3):}`

Odnotujmy warunek, że `p != 3/2`, i zajmijmy się tylko ostatnim równaniem:

`(p^3 - 3p^2 + 6p - 5)(p^3 - 6p^2 + 15p - 13) = 3(2p - 3)^2`

`(p^3 - 3p^2 + 6p - 5)(p^3 - 6p^2 + 15p - 13) = 3(4p^2 - 12p + 9)`

`p^6 - 9p^5 + 39p^4 - 99p^3 + 159p^2 - 153p + 65 = 12p^2 - 36p + 27`

`p^6 - 9p^5 + 39p^4 - 99p^3 + 147p^2 - 117p + 38 = 0`

Równanie to możemy teraz rozkładać zamiast wielomianu początkowego, podstawiając `p = u - (- 9)/6` (gdzie `- 9` to współczynnik w wyrazie 5. stopnia). Otrzymamy wówczas po redukcji `u^6 + 21/4 u^4 + 3/16 u^2 - 25/64 = 0`, i równanie to da się rozwiązać jak każde równanie stopnia 3.

Wystarczy jednak znaleźć tylko jedną, dowolną wartość `p`, dla której podane równanie jest spełnione. Badając podzielniki wyrazu wolnego odszukamy dwa rozwiązania: `1` i `2`. Zauważmy, że skoro `r = 3 - p`, to `r` będzie równe drugiej z tych wartości, niezależnie od tego, którą wybierzemy jako `p`. Przyjmijmy, że `p = 1`. Wówczas:

 `{(q = (p^3 - 3p^2 + 6p - 5)/(2p - 3)),(r = 3 - p),(s = (p^3 - 6p^2 + 15p - 13)/(2p - 3)):}`, `{(q = (1 - 3 + 6 - 5)/(2 - 3)),(r = 3 - 1),(s = (1 - 6 + 15 - 13)/(2 - 3)):}`, `{(q = (-1)/(-1)),(r = 2),(s = (-3)/(-1)):}`, `{(q = 1),(r = 2),(s = 3):}`

Ostatecznie więc mamy: `x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 5x + 3 = (x^2 + x + 1)(x^2 + 2x + 3)`.

B. Rozwiążmy równanie `x^4 - 22x^2 - 48x - 23 = 0`. Z jego postaci widać od razu, że nie można zastosować metody grupowania, nie udaje się też rozłożyć wielomianu na czynniki, w związku z czym wiemy, że równanie nie ma rozwiązań wymiernych.

Brakuje wyrazu stopnia trzeciego, więc od razu podstawmy `x = (u + v + w)/2`; po narzuceniu odpowiednich warunków dostaniemy `u^2 + v^2 + w^2 = 44`, `u^2v^2 + u^2w^2 + v^2w^2 = (-22)^2 - 4(-23) = 576`, `u v w = 48`, skąd `u^2 v^2 w^2 = 2304`. Równaniem rozwiązującym jest więc `z^3 - 44z^2 + 576z - 2304 = 0`.

Spróbujmy sprawdzać, czy równanie to jest spełnione dla kolejnych dzielników wyrazu wolnego. Okazuje się, że jego rozwiązaniem jest `z_1 = 8`. Rozłóżmy wielomian na czynniki: `z^3 - 44z^2 + 576z - 2304 = 0`, `z^3 - 8z^2 + 8z^2 - 44z^2 + 576z - 2304 = 0`, `z^2(z - 8) - 36z^2 + 288z - 288z + 576z - 2304 = 0`, `z^2(z - 8) - 36z(z - 8) + 288z - 2304 = 0`, `z^2(z - 8) - 36z(z - 8) + 288(z - 8) = 0`, `(z^2 - 36z + 288)(z - 8) = 0`. Miejsca zerowe trójmianu wyznaczymy tradycyjnie: `Delta = 36^2 - 4*288 = 4(18^2 - 288) = 16(9^2 - 72) = 16*9`, `sqrt(Delta) = 4*3 = 12`, `z_2 = (36 - 12)/2 = 12`, `z_3 = (36 + 12)/2 = 24`.

Obliczamy `u = sqrt(8) = 2sqrt(2)`, `v = sqrt(12) = 2sqrt(3)`, `u v w = 48`, skąd `w = 48/(4sqrt(2)sqrt(3)) = (12sqrt(2)sqrt(3))/(2*3) = 2sqrt(6)`. Rozwiązaniami równania `x^4 - 22x^2 - 48x - 23 = 0` są więc: `x_1 = (2sqrt(2) + 2sqrt(3) + 2sqrt(6))/2 = sqrt(2) + sqrt(3) + sqrt(6)`, `x_2 = -sqrt(2) - sqrt(3) + sqrt(6)`, `x_3 = -sqrt(2) + sqrt(3) - sqrt(6)`, `x_4 = sqrt(2) - sqrt(3) - sqrt(6)`.

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych

Aby rozwiązać nierówność wielomianową, najlepiej zacząć od naszkicowania wykresu wielomianu. Oś `Y` na takim szkicu nie jest potrzebna, wystarczy oś `X` z zaznaczonymi miejscami zerowymi wielomianu.

Wykres wielomianu przecina oś `X` (przechodzi znad osi pod oś lub spod osi nad oś) w miejscach, w których występują pierwiastki pojedyncze, potrójne, pięciokrotne itd. (tj. o krotności nieparzystej). Wykres wielomianu jest styczny do osi `X` w miejscach, w których występują pierwiastki podwójne, poczwórne, sześciokrotne itd. (o krotności parzystej). Mówimy też, że w tych punktach wykres odbija się od osi.

Jeśli zatem znamy miejsca zerowe wielomianu, bardzo łatwo możemy rozwiązać nierówność wielomianową, czyli taką, po której lewej stronie występuje wielomian, po prawej zero, a pomiędzy nimi jeden z czterech znaków nierówności (mniejszy, większy, mniejszy lub równy, większy lub równy). W tym celu wykreślamy szkic wykresu wielomianu od strony prawej (zob. uwaga wyżej o znajdowaniu granicy wielomianu w nieskończoności) i przeciągamy wykres przez kolejne miejsca zerowe w zależności od ich krotności zgodnie z podanymi wyżej wskazówkami. Szkic pokazuje, w jakich przedziałach wykres znajduje się nad osią, a w jakich pod osią. Rozwiązaniem nierówności jest suma odpowiednich przedziałów `x`, dla których wykres funkcji jest tam, gdzie wskazuje znak nierówności.

Rozkład pierwiastka sumy (różnicy) na sumę (różnicę) pierwiastków

Zachodzi czasem konieczność zamiany pierwiastka sumy lub różnicy `sqrt(a +- sqrt(b))` na sumę lub różnicę pierwiastków `sqrt(p) +- sqrt(q)`. Nie zawsze jest to możliwe. Poniżej spróbujemy zorientować się bliżej w zagadnieniu i wyprowadzimy potrzebny wzór.

Niech `sqrt(a +- sqrt(b)) = sqrt(p) +- sqrt(q)`. Podnieśmy równanie stronami do kwadratu:

Niech `a = p + q` oraz `sqrt(b) = 2 sqrt(p q)`. Wówczas:

Bez problemu wykażemy, że `p = (a + sqrt(a^2 - b))/2` oraz `q = (a - sqrt(a^2 - b))/2`.

Podobnie można pokazać, że pierwiastek sumy lub różnicy `sqrt(a +- c)` można analogicznie zamienić na sumę lub różnicę pierwiastków `sqrt(p) +- sqrt(q)`, jeśli:

`p = (a + sqrt(a^2 - c^2))/2` oraz `q = (a - sqrt(a^2 - c^2))/2`.

A oto przykładowe zastosowanie. Otóż z trygonometrii wiadomo, że `| sin alpha/2 | = sqrt((1 - cos alpha)/2)`. Korzystając z tego wzoru, obliczymy wartość `sin 15°`, wiedząc, że `cos 30° = sqrt(3)/2`.

Oba kąty leżą w pierwszej ćwiartce, zatem znak wartości bezwzględnej możemy pominąć. Mamy zatem:

Skorzystajmy teraz z wyprowadzonych wyżej wzorów `p = (a + sqrt(a^2 - b))/2, q = (a - sqrt(a^2 - b))/2` dla `a = 2, b = 3`. Otrzymamy: