Podstawy układania kostek
o dowolnych rozmiarach

Przyszedł wreszcie czas na to, by zająć się kostkami o innych rozmiarach niż oryginalna kostka Rubika. Dla uproszczenia zapisu umówmy się, że określenie „kostka rozmiaru n” lub nawet „kostka n” znaczy to samo, co „kostka n×n×n”, zatem np. kostka 3 to po prostu kostka Rubika, kostka 4 to zemsta Rubika itd. Zacznijmy od zauważenia kilku faktów elementarnych:

• układanie kostek o większych rozmiarach to zagadnienie złożone, już tylko ilość określeń elementów takich kostek może kompletnie przytłoczyć i zniechęcić,
• kostka 2 składa się wyłącznie z narożników; do jej ułożenia można zastosować dowolną metodę opracowaną dla kostki Rubika, jeśli pominie się etapy służące porządkowaniu kantów;
• kostka 2 nazywana jest minikostką lub kostką juniora, ale jej ułożenie wcale nie jest takie proste; metoda obejmuje najtrudniejszą część algorytmu układania kostki 3;
• ściany kostek o rozmiarach parzystych (2, 4 itd.) nie mają niezmiennych środków, natomiast ściany kostek o rozmiarach nieparzystych mają takie środki;
• począwszy od kostki 4 oprócz narożników i kantów trzeba jeszcze ułożyć wewnętrzne elementy ścian; algorytmy dla kostki Rubika nie zajmują się tym problemem;
• próba ułożenia kantów i narożników kostki 4 lub większej według niektórych algorytmów może doprowadzić do błędu parzystości czyli układu niespotykanego w kostce Rubika.

Rozwiązania problemów z parzystością są dość nieprzejemne, dlatego początkujący adepci sztuki układania zemsty Rubika (4) czy kostki profesorskiej (5) powinni zacząć od nauczenia się metod, które nie doprowadzają do takich błędów. Taką właśnie metodę przedstawimy poniżej; w istocie jest to mocno przerobiona wersja drugiej metody układania kostki Rubika.

Najpierw jednak, aby umożliwić efektywne korzystanie z opisu, ustalmy znaczenie terminów, których będziemy używać w dalszej części. Większość była już używana wcześniej, tu wymienimy je dla przypomnienia.

• ściana – jedna z 6 powierzchni, złożona z poruszających się względem siebie elementów (potocznie zwanych klockami),
• ścianka – jedna z powierzchni elementu, składająca się na ścianę (ściana kostki 2 składa się z 4 ścianek, ściana kostki Rubika z 9 ścianek, ściana kostki 4 z 16 ścianek itd.),
• narożnik – element kostki znajdujący się w jej narożu, mający 3 widoczne kolorowe ścianki (każda z kostek ma 8 narożników), potocznie „róg”,
• kant – element kostki budujący jej krawędź, mający 2 widoczne kolorowe ścianki (ilość kantów zależy od rozmiarów kostki, najmniejsza kostka 2 nie ma kantów), potocznie „krawężnik”,
• kant środkowy – kant znajdujący się na środku długości krawędzi kostki (tylko kostki o rozmiarach nieparzystych mają kanty środkowe),
• kant skrzydłowy – kant inny niż środkowy (kostki o rozmiarach 4, 6 itd. nie mają innych kantów, tylko kanty skrzydłowe),
• element wewnętrzny – element kostki budujący ścianę, niebędący ani kantem, ani narożnikiem (potocznie elementy wewnętrzne nazywa się środkami, co jednak jest nieścisłe),
• centrum ściany – część ściany zbudowana z elementów wewnętrznych,
• środek – najbardziej wewnętrzny element budujący ścianę, znajdujący się na osi obrotu ściany, występujący tylko w kostkach rozmiaru nieparzystego,
• punkt – element wewnętrzny niebędący środkiem (nazwa wydaje się dość kontrowersyjna, ale będziemy ją używać z braku lepszej),
• warstwa – część kostki niebędąca ścianą, zdolna do obrotów, złożona z kantów i elementów wewnętrznych (ale nie z narożników),
• punkt środkowy – punkt leżący w warstwie środkowej,
• punkt skrzydłowy – punkt niebędący punktem środkowym.

Terminy te zilustrowano w poniższej tabeli; na prawo od każdej ilustracji podano łączną liczbę elementów danego typu w całej kostce:

rozmiar kostki			2		3		4		5		6		7
narożniki				8		8		8		8		8		8
k a n t y	kanty środkowe			0		12		0		12		0		12
	kanty skrzydłowe			0		0		24		24		48		48
	wszystkie kanty			0		12		24		36		48		60
e l e m e n t y w e w n ę t r z n e	środki ścian			0		6		0		6		0		6
	p u n k t y	punkty środkowe		0		0		0		24		0		48
		punkty skrzydłowe		0		0		24		24		96		96
		wszystkie punkty		0		0		24		48		96		144
	wszystkie elementy wewnętrzne ścian			0		6		24		54		96		150
wszystkie elementy				8		26		56		98		152		218

Pojęcie warstwy wyjaśniają poniższe ilustracje:

warstwa środkowa		warstwa skrzydłowa
ML		N2L

Istnieją dwa rodzaje obrotów używanych w czasie układania kostki: obroty ścian oraz obroty warstw. Te ostatnie zwane są inaczej ruchami sandwiczowymi lub obrotami kanapkowymi; są one konieczne w czasie układania kostek począwszy od rozmiaru 4, przydają się także podczas układania kostki Rubika.

Do zapisu poszczególnych obrotów będziemy używać oznaczeń, które objaśnia następujące zestawienie:

W wypadku kostek o rozmiarach nieparzystych zapisy typu MR odnoszą się do warstw środkowych. Zapis ML' znaczy wówczas dokładnie to samo, co MR. Jednak w wypadku kostek o rozmiarach parzystych zapisy typu MR odnoszą się do wewnętrznych warstw skrzydłowych, bo w kostkach takich warstw środkowych nie ma. Wtedy też ML' jest obrotem innej warstwy niż MR.

Gdyby spojrzeć na kostkę od strony ściany czołowej i skoncentrować się na ścianie prawej, lewej i warstwach leżących między nimi (strzałkowych, tj. pionowych), wówczas patrząc od prawej do lewej napotkamy kolejno:

• w kostce 2: ścianę prawą (R) i ścianę lewą (L); obrót ściany prawej w górę oznacza obrót w prawo: R, obrót ściany lewej w górę to obrót w lewo: L',
• w kostce 3: ścianę prawą (R), warstwę środkową (MR czyli ML) i ścianę lewą (L), obrót MR (w prawo) oznacza to samo co obrót ML' (w lewo),
• w kostce 4: ścianę prawą (R), warstwę prawą (MR), warstwę lewą (ML), ścianę lewą (L),
• w kostce 5: ścianę prawą (R), warstwę skrzydłową prawą (NR), warstwę środkową (MR czyli ML), warstwę skrzydłową lewą (NL), ścianę lewą (L),
• w kostce 6: ścianę prawą (R), warstwę zewnętrzną prawą (NR), warstwę wewnętrzną prawą (MR), warstwę wewnętrzną lewą (ML), warstwę zewnętrzną lewą (NL), ścianę lewą (L),
• w kostce 7: ścianę prawą (R), warstwę zewnętrzną prawą (N₂R), warstwę wewnętrzną prawą (N₃R), warstwę środkową (MR czyli ML), warstwę wewnętrzną lewą (N₃L), warstwę zewnętrzną lewą (N₂L), ścianę lewą (L).

Numerowanie warstw N jest potrzebne tylko w kostkach rozmiaru 7 i większych, poza tym indeksy można pominąć. Poruszenie ściany R oraz warstw N₂R, N₃R, MR w górę oznacza obrót w prawo; pozostałe warstwy poruszone w górę obracają się wówczas w lewo, co zapisujemy ML', N₃L', N₂L', L'. Przy tym jak wspomniano wyżej, dla kostek nieparzystego rozmiaru MR = ML'.

Z drugiej strony okazuje się, że dla pewnych celów korzystnie jest numerować wszystkie ściany i warstwy w taki sposób, że N₁R oznacza to samo, co R (ściana prawa), N₂R to warstwa z nią sąsiadująca itd. Numeracji nie musimy kończyć na warstwie środkowej czy najbardziej wewnętrznej, możemy ją prowadzić dalej. Pamiętajmy tylko, że obrót ścianą L w prawo oznacza jej ruch w dół, ale obrót ścianą R w prawo oznacza jej ruch w górę. Zatem np. dla kostki 4 ruch R (ścianą prawą w prawo) możemy zapisać też jako N₁R lub N₄L' (w lewo, bo kierunek obrotu określamy tak, jak dla ściany lewej!). Podobnie obrót MR możemy oznaczyć także jako N₂R lub N₃L'.

Dokonajmy jeszcze jednej generalizacji. Otóż wszystkie ściany prawą i lewą oraz leżące między nimi warstwy strzałkowe oznaczymy ogólnie jako X. Podobnie ściany czołową i tylną oraz leżące między nimi warstwy poprzeczne oznaczymy ogólnie jako Y. Wreszcie ściany górną i dolną oraz warstwy poziome leżące między nimi oznaczymy ogólnie jako Z. Litery X, Y, Z oznaczają w istocie osie układu współrzędnych, wokół których obracają się dane ściany lub warstwy. Przyjmiemy tu jednak konwencję odwrotną niż w stereometrii i założymy, że zapis X oznacza obrót ścianą prawą w prawo lub lewą w lewo (czyli jeśli patrzymy na kostkę od czoła, w górę), zapis Y oznacza obrót ścianą czołową w prawo lub tylną w lewo (patrząc od czoła, zgodnie z ruchem wskazówek zegara), wreszcie zapis Z oznacza obrót ścianą górną w prawo lub dolną w lewo (patrząc od czoła, elementy ściany czołowej przesuwają się w lewo). Zapisy X', Y', Z' oznaczają obroty w kierunku przeciwnym. Innymi słowy, X oznacza N_nR lub N_nL' (gdzie indeks n jest numerem warstwy), Y oznacza N_nF lub N_nB', wreszcie Z oznacza N_nU lub N_nD'. Oznaczeń takich będziemy używać w najbardziej ogólnych wzorach sekwencji obrotów. Dla konkretnej kostki i konkretnej sytuacji użyjemy oczywiście konkretnych symboli obrotów.

Jak widać, kwestia oznaczeń ścian, warstw i w ogóle orientacji na kostce jest dość skomplikowana, dlatego zilustrujemy animacjami zapis ruchów kanapkowych dla kostek o rozmiarach 2, 3, 4, 5, 6 i 7 (podane tu linki otwierają się w nowym oknie). Na razie nie trzeba się tym wszystkim aż tak bardzo przejmować, bowiem w trakcie omówienia metody wszystko stanie się jasne.

Do kostek o dowolnym rozmiarze można zastosować czwartą metodę układania, stanowiącą (istotną!) modyfikację metody drugiej, opisanej dla kostki Rubika. Podobną metodę, ale ograniczoną do kostki 4, prezentuje Denny na witrynie Matta Monroe.

Metoda tutaj prezentowana, o której będziemy mówić „metoda czwarta”, różni się od opisu Denny’ego zastosowaniem standardowej notacji, a także niektórymi szczegółami, w tym szczegółowością i kolejnością etapów, których nazbierało się aż 11. Okazuje się też, że działa ona skutecznie i niezawodnie na kostki dowolnych rozmiarów. Jest to metoda mieszana, oparta głównie na zasadzie pierwszeństwa w układaniu narożników (etapy 3–5) przed kantami (etapy 6–10), choć zasada ta nie jest stosowana ściśle, tym bardziej, że dodatkowym elementem kostek o większym rozmiarze są elementy wewnętrzne ścian (punkty), które także trzeba przecież ułożyć (tutaj: na etapach 1, 2 i 11). Można też dopatrzeć się w niej zasady układania kostki warstwami, jednak w nietypowy sposób: najpierw bowiem układamy ściany górną i dolną, a na końcu warstwy pośrednie.

Metoda ta jest głęboko pragmatyczna – jej idea polega bowiem na tym, by stosować jak najprostsze, a nawet intuicyjne rozwiązania na danym etapie, i pozostawiać bardziej skomplikowane sekwencje ruchów do ułożenia tych elementów, których nie da się już ułożyć intuicyjnie. Stąd właśnie pozorny brak konsekwencji w kolejności etapów. Mimo to metoda jest chyba najprostszą z możliwych, umożliwia ułożenie kostki (dowolnego rozmiaru) może niezbyt szybko, ale w miarę łatwo, przy konieczności zapamiętania zaledwie kilku sekwencji. Całkowicie uniemożliwia wystąpienie typowych błędów parzystości, dzięki czemu na pewno docenią ją początkujący.

Przystępując do układania kostek o większych rozmiarach należy sobie zdawać sprawę, że jest to przedsięwzięcie o wiele bardziej złożonym niż ułożenie kostki Rubika, choćby dlatego, że już zemsta Rubika (4) zawiera aż 56 elementów, które należy umieścić na właściwym miejscu (podczas gdy kostka Rubika ma zaledwie 20 takich elementów – od ogólnej ilości 26 należy odjąć środki ścian). Tym bardziej złożone jest układanie kostek o jeszcze większych rozmiarach. Dlatego przed próbą ułożenia kostek większych dobrze byłoby najpierw poćwiczyć na mniejszych. Autor niniejszej witryny zdecydowanie poleca biegłe opanowanie dwóch pierwszych opisanych tu metod układania kostki Rubika – podane tam techniki i sekwencje ruchów bardzo ułatwią obecne zadanie. Mimo to podany tu opis metody układania kostek o dowolnym rozmiarze będzie kompletny, i żadna wcześniej zdobyta wiedza nie będzie absolutnie niezbędna.

Oto, przez jakie 11 etapów przyjdzie nam przebrnąć, stosując tę metodę:

1. Ułożenie centrum jednej ze ścian kostki (na dalszych etapach stanie się ono centrum dolnym, a jeszcze później bocznym).
2. Ułożenie przeciwległego centrum (w wypadku układania kostek rozmiaru 2 i 3 pierwsze dwa etapy całkowicie odpadają).
3. Ułożenie i właściwe zorientowanie narożników jednej ze ścian.
4. Umieszczenie na swoich miejscach pozostałych 4 narożników.
5. Zorientowanie pozostałych narożników (w wypadku kostki 2 ten etap kończy układanie).
6. Ułożenie kantów jednej ze ścian, leżących na 3 krawędziach.
7. Ułożenie wszystkich kantów ściany przeciwległej.
8. Ułożenie brakujących kantów na ostatniej krawędzi ściany, którą zajmowaliśmy się na etapie 6.
9. Ułożenie kantów skrzydłowych na krawędziach łączących ściany z wcześniej ułożonymi kantami.
10. Ułożenie kantów środkowych (i tym samym dokończenie układania wszystkich kantów kostki; na tym kończy się układanie kostki 3).
11. Ułożenie centrów pozostałych 4 ścian kostki.

Zauważmy, że jeśli układamy tą metodą kostkę 2, nasze zadanie ogranicza się do przejścia tylko 3 etapów (nr 3, 4 i 5). W wypadku kostki Rubika wykonujemy 8 etapów (nr 3–10), a więc nieco tylko więcej niż omówioną wcześniej metodą „klasyczną” (pierwszą). Układanie kostek 4 i 6 wymaga wykonania 10 etapów (odpada etap 10, bo kostki o rozmiarach parzystych nie mają kantów środkowych). Zatem wszystkie 11 etapów wystąpi tylko przy układaniu kostek o rozmiarach nieparzystych: 5 i 7 (i ewentualnie większych).

Uwaga: ułożenie centrów dwóch naprzeciwległych ścian (etapy 1–2) jest całkowicie niezależne od porządkowania narożników i kantów (etapy 3–10). Można je nawet całkowicie opuścić, a układaniem wszystkich centrów zająć się na samym końcu (etap 11). Przestawiać można też etapy 1, 2, 3 oraz 4+5. Na przykład można rozpocząć od ułożenia 4 narożników jednej ze ścian (etap 3), by następnie wrócić do etapów 1 i 2, i dalej kontynuować etap 4 i 5. Można też ułożyć jedno centrum (etap 1) i narożniki tej ściany (etap 3), by następnie przejść do narożników (etapy 4 i 5) i centrum (etap 2) ściany naprzeciwległej.

Opis metody czwartej jest uniwersalny i można go zastosować do dowolnej kostki. Na kolejnych stronach będziemy opisywać kolejne etapy zgodnie z podaną wyżej kolejnością, posługując się ilustracjami przedstawiającymi kostki dowolnego rozmiaru. Natomiast animacje kostek o określonych rozmiarach będą zebrane osobno jako załączniki ilustrujące dany etap.

A oto zadanie dla chętnych kostkomaniaków: bez zaglądania na dalsze strony, wyłącznie przy pomocy intuicji, należy spróbować wykonać podane tu etapy 1–7, zgodnie z ich opisem. Jest to w pełni wykonalne pod jednym warunkiem – że umiemy poradzić sobie z narożnikami na etapach 4 i 5. W tym celu wolno przypomnieć sobie techniki podane w opisie metody 1 (etapy 6 i 7) i metody 2 (etapy 2 i 3) układania kostki Rubika. Zaś wszystkich mniej chętnych, mających kłopoty, a także chcących porównać własne rozwiązania z tu podanymi, autor zaprasza do kontynuowania na kolejnych stronach.