Wersja z 2023-10-12

Grzegorz Jagodziński

Wielokąty

Wielokątem nazywa się spójny obszar powierzchni ograniczony łamaną zamkniętą¹. Łamana jest łańcuchem odcinków, czyli figurą geometryczną złożoną ze skończonej ilości odcinków, które możemy uporządkować tak, że koniec pierwszego odcinka jest początkiem drugiego, koniec drugiego odcinka jest początkiem trzeciego itd. Łamana jest zamknięta wówczas, gdy koniec ostatniego odcinka jest także początkiem pierwszego (wtedy oczywiście jest kwestią umowną, który odcinek nazwiemy pierwszym). Jeśli łamana ogranicza wielokąt, końce jej odcinków nazywamy wierzchołkami wielokąta, same zaś odcinki – bokami wielokąta (łamana jest więc częścią wielokąta). Wielokąt o trzech bokach to trójkąt, o czterech bokach – czworokąt, o pięciu – pięciokąt itd. Inna nazwa wielokąta, bardziej logiczna, choć rzadziej używana, to wielobok. Nazw trójbok, czworobok, pięciobok używa się rzadko lub wcale.

Z wielokątami łączy się szereg zagadnień geometrycznych, z których większość ma także wymiar głęboko praktyczny. Umiejętności dokonywania pomiarów i obliczeń wielkości związanych z wielokątami mają bowiem spore znaczenie w życiu.

Pierwszym z tych zagadnień jest obwód, przez który rozumiemy (całkowitą) długość łamanej ograniczającej wielokąt. Bardzo często będziemy mierzyć także pole powierzchni wielokąta. Pole powierzchni jest miarą przypisywaną każdemu obszarowi powierzchni. Samo pojęcie miary jest dobrze rozumiane intuicyjnie, ale definiowane przez matematyków w sposób bardzo abstrakcyjny. Do mierzenia pola powierzchni (nie tylko wielokątów) tego rodzaju abstrakcyjne definicje są całkowicie zbyteczne, a próby ich stosowania można porównać z przekonaniem o konieczności używania komputera do obliczenia sumy dwóch niewielkich liczb naturalnych. Tymczasem przecież dowolnie dokładną, „matematyczną” precyzję obliczeń całkowicie zapewnia intuicyjne rozumienie pola powierzchni, odwołujące się do nieskomplikowanych właściwości tego pojęcia, o których będzie mowa niżej.

Inne zagadnienie związane z wielokątami to miary kątów wewnętrznych i kątów środkowych wielokąta (pojęcia te omówimy niżej), ilość i długość przekątnych, wysokości, położenie punktu przecięcia wysokości, symetralnych, dwusiecznych, środkowych, długość promienia okręgu wpisanego w wielokąt i okręgu opisanego na wielokącie (o ile takie istnieją). Przekątne to odcinki, których końcami są wierzchołki wielokąta, a które nie są bokami tego wielokąta. Wysokością nazywamy odcinek prostopadły do boku wielokąta, którego jeden koniec należy do tego boku, a drugim końcem jest wierzchołek wielokąta. Długość wysokości jest więc równa odległości boku od wierzchołka niebędącego końcem tego boku. Symetralną boku wielokąta nazywamy prostą prostopadłą do tego boku, która przechodzi przez jego środek. Dwusieczną kąta wielokąta nazywamy prostą przechodzącą przez wierzchołek wielokąta, dzielącą kąt przy tym wierzchołku na połowy. Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek tego boku z naprzeciwległym wierzchołkiem; pojęcia tego zwykle nie używa się w stosunku do wielokątów o większej liczbie boków, ponieważ nie jest jasne, co miałoby oznaczać pojęcie „naprzeciwległy”. Zwróćmy jednak uwagę, że ograniczenie takie nie jest wcale potrzebne. Możemy przecież umówić się, że w wypadku wielokątów o nieparzystej liczbie boków naprzeciwległy będzie ten wierzchołek, który jest środkowym wierzchołkiem łamanej łączącej końce danego boku, utworzonej z pozostałych boków. W wypadku wielokątów o parzystej liczbie boków środkową nazywać będziemy odcinek łączący środki dwóch boków takich, że pomiędzy ich końcami z obu stron znajduje się taka sama liczba boków. Wreszcie wyjaśnijmy, że okrąg jest wpisany w wielokąt, jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do tego okręgu (co naturalnie jest możliwe tylko w szczególnych przypadkach). Okrąg opisany na wielokącie to natomiast okrąg, do którego należą wszystkie wierzchołki wielokąta (z analogicznym zastrzeżeniem).

Szczególne rodzaje wielokątów

Wśród wielokątów istnieją wielokąty zwyczajne, ograniczone łamaną zwyczajną (taką, której odcinki nie mają punktów wspólnych poza końcami), oraz wielokąty wiązane, ograniczone łamaną wiązaną, tj. taką, której odcinki się przecinają, w tym wielokąty gwiaździste, ograniczone łamaną wiązaną, której każdy odcinek jest przecięty innym². O wielokątach takich będzie jeszcze mowa niżej.

Wielokąty zwyczajne składają się z łamanej tworzącej brzeg figury, oraz z wnętrza, czyli z punktów należących do wielokąta, ale nie leżących na łamanej, która go ogranicza. Sprawa komplikuje się w przypadku wielokątów wiązanych. Nie wiadomo bowiem, jak traktować punkty odcinków łamanej leżących wewnątrz zewnętrznego konturu figury. Czy są to punkty brzegowe czy wewnętrzne? I kolejne pytanie: czy punkty przecięcia odcinków łamanej, niebędące ich końcami, należy traktować jako (dodatkowe) wierzchołki, czy też może należy im nadać status specjalny?

Można oczywiście umówić się, że każdy odcinek łamanej ma po jednej stronie zewnętrze, a po drugiej wnętrze wielokąta. Wówczas naturalnie nie cały obszar objęty konturem wielokąta wiązanego będzie stanowić jego wnętrze, i co więcej, w wypadku wielokątów gwiaździstych, zwłaszcza tych o wysokiej symetrii, uderzać będzie, że czasem obszar centralny będzie należeć do wielokąta, czasem zaś nie będzie.

Jak wspomniano wyżej, wielokąt składa się z łamanej zamkniętej ograniczającej pewien obszar powierzchni (choć w przypadku wielokątów gwiaździstych określenie to wzbudza różne zastrzeżenia). Na ogół mamy do czynienia z wielokątami płaskimi, które są obszarami płaszczyzny. Istnieją jednak także wielokąty leżące na innych rodzajach powierzchni, w tym wielokąty sferyczne, istotne dlatego, że przecież powierzchnię planety, na której żyjemy, można uznać za zbliżoną do sfery.

Wyróżniamy nadto wielokąty wypukłe i wklęsłe. Wielokąty wypukłe są, jak nietrudno zgadnąć, figurami wypukłymi, tj. takimi, których dwa dowolne punkty można połączyć odcinkiem, którego każdy punkt należy do wielokąta. Pomijając kwestię końców takiego odcinka (które mogą być punktami brzegowymi wielokąta), możemy powiedzieć, że każdy taki odcinek leży wewnątrz wielokąta wypukłego. W wielokątach wklęsłych można znaleźć pary punktów, których nie da się połączyć odcinkiem leżącym wewnątrz wielokąta.

Kątem nazywa się część powierzchni ograniczona półprostymi o wspólnym początku. Wierzchołki wielokąta są wierzchołkami jego kątów wewnętrznych³ (nazywanych też krótko kątami wielokąta). Wielokąt jest wypukły wtedy i tylko wtedy, jeśli każdy z jego kątów wewnętrznych jest mniejszy od półpełnego, a zatem wtedy, gdy miara każdego z kątów wewnętrznych `alpha` zawiera się w przedziale `0° < alpha < 180°` (w mierze łukowej: `0 < alpha < pi`). Wielokąt jest wklęsły, gdy miara choć jednego z jego kątów wewnętrznych `alpha` zawiera się w przedziale `180° < alpha < 360°` (`pi < alpha < 2 pi`). Twierdzenia te odnoszą się tylko do wielokątów zwyczajnych; wielokąty gwiaździste sprawiają bowiem i tu sporo problemów.

Kąt przyległy do kąta wewnętrznego zwany jest kątem zewnętrznym. Kąt zewnętrzny istnieje tylko wówczas, gdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od 180° (`pi`). Suma miar kąta wewnętrznego i kąta zewnętrznego równa się 180° (`pi`).

Wielokąt nazywamy foremnym, jeśli wszystkie jego boki są tej samej długości, a wszystkie kąty wewnętrzne mają taką samą miarę. Na takim wielokącie można opisać okrąg. Można też wpisać okrąg w taki wielokąt.

Trójkąt foremny nazywamy inaczej (i częściej) trójkątem równobocznym. Każdy z jego kątów ma miarę 60° czyli `pi/3`. Czworokąt foremny nazywany jest kwadratem. Każdy z jego kątów jest prosty (ma miarę 90° czyli `pi/2`). Inne wielokąty foremne nie mają własnych nazw.

Oto trzy kolejne wielokąty foremne:

I jeszcze trzy:

Wielokąt gwiaździsty może być również foremny. Foremny pięciokąt gwiaździsty to pentagram. Oznacza się go symbolem {5/2}, oznaczającym, że wielokąt ten posiada 5 wierzchołków, a boki łączą co drugi ze sobą. Istnieją dwa foremne siedmiokąty gwiaździste czyli heptagramy, {7/2} oraz {7/3}. Ten o węższych „ramionach”, {7/3}, czyli z bokami łączącymi co trzeci wierzchołek, znany jest także pod nazwą gwiazdy magów lub gwiazdy Babilonu.

Jest rzeczą niezwykle interesującą, że za wielokąty gwiaździste (zwane niewłaściwymi) uważa się także figury geometryczne utworzone z udziałem dwóch lub większej ilości łamanych zamkniętych. Takim wielokątem gwiaździstym jest na przykład gwiazda Dawida (→), heksagram {6/2}, czyli foremny sześciokąt gwiaździsty (ograniczony dwoma trójkątami równobocznymi), gwiazda Lakszmi (→), oktogram {8/2}, czyli jeden z foremnych ośmiokątów gwiaździstych (ograniczony dwoma kwadratami), oraz gwiazda Goliata (→), enneagram {9/3}, czyli jeden z foremnych dziewięciokątów gwiaździstych (ograniczony trzema trójkątami równobocznymi). Istnienie wielokątów gwiaździstych niewłaściwych zmusza nas do rozszerzenia definicji wielokąta. Okazuje się bowiem, że wielokątem może być także obszar ograniczony więcej niż jedną łamaną zamkniętą.

Druga z liczb występujących w symbolu foremnego wielokąta gwiaździstego (mianownik ułamka) musi być mniejsza od połowy pierwszej liczby i jednocześnie większa od 1 (zapis w rodzaju {5/1} oznaczałby bowiem zwykły wypukły pięciokąt foremny). Dlatego istnieje tylko jeden pentagram: {5/2} i jeden heksagram: {6/2}, dwa heptagramy: {7/2} i {7/3} oraz dwa oktogramy: {8/2} i {8/3}. Nietrudno przewidzieć więc, że istnieją trzy enneagramy: {9/2}, {9/3} i {9/4}.

Wielokąt gwiaździsty jest właściwy, jeśli obie liczby symbolu są względnie pierwsze (nie mają wspólnego dzielnika). Oto trzy kolejne przykłady:

Istnieją wielokąty nieforemne, na których można opisać okrąg lub w które można wpisać okrąg; dla innych takich wielokątów nie jest to możliwe. Wielokąt, na którym można opisać okrąg, to inaczej wielokąt wpisywalny (w okrąg). Jest to wielokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na pewnym okręgu. Wielokąt jest wpisywalny, jeśli symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu opisanego na takim wielokącie. Każdy trójkąt jest wpisywalny. Czworokąt jest wpisywalny, jeśli suma miar każdej z obu par jego przeciwległych kątów wynosi 180° (`pi`): `alpha + gamma = beta + delta = pi`. Iloczyn długości obu przekątnych takiego czworokąta równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków: `z_1 z_2 = ac + bd` (twierdzenie Ptolemeusza).

Wielokąt, w który można wpisać okrąg, to inaczej wielokąt opisywalny (na okręgu)⁴. Jest to wielokąt, którego wszystkie boki są styczne do pewnego okręgu. Dwusieczne wszystkich kątów takiego wielokąta przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu wpisanego w ten wielokąt. Każdy trójkąt jest opisywalny. Czworokąt jest opisywalny, jeśli sumy długości przeciwległych boków są sobie równe: `a + c = b + d`. Sześciokąt jest opisywalny, jeśli sumy długości co drugiego boku są sobie równe: `a + c + e = b + d + f`.

Wielokąt bicentryczny to taki wielokąt, że można zarówno wpisać weń okrąg, jak i opisać na nim okrąg. Środki obu okręgów nie muszą się pokrywać, i w przypadku wielokątów nieforemnych nie pokrywają się, stąd nazwa bicentryczny – o dwóch środkach. Ponieważ na każdym trójkącie można opisać okrąg, i w każdy trójkąt można wpisać okrąg, wszystkie trójkąty są bicentryczne.

Kąt środkowy jest to kąt, którego wierzchołek pokrywa się ze środkiem okręgu. Jego ramiona przecinając okrąg wyznaczają pewien łuk; mówimy, że kąt środkowy jest oparty na tym łuku. Kąt wpisany jest to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona leżą częściowo wewnątrz okręgu, odcinając pewien łuk. Mówimy analogicznie, że na łuku tym oparty jest kąt wpisany.

Jeśli wielokąt jest wpisywalny, a więc jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą na pewnym okręgu, możliwe jest wprowadzenie terminu kąt środkowy wielokąta. Jest to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu opisanego na wielokącie, a ramiona przechodzą przez dwa kolejne wierzchołki tego wielokąta. Z kolei kąt wpisany wielokąta to taki kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i jest jednym z wierzchołków wielokąta, a ramiona przechodzą przez dwa inne wierzchołki tego wielokąta. Ramiona kąta wpisanego wielokąta zawierają przekątne lub boki tego wielokąta.

Geometria dostarcza kilku istotnych twierdzeń dotyczących kątów środkowych i wpisanych. I tak, w danym wielokącie wszystkie kąty wpisane oparte na takim samym łuku (to jest na łuku o takiej samej mierze kątowej) mają taką samą miarę. Twierdzenie to ułatwia obliczanie różnych kątów między przekątnymi oraz kątów w wielokątach gwiaździstych.

Podstawą geometrii jest zespół aksjomatów, a więc twierdzeń, których się nie dowodzi. Z jednego z takich aksjomatów wynika wprost, że suma kątów wewnętrznych trójkąta płaskiego wynosi 180° (`pi`)⁵. Oznaczmy przez `alpha` kąt środkowy wielokąta foremnego (zdefiniowany wyżej), a przez `beta` kąt między bokiem a ramieniem kąta środkowego. W trójkącie utworzonym z ramion kąta środkowego i boku wielokąta mamy dwa takie kąty `beta`, zatem na mocy wspomnianej właściwości trójkąta mamy `alpha + beta + beta = pi`. Zauważmy teraz, że dwa sąsiednie kąty `beta` (czyli dwa kąty o wspólnym ramieniu) tworzą kąt wewnętrzny tego wielokąta. Gdy dopiszemy do niego kąt zewnętrzny `gamma`, otrzymamy razem kąt półpełny, czyli kąt o mierze 180° (`pi`): `beta + beta + gamma = pi`. Z zestawienia obu sum wynika, że kąt zewnętrzny wielokąta foremnego jest równy jego kątowi środkowemu, tj. kątowi środkowemu opartemu na łuku, którego cięciwą jest bok tego wielokąta.

Inne znane twierdzenie głosi, że kąt środkowy ma dwukrotnie większą miarę niż kąt wpisany oparty na takim samym łuku. Wynika z tego m.in., że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.

Kreślenie wielokątów foremnych

Jak rysować wielokąty foremne na kartce papieru w kratkę?

Trójkąty

Wyróżnia się szereg szczególnych rodzajów trójkątów. Wyżej wspomniano o trójkącie równobocznym. Trójkąt równoramienny ma dwa boki takiej samej długości, zwane ramionami; trzeci jego bok określany jest zwykle jako podstawa.

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty (90° czyli `pi/2`), trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty (większy niż 90°), trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre (mniejsze od 90°), tj. nie ma kąta rozwartego ani prostego. Trójkąt równoboczny jest zawsze ostrokątny (każdy z jego kątów ma miarę 60° czyli `pi/3`), trójkąt równoramienny może być ostrokątny, prostokątny lub rozwartokątny, przy czym prosty lub rozwarty może być tylko kąt między ramionami.

Trójkąty prostokątne mają boki o długościach spełniających twierdzenie Pitagorasa `a^2 + b^2 = c^2`, gdzie `a, b` to długości przyprostokątnych, natomiast `c` to długość przeciwprostokątnej. Trójkąty pitagorejskie to trójkąty prostokątne z wszystkimi trzema bokami o długościach wyrażających się liczbami naturalnymi dodatnimi. Trójkąt pitagorejski możemy zapisać w postaci trójki pitagorejskiej, tj. ciągu trzech liczb `(a, b, c)` symbolizujących długości boków jak powyżej (`c` to najdłuższy bok, przeciwprostokątna), przy czym zakładamy na ogół `a < b`.

Trójkąt pitagorejski nazywamy pierwotnym, jeśli jego długości boków są liczbami względnie pierwszymi. Np. trójkąt `(3, 4, 5)` jest pierwotny, a trójkąt `(6, 8, 10)` nie jest, gdyż powstaje w wyniku przemnożenia poprzedniego przez 2. Istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójkątów pitagorejskich. Najprostsze z nich, według rosnącej długości najkrótszego z boków, to:

`(3, 4, 5)`, `(5, 12, 13)`, `(7, 24, 25)`, `(8, 15, 17)`, `(9, 40, 41)`, `(11, 60, 61)`, `(12, 35, 37)`, `(13, 84, 85)`, `(15, 112, 113)`, `(16, 63, 65)`, `(17, 144, 145)`, `(19, 180, 181)`, `(20, 21, 29)`, `(20, 99, 101)`.

Według rosnącej długości najdłuższego z boków (przeciwprostokątnej):

`(3, 4, 5)`, `(5, 12, 13)`, `(8, 15, 17)`, `(7, 24, 25)`, `(20, 21, 29)`, `(12, 35, 37)`, `(9, 40, 41)`, `(28, 45, 53)`, `(11, 60, 61)`, `(33, 56, 65)`, `(16, 63, 65)`, `(48, 55, 73)`, `(36, 77, 85)`, `(13, 84, 85)`, `(39, 80, 89)`, `(65, 72, 97)`.

Aby znaleźć trójkąty pitagorejskie, przeanalizujmy dwie liczby naturalne dodatnie `m, n` (przyjmują one wartości ze zbioru {1, 2, 3, 4, …}). Żądamy ponadto, by `m > n`. Stąd minimalna wartość `m = 2` i wtedy `n = 1`; będzie to pierwsza para `(m, n)`. Kolejne wartości spełniające podane warunki to druga para `m = 3, n = 1`, trzecia para `m = 3, n = 2`, czwarta para `m = 4, n = 1`, itd.

Jeśli chcemy odnaleźć wszystkie pierwotne trójkąty pitagorejskie, zażądajmy dodatkowo, by `m, n` były względnie pierwsze, oraz by jedna z nich była liczbą parzystą, a druga nieparzystą. Para `(2, 1)` da nam pierwotną trójkę pitagorejską, ale para `(3, 1)` już nie (obie liczby są nieparzyste) i podobnie para `(6, 3)` (liczby nie są względnie pierwsze).

Wypiszmy kilka pierwszych takich par w tabelce. Niech `m` i `n` zajmują dwie pierwsze kolumny tabeli. W trzeciej kolumnie obliczymy `m^2`, w czwartej `n^2`. Trzy kolejne kolumny będą zawierać długości boków trójkątów pitagorejskich. I tak, w piątej kolumnie obliczymy różnicę kwadratów `m^2 - n^2`, w szóstej kolumnie podwojony iloczyn `2 m n`, w ostatniej kolumnie sumę kwadratów `m^2 + n^2`.

Aby znaleźć trójkąty niebędące pierwotnymi, należy przeanalizować także pominięte wartości `m, n`. Np. dla `m = 3`, `n = 1` otrzymamy trójkąt `(6, 8, 10)`, a dla `m = 6`, `n = 3` otrzymamy `(27, 36, 45)`. W ten sposób nie odnajdziemy jednak wszystkich możliwych trójek pitagorejskich. W tym celu trzeba jeszcze dopuścić mnożenie każdego z otrzymanych boków przez pewną (dowolną) liczbę naturalną dodatnią `k`: `a = k (m^2 - n^2)`, `b = 2 k m n`, `c = k (m^2 + n^2)`. Teraz niektóre trójkąty będziemy mogli uzyskać na różne sposoby, np. trójkąt `(6, 8, 10)` otrzymamy dla `k = 1`, `m = 3`, `n = 1` lub dla `k = 2`, `m = 2`, `n = 1`.

Najprostszy trójkąt pitagorejski, o bokach 3, 4, 5, zwany jest też trójkątem egipskim. Jest to trójkąt wymierny średnioboczny: długości jego boków są kolejnymi liczbami naturalnymi (średni bok jest średnią arytmetyczną najdłuższego i najkrótszego). Zauważmy też, że trójkąt ten otrzymujemy, biorąc `n = 1` i `m = 2`, a jego pole (połowa iloczynu długości przyprostokątnych) wynosi 6. Parametry `n` i `m`, długości boków oraz pole stanowią więc sześć kolejnych liczb naturalnych.

Przez połączenie trójkąta o bokach 9, 12, 15 (potrojony trójkąt egipski) z trójkątem o bokach 5, 12, 13 otrzymujemy trójkąt indyjski. Jedna z jego wysokości wynosi 12, a boki mają długość 13, 14, 15, jest to więc także trójkąt wymierny średnioboczny (choć w przeciwieństwie do trójkąta egipskiego nie jest prostokątny). Dwie jego pozostałe wysokości są także liczbami wymiernymi: `168/13` i `168/15`.

Czworokąty

Pięciokąty

Jak obliczyć pole pięciokąta foremnego?

Obwód

Każdy wielokąt można otrzymać, odpowiednio łącząc ze sobą (na ogół „sklejając” bokami) skończoną liczbę trójkątów, przy czym dany wielokąt można rozłożyć na takie trójkąty na nieskończenie wiele sposobów.

Przypisy